¿Son reales los números?

Considere la siguiente analogía. ¿Qué es un pollo? ¿Son los pollos reales?

Hubo un tiempo (en la mayoría de los lugares de Europa, de todos modos) en el que esto habría parecido una pregunta aún más estúpida que ahora. Todos sabían exactamente qué era un pollo. Incluso un noble rico solo habría tenido que caminar unos quince minutos y señalar un ejemplo de un pollo. Fue una parte vibrante y digna de mención de la experiencia diaria de todos. También nuestra experiencia con los números. Eso (señale un cartón de seis huevos) es seis. Eso (señale una manzana y otra manzana que ha sido cortada por la mitad y una de las mitades quitada) tiene tres mitades. Y así sucesivamente.

El hecho de que no puede simplemente señalar una colección de algo y decir « hay tres negativos «, « hay raíz cuadrada de cinco » o « hay seis más tres -i «son la razón por la que algunas personas que están frustradas con esas ideas se sienten justificadas al decir que no son números reales. Es una crítica justa, de hecho, y señala el hecho de que nunca nos sentamos y hable sobre lo que realmente deben ser los números. Por supuesto, en estos días alguien también podría pasar toda su vida sin ver una gallina, y aceptan que hay un animal que está vagamente involucrado en la creación de los huevos que a veces comen en el desayuno. Ciertamente, para aquellos de nosotros que no crecimos en o cerca de una granja o un zoológico con pollos, aceptamos la existencia de pollos como un artículo de fe durante algunos años. Del mismo modo, tomamos la idea de que hay «números» que no corresponden a colecciones de cosas como una idea recibida.

Entonces, si los números no tienen que corresponder a colecciones de las cosas, que son? Bueno, en el caso de números (positivos) irracionales, pueden corresponder a longitudes de líneas o de áreas — a cantidades continuas de algo, que es un buena generalización de tamaños de colección. Y los números negativos pueden corresponder a déficits o diferencias de tales cantidades. Y los números complejos, eh … bueno, «son … útiles para la mecánica cuántica y la ingeniería eléctrica …y, um, también lo son los cuaterniones … Descubrimos que ampliamos la definición de número de « cantidad de » a « siendo útil para «, lo que creo que es un algo importante a tener en cuenta.

No hay un lugar obvio donde simplemente debamos detenernos. El hecho de que los números complejos ya no se pueden ordenar (sin importar los cuaterniones, para los cuales la multiplicación ni siquiera viaja ) sugiere que el hecho de que algo resuelva x ² + 1 = 0 no significa que sea un número (que los números complejos no son «t » números «en general). Pero podemos decir que solo porque algo es un límite superior para una secuencia acotada de números, no es» un número (los números reales no son «t todos «números», y la raíz cuadrada de dos o cinco en particular); o que simplemente porque algo es la diferencia de dos números, no es «un número ( números negativos no son todos «números»); o que solo porque algo es una proporción de dos números, No lo convierta en un número (los números racionales positivos no son todos «números»). Pero eso descarta todo menos los enteros no negativos; e históricamente la gente incluso ha mirado con recelo el cero. Incluso podría argumentar que uno no es un número, si argumentara que por «un número» se refiere a una cantidad en plural.

Así que es muy importante preguntarnos: ¿qué es un número?

¿Qué es un pollo? Es un pájaro pequeño que no vuela muy bien. Pero no queremos incluir kiwis o frailecillos como «pollos», por lo que quizás deberíamos especificar que tienen picos cortos y no nadan bien. Pero ¿qué pasa con los faisanes? Incluso si pasamos a aislar con éxito a los pollos de todas las demás aves vivas mediante definiciones, ¿qué pasa con los antepasados de los pollos que evolucionaron hasta convertirse en el animal de granja moderno? En algún momento no pollos, y luego hubo . ¿Cuándo cambiaron las cosas?

El problema con los pollos, y también con los números, es que al final solo tenemos definiciones para estas palabras por convención, que están basadas en ejemplos . Aceptamos pollos modernos como «pollos», y no aceptamos kiwis como «pollos». De manera similar, queremos incluir «seis» y probablemente «tres mitades» y tal vez «dos negativos» y «raíz cuadrada de cinco» como números, pero no queremos incluir la función f :   ℤ → ℤ dado por f (x) = 3 x +2 como un número. No es lo que queremos pensar como un número, porque no puede usarse de la forma en que queremos usar los números . Los números son herramientas para comprender el mundo .

