Är GameScience ' s icke-cylindriska sjusidiga matris en balanserad / rättvis form?

Det verkliga experimentet är svårt

De länkade tärningarna i frågan är slut i lager, så det är bara personer som redan har mycket av dessa tärningar och är villiga att göra de statistiska testerna kan ge ” sant ” svaret. Jag misstänker att befolkningen är ganska liten. Jag tror dock att den befintliga litteraturen och lite deduktion kan ge ett teoretiskt och historiskt perspektiv på rättvisa d7.

Det är möjligt att ha en rättvis d7 i specifika scenarier

För det första är det definitivt teoretiskt möjligt att ha en sjusidig matris. Matrisen som visas är ett femkantigt prisma. Geometriskt påverkas munstycksens rättvisa starkast av storleksförhållandet mellan de femkantiga ytorna och de rektangulära sidorna . Jag har gjort en snabb mock-up av de två ytterligheterna:

• Ansikten är större än sidorna: Detta motsvarar formen på vänster sida. Denna extrema gynnar starkt de femkantiga ansiktena – det är i grunden ett mynt och det är svårt att föreställa sig att det någonsin landar på kanterna.

• Sidorna är större än ansiktena: Detta motsvarar formen till höger I detta fall är formen mer som en penna och kommer nästan alltid att falla på sidorna.

Eftersom man smidigt justerar storleksförhållandet mellan sidorna och ansiktena kommer det att finnas en specifik punkt där det finns en övergången mellan att gynna sidorna och att gynna ansiktena. Denna avlyssning är den punkt där matrisen är rättvis. Därför är det möjligt att ha en rättvis 7-sidig matris.

Men detta magiska förhållande m kan inte vara densamma för alla förhållanden. Detta svar på MathOverflow hävdar att för icke-isohedral dö beror resultatets rättvisa på hur du kastar det. På samma sätt hävdar denna slumpmässiga sida på internet att olika ytor kan påverka resultatet av rullen. Ingen av källorna ger hårda bevis för sina påståenden, men det är värt att överväga att argumentet för mellanvärde som presenteras ovan inte bevisar att en enda d7 kan vara rättvis under alla villkor .

Patentet för detta d7 visar att det testades för rättvisa

Så frågan är, har de specifika tärningarna den nödvändiga geometrin för att vara rättvisa? Den produktbeskrivningssida som OP länkar till innehåller ett patentnummer: US PAT nr D-4 900 034. Detta nummer motsvarar patentet ” Slumpmässiga spelspel och layout och spelbord för användning med samma ” av Bernard Bereuter 1988.Detta patent beskriver bland annat konstruktionen och rättvisa för denna speciella d7 för speländamål:

Använda bildade spelstycken av hårdplast av en typ som kan användas för standardtärningar, har experiment visat att önskad slumpmässig landning av bitarna uppnås om den vanliga femkantiga tvärsnittet passar exakt i en cirkel 1 tum i diameter (vilket resulterar i perifera kanter 3 med en längd på 0,588 tum) och prismaets längd är 0,753 tum, för bitar som rullas över skumbakad filt sträckt över en hård horisontell yta.

…

A slumpmässigt spelstycke innefattande ett icke-rektangulärt prisma … med tecken som är jämnt fördelade runt sin omkrets, varvid prismaets längd är annorlunda än längden på en sida av den vanliga tvärsektionen av polygonen och är lika med den längd som krävs så att sannolikheten för nämnda prisma som landar på någon av dess ändytor är ungefär lika till sannolikheten att den landar på någon av dess sidoytor.

Således, herr Bereuter har tydligen gjort den empiriska testningen som är nödvändig för att bestämma det ideala storleksförhållandet för en rättvis sjusidig matris, åtminstone på en viss yta.

Tyvärr, för hans uppgifter är inte offentliga och tärningarna är inte tillgängliga för närvarande, vi kan inte verifiera eller upprepa hans resultat själva. Det är verkligen möjligt att tärningarna som köpts från den webbplatsen inte är rättvisa av andra skäl också. Ändå satsade denna d7s uppfinnare tydligt på att bestämma de nödvändiga dimensionerna för att skapa en rättvis form.