¿Qué aves aceptamos como pollos? Aquellos que se comportan de una manera particular, y en particular que podemos entender de una manera particular. Sus huevos saben de una manera particular, su carne sabe de una manera particular, y se comportan de de una manera particular. Nos importa cómo actúan y cómo saben porque nos interesan en ellos como características del entorno con el que interactuaremos (quizás para comerlos). El concepto de pollo es algo que tenemos en ventilado para distinguir algunos animales de otros. Si no nos importara la diferencia entre un pollo y un faisán, no tendríamos ideas separadas para pollos y faisanes. (El hecho de que tengamos diferentes palabras para las cosas no las hace diferentes, pero sí significa que nos importan las diferencias que pensamos que tienen). El concepto de «pollo» es una herramienta que que usamos para comprender algunos de los animales que conocemos.

De manera similar, el concepto de «número» es una herramienta que usamos para comprender las relaciones entre los objetos. Pero va más allá del concepto de «número «en sí mismo: cada número es un concepto que usamos para distinguir de otros números. Rara vez pensamos que hay solo» un número «de algo, para denotar que hay más de cero, uno o dos; nos preocupamos por cuál número. La diferencia entre seis huevos y siete huevos es importante para nosotros.

Pero hay otra diferencia con los pollos: podemos ver pollos pequeños o pollos grandes (un solo tipo de pollo con diferentes propiedades), pero nunca vemos seis de huevo o seis de manzana (un solo rt de número con diferentes atributos). Vemos seis huevos o seis manzanas. En este caso, el número no juega el papel de un sustantivo, sino un adjetivo . Así que toda esta charla de «pollos», que son objetos, ha sido engañosa. Lo que deberíamos haber estado pensando es algo como: «¿Es rojo real»? «¿Es grande real»?

Bueno, los colores son reales y los tamaños son reales, pero ¿qué hace que un color sea «rojo»? Podemos inventar una definición arbitraria basada en frecuencias de luz, pero luego estamos haciendo que la definición de color dependa de los números, lo cual no es una forma de resolver el problema de cómo entender los números. en ejemplos.¿Pero seguramente las cosas a las que llamamos números deben existir ? ¿Que realmente hay un número tres? Lo vemos todo el tiempo, por supuesto. Del mismo modo, debe existir un color rojo, ¿no es así?

El color rojo depende de nuestro aparato sensorial y de la forma en que nuestro cerebro procesa las señales que nos envía nuestro ojos. El color rojo es una experiencia emergente, resultado de cómo están estructurados nuestros cerebros y órganos sensoriales. La noción del color rojo es una forma útil de entender nuestro mundo, basado en cómo lo experimentamos. No hay forma razonable de negar que hay cosas que brillan con luz roja ( luz que percibimos como roja ); cosas que reflejan la luz roja ( que reflejan preferentemente la luz que percibimos como roja ); y esa luz roja cae aproximadamente dentro de algunas frecuencias de luz ( hemos construido un aparato teórico completo para describir el electromagnetismo que es lo suficientemente útil para construir torres de radio, pararrayos, máquinas de rayos X, máquinas de RMN y láseres, y en esta teoría la luz que tendemos a percibir como roja afecta a ciertos aparatos fotosensibles de una manera específica, y estas predicciones están confirmadas por experimentos ). El concepto de «rojo» es una forma extremadamente útil y sólida de describir cómo experimentamos el mundo .

Incluso se podría decir que el mundo es descrito de manera «irrazonablemente eficaz» por noción de color; No hay ninguna razón en particular por la que gran parte de nuestra experiencia deba ser descriptiva en términos de color. No hablamos todos los días sobre el olor del acero, el sonido del plástico, el sabor del granito. De alguna manera, el mundo tiene una forma tal que nuestro modo dominante de percepción sensorial resulta extremadamente útil para describir gran parte del mundo. Seguramente la luz coloreada, exactamente en el rango de frecuencias que podemos ver con nuestros ojos, debe jugar un papel fundamental en el funcionamiento del universo. Seguramente «rojo» tiene una realidad fundamental más allá de nuestra propia existencia; seguramente el color rojo tiene una naturaleza inmutable, incluso platónica!

No estoy de acuerdo. El color rojo es de hecho una cosa muy útil para sentir y comprender, porque es la forma en que percibimos algunos fenómenos físicos útiles. Pero si percibiéramos un espectro algo más amplio que incluyera lo que llamamos infrarrojos, eso también sería útil; ¿Por qué no? Supongo que por motivos accidentales. Quizás en climas cálidos hay demasiado ruido en esas frecuencias, aunque esto no explica por qué algunas especies de serpientes pueden sentirlos mientras que nosotros no podemos. La razón por la que podemos percibir el rojo entre otros colores es, en última instancia, porque fue un accidente útil .

Si el número tres nos parece que tiene un existencia extremadamente vital, esto podría deberse a que el concepto de número es útil para poder formular al reaccionar al mundo que nos rodea, y tanto es así que está conectado a nuestro cerebro a un nivel muy profundo. Esto significa que realmente hay cantidades de cosas en el mundo, y que algunas nociones de «cantidad» son tan simples e importantes que puedes desarrollar criaturas que crean que la noción de cantidad es de vital importancia. que puede existir independientemente de cualquier cosa para tener una cantidad de .

Los enteros no negativos — los «números naturales» — son lo que llamamos nuestras herramientas más simples para medir cantidades. Pero son nuestras herramientas , que se extienden mucho más allá de nuestra capacidad para captar inmediatamente la cantidad, a docenas, cientos y miles de millones — del mismo modo que tenemos herramientas para ayúdanos a sentir el infrarrojo, aunque no podamos percibirlo directamente.

Los números son conceptos. Son nuestras herramientas para ayudarnos a comprender cosas útiles sobre el mundo. Son herramientas muy, muy muy útiles; y lo suficientemente versátiles como para que tengamos todas las razones para creer que pueden usarse para describir cualquier patrón que podamos comprender (y muchos que no podamos comprender) independientemente de si ese patrón se realiza alguna vez en el mundo material. Pero no hay más razón para creer que los números (como Tres) existen de forma independiente, como tampoco hay para pensar que hay un Rojo platónico que existe independientemente de cualquier objeto rojo.

Comentarios

• Una excelente respuesta. +1
• ¿Qué se entiende por ‘ real ‘? … sin esta definición todo es simplemente palabrería;)
• Esta respuesta no es ‘ t tan informativa como parece; plantea un montón de preguntas en filosofía de las matemáticas. Por ejemplo, la afirmación de que » Los números son herramientas para comprender el mundo » no es en absoluto obvia e ignora por completo posiciones como el platonismo matemático , o intuicionismo, o formalismo.Además, afirmaciones como » el concepto de número es útil » son empíricas, pero no se proporcionan pruebas que las respalden. @OP: Esta no es una buena respuesta. Apoya una visión particular y controvertida de los números. Además, no ‘ cita ninguna investigación relevante para respaldar sus afirmaciones.
• @Niel: Todo lo que afirma el formalismo es que los objetos matemáticos son ciertas marcas en una página. , manipulado de acuerdo con ciertas reglas (aproximadamente, dependerá de la marca que elija). Es importante destacar que los formalistas ‘ no piensan que las expresiones matemáticas expresan proposiciones, lo cual está en desacuerdo con su afirmación en el OP de que los números son conceptos. Re: la afirmación de que » los números son útiles «. Estaba respondiendo, quizás no tan claramente como podría haberlo hecho, a su argumento cuasi-evolutivo a favor de algún tipo de nativismo sobre los conceptos numéricos.
• Cont ‘ d. Este es un gran tema abierto tanto en psicología, lingüística y filosofía del lenguaje, y es falso presentar el tema como si sus puntos de vista no fueran ‘ t polémicos. Sin embargo, aquí ‘ es mi principal queja: la pregunta se refiere a una gran pregunta abierta en filosofía, y usted presenta su propia respuesta sin apenas referencia al enorme cuerpo de literatura dedicado al tema. . La preocupación es que quienquiera que haya hecho la pregunta inicial ‘ no apreciará lo polémica que es su respuesta, módulo las posiciones que se han explorado en el campo.

Depende de lo que quieras decir exactamente con «real». En una vista, los números son tan reales como su mano izquierda; son entidades que existen independientemente de la mente, causalmente y no espaciotemporalmente (es decir, fuera del espacio y el tiempo). Esta sería la opinión de al menos una versión del platonismo matemático, y parece apuntar a la noción de que estamos descubriendo una estructura matemática cada vez más profunda del universo.

En mi opinión, tendría que decir – sí; los objetos abstractos como la raíz cuadrada de 2 son tan reales como una silla, por ejemplo. Son entidades reales, pero son entidades que no están limitadas por las leyes de causalidad o espacio y tiempo.