Om GameScience noggrant följde dimensionerna i patentet som de citerar, är deras d7 sannolikt tillräckligt för RPG-ändamål. Det ursprungliga patentet avsåg trots allt formen för speländamål, och enligt min erfarenhet är TTRPGs mycket mindre känsliga för orättvisa tärningar än vad det är att spela.

Kommentarer

• Jag har en gräl med det här svaret (ledsen att jag inte stöder det med källor): Sannolikheten om en munstycke vilar på ett ansikte beror (också) på hur vass / runt kanten, om munstycket har tillräckligt med fart att rulla över denna kant. eftersom tröghetsmomentet och höjden av munstyckets tyngdpunkt är olika beroende på vilken typ av kant det är, måste rundnatt också vara annorlunda. Jag ser inte ’ detta adresserat var som helst. Jag gjorde inte ’ inte matte om skillnaden är signifikant för de olika ansiktena, kanske inte blir så mycket.
• @mart att ’ är sant, och jag har inget sätt att ta itu med problemet – jag försökte nämna det när jag säger att det kan finnas andra skäl att tärningarna inte är ’ t rättvist. För att testa att du ’ d inte bara måste få de faktiska tärningarna, som är slut i lager, utan också en massa tärningar som inte ’ har inte rundade kanter men är annars identiska.
• Jag undrar om någon med en 3d-skrivare kan skapa olika tärningar efter att ha skannat en ” -reglering ” dör. Leker sedan med parametrarna på kanterna.

Nej, de är inte rättvisa om du inte ignorerar sidorna

Det finns några krav för att en enhetlig fast form ska vara rättvis.

De aktiva sidorna måste vara ansiktsövergående.

Tärningarna är bara rättvisa om alla av sidorna som används är lika sannolikt att landas på. För att detta ska vara sant måste det vara ansiktsövergående, vilket innebär att alla sidor har samma form. Mer specifikt …

Isohedral figur

I geometri, är en polytop av dimension 3 (en polyeder) eller högre isohedral eller ansiktstransitiv när alla dess ansikten är desamma. Mer specifikt måste alla ansikten inte bara vara kongruenta utan måste vara övergående, dvs. måste ligga inom samma symmetri-omlopp. Med andra ord, för alla ansikten A och B måste det finnas en symmetri av hela fastämnet genom rotationer och reflektioner som kartlägger A på B. Av denna anledning är konvex isohedral polyhedra de former som kommer att göra rätt tärningar.

Isotoxisk figur

Regelbundna polyeder är isohedrala (ansiktstransitiva), isogonala (vertex-transitive) och isotoxala (edge transitive).

Denna 7-sidiga dörr är ingen av dessa saker. Men det är om vi ignorerar varje resultat på de femkantiga sidorna.

På ett annat sätt, med tanke på ett ansikte på matrisen, måste det finnas en rotation (minst en) som resulterar i varannan ansikte, kant, och vertex kartläggs på samma plats som ett annat ansikte, kant respektive vertex. Låt oss prova det i 2-d.

Detta gör en bra tvådimensionell dö. Att vrida triangeln 120 grader runt mitten kartlägger varje topp och kant i triangeln till en annan. Låt oss ta det till tre dimensioner, säg en kub. A d6. Vi är alla bekanta. En d6 är en rättvis matris eftersom det existerar minst en rotation som resulterar i att varje ansikte, kant och vertex mappas på platsen för en annan. En av dessa rotationer skulle uppenbarligen vara en rotation som kan representeras av ”90 grader på en axel och 90 grader på en annan”. Eller i Eulervinklar , 90, 90, 0. Eller, om det hjälper, 90 graders tonhöjd och 90 grader yaw. Eller någon kombination av tonhöjd, yaw och roll.

Alla andra rättvisa tärningar har den här egenskapen. Det finns en rotation som kartlägger varje ansikte, kant och topp på en d4 på ett annat ansikte, kant och topp. Det finns en för en d20. Det finns faktiskt många rotationer som gör detta för dessa rättvisa tärningar. Men det finns ingen rotation som gör detta för en d7. Du kan snurra den 180 grader runt ”upp” -axeln (sitter varken på 6 eller 7), men då skulle inte den övre kanten ha översatts till en annan kant. Du kan lägga den platt på 6 och snurra den 72 grader, men då skulle de femkantiga ansikten inte ha översatts till ett annat ansikte.