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• ¡Buena respuesta! Sin embargo, podría ser interesante escuchar un poco más sobre por qué recomendaría su respuesta aquí.
• su primera oración indica el problema, y luego divaga …

La naturaleza de los números es un problema realmente difícil; Desde el punto de vista de la «filosofía de las matemáticas», el mejor punto de partida es el Grundlagen de Frege (1884 – Los fundamentos de la aritmética), difícil pero gratificante. El espinoso tema de la «realidad» de objeto (a partir de Platón y Aristóteles) es que pensamos que los objetos son reales cuando somos capaces de verlos y tocarlos, y no podemos ver ni tocar números. Pero, si no son reales, ¿por qué son tan … útiles? , indispensable para toda la humanidad? Se ha dedicado una gran cantidad de trabajo en la filosofía de las matemáticas del siglo XX para encontrar alguna forma de apoyar la idea de que los números no son reales (en el sentido cotidiano del término) pero que de todos modos vale la pena estudiar las matemáticas como … . un juego con símbolos, un conjunto de afirmaciones verdaderas por convención, una construcción social, etc.

Números son «reales» en el sentido de que son una forma en que el hombre organiza el movimiento relativo entre los objetos que observa en su entorno (por ejemplo, esto aquí + que allí = dos de esos se). Sin embargo, los números no son «reales». Lo que significa que no pueden calificarse como existentes fuera del contexto de los objetos que siente el hombre. Si elimina «número» de los objetos que le dan un valor definido, solo se puede definir como «infinito». Lo cual es prácticamente cero. Así, los números, como cualquier concepto abstracto, requieren que un observador sea «real» (hombre, en este caso). Esto, por supuesto, hace que la línea de la plomada para TODO el valor (verdad) sea el que observa.

Creo que su confusión se debe a que no se dio cuenta de que las «etiquetas» utilizadas para categorizar los distintos conjuntos de números son solo eso, etiquetas. Los números «reales», los números «imaginarios», los «números complejos, etc. son conjuntos ordenados. Desafortunadamente, algunas de estas etiquetas tienen otros significados fuera de las matemáticas. Fuera de las matemáticas,» real «generalmente significa algo tangible que es percibido por al menos uno de nuestros sentidos, e «imaginario» significa algo intangible y no percibido por nuestros sentidos. Pero en matemáticas, estas palabras son solo etiquetas que se usan para distinguir diferentes conjuntos de números. La persona (s) que etiquetó los números podría hemos usado verde en lugar de «real» y rojo en lugar de «imaginario» y tendríamos el número verde establecido, el número rojo establecido, etc.

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• El » solo » problema Veo en su explicación que es la siguiente: ¿en qué sentido la reducción de números a conjuntos es la » explicación » real? ¿En qué sentido tenemos más confianza en la … realidad, existencia … de conjuntos que en la existencia de números?
• Obtuvieron los nombres que obtuvieron por una razón. ‘ no son solo etiquetas, son ‘ buenas etiquetas. La pregunta que se hace es en parte ¿por qué son buenas etiquetas?

Los hemos llamado «números», pero en realidad «números» es solo una etiqueta hecha por humanos para reglas y principios que ocurren naturalmente. Sin embargo, ya sea que los llamemos «números», «recuentos» o cualquier otro nombre arbitrario, seguirían desempeñando un papel clave en la manifestación de la realidad independientemente de nuestro conocimiento de ellos.

Si un extraterrestre Si la raza nos contactara, los números y los cálculos matemáticos (de alguna forma) serían algo que tendríamos en común. Diferentes civilizaciones antiguas tenían diferentes sistemas numéricos, pero eran «números» de todos modos «. Incluso hoy en día se puede ver la diferencia evidente entre los números chinos （零 ， 一 ， 二 ， 三 ， 四 ， 五 ， 六 ， 七 ， 八 ， 九） y los números arábigos (0-1-2-3-4-5-6- 7-8-9); a pesar de la diferencia en los símbolos, el concepto detrás de ellos es el mismo.

La etiqueta «números» es el intento de describir el «código del universo». Entonces, en términos generales, diría que sí, los números existen.

Antigua pregunta. ¡Pero divertido! Yo » Me sorprende que nadie mencione Principia Mathematica , donde más de 100 páginas (163, si mal no recuerdo) están dedicadas a definir el número » 1 «.

Yo jugaba un juego, cuando estaba en la escuela secundaria, sugiriendo que 2 + 2 = 7, y cuando otros los estudiantes dirían que simplemente les pediría que me demuestren que estoy equivocado. Esto generalmente llevó a muchos gestos con las manos que comienzan con 2 dedos más 2 dedos y generalmente terminan con un solo dedo.

El summum bonum es simplemente que los números son ideas (construcciones mentales que representan una percepción, y en eso sentido, existen platónicamente). Como ya se ha explicado muy bien, estas ideas son útiles para describir el mundo que nos rodea, por lo que continuamos usando y mejorando estas ideas. Mi sugerencia de que 2 + 2 = 7 rompe las reglas delineadas por Alfred North Whitehead y Bertrand Russell; pero las reglas implícitas en mi sugerencia no son menos arbitrarias que las de ellos, solo que menos útiles.

Por supuesto, también debes definir » existencia » cuando haces tal pregunta.

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• ¿Tus pensamientos existen? ¿qué pasa con otra ‘ s (en SU contexto, no la otra persona ‘ s)?
• @slashmais Defina » existe » y luego ‘ le responderé;)
• Veo lo que hiciste allí 🙂 Traté de señalar dónde creo que la respuesta a una definición de ‘ existe ‘ se puede encontrar aquí: Philosophy.stackexchange.com/a/10552/112 , y en este sentido tiene toda la razón al decir que los números son ideas, todo es . Para responder a mi consulta acerca de los pensamientos ‘ de otra persona: ‘ existirá ‘ en su contexto solo cuando la otra persona expresa el pensamiento (en / directamente) a través de algún comportamiento del que puede darse cuenta y del cual puede inferir dicho pensamiento.

La introducción de números racionales fraccionarios y negativos puede justificarse desde dos puntos de vista. Los números fraccionarios son necesarios para la representación de la subdivisión de una unidad de magnitud en varias partes iguales, y los números negativos forman un valioso instrumento para medir magnitudes que pueden contarse en direcciones opuestas. Esto puede tomarse como el argumento del matemático aplicado. Por otro lado, está el argumento del matemático puro, con quien la noción de número, positivo y negativo, integral y fraccionario, descansa sobre un fundamento independiente de la magnitud medible, y en cuyos ojos el análisis es un esquema que se ocupa únicamente de números. y no se preocupa per se por la cantidad mensurable. Es posible fundar un análisis matemático sobre la noción de número integral positivo. A partir de entonces, las sucesivas definiciones de los diferentes tipos de números, de igualdad y desigualdad entre estos números, y de las cuatro operaciones fundamentales, pueden presentarse de manera abstracta (por h.s carslaw)

¿Qué números encontramos en la naturaleza? has encontrado números negativos?como sugiere el nombre, los números naturales se encuentran en la naturaleza. digamos que una longitud en particular (digamos un palo s ) se toma como 1 unidad de longitud (por ejemplo, 1m ) ahora si hay algún otro palo ( s2 ) que tiene la misma longitud de dos s palos, decimos que su longitud es 2 unidades. De manera similar, la longitud puede ser de unidades fraccionarias de s . los números son etiquetas para representar una longitud particular. La misma idea puede extenderse a todas las cantidades mensurables. para números -ve, considere la expresión
(ab) * (cd) = ac-bc-ad? bd

if «a» es longitud> «b « longitud y » c « longitud> » d « longitud, entonces el producto debe ser + ve intente poner valores en la expresión, encontrará que la expresión es válida si «?» = «+» haz un cuadrado de largo a y ancho «c» luego otro de longitud «b» y «d» superponiendo «b» en «a» y «d» en «c» ahora considere cada producto en la expresión como un área correspondiente en el diagrama. pronto reconocerá que «?» debería reemplazarse por «+ « o puede crear una regla que indique que la ley distributiva es válida si consideramos que dos números -ve tienen una propiedad como (-b * -d) = (+ b * d) imagina la importancia de la ley distributiva, crea una fórmula como (ab) ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2 + 2ab. esta fórmula nos da un atajo para realizar cálculos que se ha vuelto posible sólo si tenemos -ve números de tales propiedades (multiplicar dos -ve número significa un producto positivo de su magnitud). seguramente si no definimos -ve números siempre tendremos un cálculo largo.

complex no «s:

A * sin (wt) = RE [e ^ {jwt}] este concepto se ha utilizado muchas veces para reducir cálculos como en el análisis de redes que involucra impedancias.

debe leer: Álgebra inicial para estudiantes universitarios Segunda edición por Lloyd L. Lowenstein (Autor)

¿Existen números fuera de nuestras cabezas? No.

¿Es real lo que existe dentro de nuestras cabezas? Sí.

¿Existen los números? Sí.