Mitten av varje ansikte måste vara lika långt från massans centrum.

När det gäller (rättvisa) tärningar, masscentrum ligger i objektets exakta centrum. Det betyder att alla ansikten är lika långt ifrån den. Resultatet av detta är att varje ansikte efter en rulle har samma möjlighet att komma upp. Men om masscentrum flyttas från matrisens geografiska centrum ändras rotationsaxeln och formen är inte längre rättvis. källa

Att ändra masscentrum är känt som viktning av munstycket. När masscentrum flyttas längre från mitten av munstycket, kommer det effektivt lättare ansiktet att rulla uppåt oftare än inte.

Att göra rättvisa tärningar genom att ignorera ansikten

Tärningar med ett udda antal platta ansikten kan göras som ”långa tärningar”. [ 26] De är baserade på en oändlig uppsättning prismer. Alla (rektangulära) ansikten de faktiskt kan landa på är kongruenta, så de är lika rättvisa. (De andra 2 sidorna av prismaet är rundade eller täckta med en pyramid, utformad så att formen aldrig vilar på dessa ansikten) Källa

Den sista meningen är den viktigaste delen. Denna 7-sidiga matris är rättvis för intervall 1-5, förutsatt att du ignorerar 6: e och 7: e ansiktet. Som vi läser ovan kan vilket prisma som helst vara rättvist förutsatt att ändarna är ”begränsade” eller ignoreras ( se Long Dice ). Så en riktig d7 skulle vara gjord av ett heptagonalt prisma . Så, ignorera ändarna, finns det en rotation som kartlägger varje ansikte, toppunkt och kant på platsen för ett annat ansikte, kant och toppunkt. Låt oss gå tillbaka till exemplet ovan. Vi lägger den platt på sjätte kanten och snurrar den 72 grader. Voila! Var och en av ansiktena är nu på platsen där ett ansikte brukade vara, varje kant är på platsen där en annan kant var, och varje toppunkt var på platsen för ett annat toppunkt . Med undantag för locken, som vi har ignorerat.

Mer nyligen har du kanske lagt märke till tärningar. De använder samma grundprincip, förutom att deras sidor är trianglar snarare än rektanglar.

Varför fungerar inte icke-symmetriska oortodoxa former?

Resultatet av att matrisen är ansiktsövergående och har ett masscentrum mitt för ansikten är att det kräver samma kraft i en riktning för att vända det oavsett vilket ansikte det har landade på. När vi tittar tillbaka på d7 kan vi lätt gissa att det att använda kraft för att gå från ansikte 1 till ansikte 2 är samma mängd kraft som kommer att ändra det från ansikte 2 till ansikte 3 när det vilar på bordet. Detta beror på det faktum att vinklarna mellan ansiktena är desamma och att ansiktena är desamma på dessa sidor. Det är lika mycket yta som berör bordet när ”1” är upp som ”2” är uppe. Låt oss överväga ansikten 6 och 7.

När ansikte 6 är uppåt är ansikte 7 nere. Det finns nu en större yta på bordet. Dessutom är vinkeln mellan ansiktet 6 och alla andra ansikten som berör det större (90 grader mot 72 grader). Båda dessa betyder att det krävs mer kraft för att skjuta det på en av de andra ansiktena.Så när matrisen tumlar och ansiktet 6 eller 7 träffar bordet nära slutet av tumlingen och förlorar en del av sin hastighet och rotationshastighet, är det mer troligt att X-mängden kraft kommer inte resulterar i att matrisen tumlar över det ansiktet för att landa 1-5.

Kommentarer

• Kommentarer är inte för längre diskussion; denna omfattande konversation av många av de matematiska / fysiska / statistiska punkterna i inlägget har flyttats till sin egen dedikerade chatt . Jag rekommenderar starkt att de som ’ har läst så långt också läser chatten. I vilket fall som helst bör ytterligare kommentarer endast behandla hur OP kan förbättra deras presentation av deras ställning; om du vill hävda att deras position är felaktig gör du det antingen i ditt eget svar eller i chatten.