Si saber que algo es real es la definición de lo que es real, entonces tal vez los números sean tan reales como cualquier cosa en el universo.

Tengo un hámster como mascota, me encanta el hámster. ¿El hámster es real? Mi experiencia con el hámster es real, pero el hámster puede ser imaginado, tal es la naturaleza de los sueños que parecen reales. Tal es la naturaleza de los números que no son más que nuestros sueños más fervientes.

Pero, ¿qué le importa más al universo, un sueño o una roca? Sobre esta roca hemos construido nuestros sueños. Y sin nuestros sueños y los sueños de todas las cosas, no habría nada aquí.

Y sin embargo, ¿cómo es que tengo 2 ojos y 10 dedos de los pies? ¿Es porque la naturaleza puede contar? ¿O es accidental? ¿Qué es un dedo del pie sino un pequeño dedo deforme unido a un dedo más grande? Citas carnosas incidentales que adornan un apéndice carnoso más grande así llamado y numerado por la coincidencia del pensamiento observando su propio cuerpo carnoso.

¿Quién eres tú con tus dedos y tus ojos leyendo esto, y por qué lees señor o señora , ¿es la curiosidad, el miedo, el amor o algo más lo que te impulsa hoy?

¿Por qué pensaste en lo que era un número y viniste aquí para leer sobre él?

Porque, de alguna manera, quieres saber si TÚ eres real. Quizás crea que es un número. Quizás necesites algo, cualquier cosa en lo que aferrarse hoy, que te dé un lugar para descansar tu mente cansada viajando por esta vasta extensión de posibilidades.

¡Tantas posibilidades!

Me pregunto qué es real. Y las cosas más reales en las que podemos pensar son las cosas en las que más podemos confiar. Pienso luego existo, irrefutable. ¿Pero quien eres tú? No sé quién soy, por tanto, ¿pienso «yo»?No puedo estar seguro, porque puede ser otro que piense por mí, tal vez solo los miro pensar. Y sin embargo, sé el número 1. Sí, y si tomo 1 de una cosa y otra de lo mismo, «Tendré 2 de estas cosas. Y en esto puedo confiar por siempre jamás … Pero comencé a preguntarme, ¿agregar cosas es real? ¿Realmente hay alguna vez 2 de algo? Cuando miro, ¿veo con mis propios ojos 2 imágenes diferentes? No, veo una imagen, mis 2 ojos funcionan como 1. ¿Qué veo? Veo 1 imagen, por lo tanto, tengo un ojo en mi mente.

Entonces, ¿qué es un número de todos modos? ¿Es una construcción perceptiva? ¿Es una definición?

Es una creencia. Como todas las cosas, creemos, yo creo. YO CREO. TÚ eres yo. CREO EN TI Y EN MÍ. Creo en nosotros. Creo … en números.

Solo estoy agregando a la excelente respuesta dada por @Niel de Beaudrap. Cuestionó la dicotomía «real versus artificial» que la gente usa en exceso. El propósito de esta respuesta es mostrar algunos otros aspectos de la pregunta que aún no se han abordado.

• ¿Se encuentran los números en la naturaleza? (supongo que eso es lo que quiso decir con real)
• Si no es así, ¿cómo podemos aplicarlos para ¿Cosas reales?

Y dos preguntas menores

• ¿Por qué los números imaginarios son más imaginarios que los números reales?
• ¿Por qué «¿A los números complejos se les da un orden definido?

¿Se encuentran los números en la naturaleza?

No. Los números son no se encuentran en la naturaleza. Puedes encontrar «dos manzanas» en la naturaleza, pero no «dos». De nuevo, es interesante notar lo que queremos decir con «dos manzanas». ¿Nos referimos a dos objetos que son idénticos? Entonces no podemos hablar de dos manzanas porque ninguna manzana es como otra. Entonces, estamos hablando de dos objetos que son similares. «Cuán similar» es la siguiente pregunta. Obviamente queremos evitar contar una naranja como una manzana. Pero queremos contarlo cuando contamos frutas. Además, no podemos contar una manzana cuando contamos «manzanas pequeñas». Entonces, obviamente, contar es artificial. Pero también lo son muchas otras cosas que damos por sentado en la vida. Y claramente no se trata solo de números reales o números complejos; incluso contar números es artificial. Aceptamos contar números como algo real y solo cuestionamos más números artificiales como números reales porque estamos acostumbrados a contar números.

Aún así, las nociones de contar números, fracciones y cantidades son muy útiles para nuestros propósitos de hoy como lo explica @Niel de Beaudrap. Entonces, los números no se encuentran en la naturaleza. Los números nos ayudan a captar la idea de patrones que encontramos en la naturaleza . Tenga en cuenta que lo que encontramos en la naturaleza no tiene por qué ser lo que hay en la naturaleza. De hecho, es real para nosotros porque nuestro mundo es lo que sentimos.

Si no, ¿cómo podemos aplicarlos a cosas reales ?

Bueno, eso Es la parte complicada. Los números son herramientas en matemáticas. Las ramas de la ciencia como las matemáticas y la lógica no se tratan de cosas reales; no están destinadas a ser. De hecho, se tratan de lo abstracto. Este es tanto su poder como su debilidad. p>

Si les das algunas reglas de un mundo que puede que exista o no, te dirán muchas otras cosas sobre ese mundo. Entonces, si les das reglas (cualquier regla), te dirán muchas consecuencias de esas reglas. Ese es su poder. Por eso son aplicables en casi todas partes. Y te dirán sólo consecuencias de esas reglas, las creencias personales del oráculo no tienen cabida allí. es por eso que enfatizan el rigor.

Pero si estás interesado en un mundo cuyas reglas son desconocidas para ti, ahí están indefensos. Esto es exactamente cierto en nuestro mundo físico tal como lo conocemos. La física es interesado en las reglas de nuestro mundo, pero las matemáticas no pueden proporcionarlas. (En contraste, la física teórica y las matemáticas son amigas cercanas). Por lo tanto, necesita un puente entre ellos para establecer un vínculo. Este es un vacío que solo la filosofía puede llenar. Y las herramientas filosóficas como los modelos son la forma habitual de hacerlo.

Preguntas menores

¿Por qué los números imaginarios son más imaginarios que los números reales? Bueno, los números imaginarios no son ni una onza más imaginarios que los números reales. En una conferencia sobre números complejos, el profesor pidió a los estudiantes que levantaran la mano si creen que los números imaginarios son imaginarios y los números reales son reales. Alrededor de trece estudiantes levantaron la mano. Luego dijo esto, «está bien, podemos discutirlo. La mitad de ustedes suben al escenario».

¿Por qué no se puede dar un orden definido a los números complejos? Por orden, no significan una cosa general; Están hablando de un concepto específico llamado orden total .Decir que los números complejos no se pueden ordenar significa que cualquiera que sea el orden que se le ocurra, no cumplirá al menos una de las condiciones para un orden total compatible con las operaciones de campo habituales de suma y multiplicación. Puede encontrar más detalles en esta pregunta en stackexchange y esta página de cut-the-knot . De hecho, el conjunto {0,1, -1, i, -i} de números complejos en sí mismos será un problema cuando intentemos dar un orden total que vaya con las operaciones de campo habituales. Daré detalles si está interesado (no es difícil, pero creo que no tendrá ningún significado filosófico para usted).

Comentarios

• El conjunto {0,1, -1, i, -i} está totalmente ordenado tal como lo escribió, de izquierda a derecha. No hay ‘ ningún orden en los números complejos compatibles con su estructura algebraica. Pero hay muchos pedidos totales en números complejos. El orden lexicográfico en a + bi es uno de ellos.
• Editado. Gracias @ user4894. Estaba tratando de mantener los detalles al mínimo.
• Las definiciones de orden (total) y campo ordenado se pueden encontrar en la página 246 en el ‘ s book » Comprensión del análisis »

Si le parece bien, me gustaría centrarme en la geometría en lugar de los números. Siento lo mismo en ambas áreas, pero la geometría encaja un poco más bien con mi ejemplo.

Considere la siguiente declaración:

Los ángulos de cualquier triángulo suman 180 grados.

Si «está razonablemente familiarizado con la geometría básica, esto parecerá obviamente cierto.

¿Qué pasa con esta declaración?

James Kirk es el capitán del USS Enterprise .

Podríamos afirmar que es falso, supongo, pero si vamos a asistir a una convención de Star Trek , eso no es muy educado. Pero empeora. Si afirmamos que la declaración anterior es falsa, estamos afirmando que:

James Kirk no es el capitán del USS Enterprise .

Y eso todavía sugiere que hay un Kirk y un USS Enterprise , además de molestar al Trek fans. Hay formas más complicadas en las que podemos interpretar el operador de negación, pero esto no es un problema trivial .

Supongamos que aceptamos que Kirk es capitán, para aplacar a la afición. Pero luego uno de ellos se nos acerca y nos dice:

Soy fan de Star Trek: The Next Generation y Creo que su declaración de Kirk es falsa. El capitán de la Enterprise es Picard, no Kirk.

Entonces, mientras nosotros » Para desconcertarlo, un matemático se nos acerca y nos dice:

Soy fan de geometría no euclidiana . Creo que su declaración de triángulo es falsa.

Las declaraciones matemáticas son verdaderas dentro del contexto de sus axiomas. Las declaraciones sobre ficción son verdaderas dentro del contexto de sus fuentes canónicas. Si eliges diferentes axiomas, o diferentes fuentes canónicas, obtienes diferentes verdades (si el ejemplo de Kirk / Picard es demasiado sutil, compara y contrasta Drácula con Crepúsculo ). Aunque las matemáticas son más rigurosas y, en la mayoría de los casos, más directamente útiles que la ficción, ambas son formas de arte.

Como muchas artes, tanto las matemáticas como la ficción, aspiran tanto a la verdad como a la belleza . Pero estas son cualidades estéticas, no realidades objetivas.Las matemáticas son «verdaderas» cuando encuentras una situación del mundo real que describe con precisión y la aplicas correctamente. La ficción es «verdadera» cuando descubres que resuena con tus experiencias y metas de vida y tratas de vivir de acuerdo con sus enseñanzas. Estas verdades no pueden existir de forma aislada; dependen del observador para actualizarlos.

Entonces, para responder a su pregunta, números, o triángulos, son tan «reales» como la aplicación que has encontrado para ellos. Pero si solo estás haciendo matemáticas porque piensas que es hermoso , entonces no necesitas preocuparte si es «real». Quizás alguien más encuentre una aplicación algún día, como sucedió con la teoría de números y la criptografía. Tal vez no. De cualquier manera, preocuparse por eso sería perder el punto. No estás haciendo esto por la verdad. Lo estás haciendo por la belleza.

Leopold Kronecker declaró que el -Integros negativos donde Dios los hizo. Todo lo demás es «elaborado» por humanos. Siguiendo esta idea sabemos con certeza que los enteros no negativos son reales. Ahora, la declaración «Los números son reales». es equivalente a «Los números existen». La existencia se puede probar escribiendo un elemento distinto que satisfaga la propiedad dada. Utilizando que existen enteros no negativos y aplicando la premisa de que los enteros no negativos son números, llegamos a la conclusión de que «Los números son reales».

Editar: Lo que realmente quería señalar es que la pregunta realmente depende de cómo se entienden los números.

Por otro lado, gusta dar un golpe para el punto de Kronecker. En términos más generales, describió una tendencia natural de los seres humanos a contar cosas. Esto no es totalmente irrazonable. Considere que se encontraron huesos con marcas de conteo que tienen aproximadamente 30000 años de antigüedad (espero que no me culpe si no doy una verificación bibliográfica), mucho antes de que la gente hablara sobre axiomas para construir números naturales.

Comentarios

• ¿Argumento de autoridad?
• @NieldeBeaudrap, no ‘ No discutir con un argumento inductivo. ¿No es ‘ lo contrario un requisito para el argumento de autoridad?
• » Leopold Kronecker declaró que los números enteros no negativos fueron hechos por Dios » [énfasis mío].
• El hecho que los humanos hayan usado una idea sin axiomatización no significa que » exista » independientemente de los humanos. ¿Es la magia real? ¿Es la suerte real?
• Creo que se está permitiendo pensar en la palabra » use » de manera diferente para ‘ magic ‘ y para ‘ números ‘, pero no importa.

1. Los números se utilizan para contar.

2. Contamos formas.

3. Una La forma más primitiva que contamos es una línea.

4. La línea es una forma, que tiene el mismo final que el principio.

5. Por lo tanto, la línea es un bucle unidimensional, y observamos que todos los números son 1 en bucle como 1 conjunto (es decir, 7 naranjas es 1 (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) o 1 conjunto de 1 «donde» naranja «es un conjunto y parte del conjunto).

6. Todos los fenómenos son formas a medida que toman forma. Todos los fenómenos como tener formas son bucles cuando terminas donde comienzas cuando trazas el contorno.

7. Contar es un bucle entre el sujeto y el objeto (s).

8. Así que contamos bucles, usando números que ocurren a través de un bucle 1 de 1 a través del bucle de sujeto y objeto con el objeto que tiene una forma como un bucle y racional de que el sujeto es un bucle.

9. Los números son formas espaciales y existen a través de procesos que ocurren a través de formas espaciales.