Är siffror riktiga?

Tänk på följande analogi. Vad är en kyckling? Är kycklingar riktiga?

Det fanns en tid (de flesta platser i Europa, i alla fall) när detta skulle ha verkat vara en ännu mer dum fråga än nu. Alla visste exakt vad en kyckling var. Även en rik adelsman hade bara behövt gå kanske femton minuter och peka på ett exempel på en kyckling. Det var en livlig och anmärkningsvärd del av allas dagliga upplevelse. Så också, vår erfarenhet med siffror. Det (peka på en kartong med sex ägg) är sex. Det (peka på ett äpple och ett annat äpple som har skurits i hälften och en av halvorna tagits bort) är tre halvor. Och så vidare.

Det faktum att du inte bara kan peka på en samling av något och säg ” det finns negativt-tre ”, ” det finns kvadratrot-av-fem ”, eller ” det finns sex plus tre -i ”är anledningen till att vissa människor som är frustrerade över dessa idéer känner sig berättigade att säga att de inte är faktiska siffror. Det är faktiskt en rättvis kritik och pekar på det faktum att vi aldrig sätter oss ner och prata om vilka siffror som egentligen är tänkta att vara. Självklart kan dessa dagar också gå hela livet utan att se en kyckling, och de accepterar att det finns ett djur som vagt är involverat i skapandet av äggen som de ibland äter till frukost. Visst, för de av oss som inte växte upp på eller nära en gård eller en djurpark med kycklingar, accepterar vi att det finns kycklingar som en trosartikel i några år. På samma sätt tar vi idén att det finns ”siffror” som inte motsvarar samlingar av saker som en mottagen idé.

Så om siffror inte behöver motsvara samlingar av saker, vad är de? När det gäller (positiva) irrationella siffror kan de motsvara längder av linjer eller områden — till kontinuerliga mängder av något, vilket är en trevlig generalisering av samlingsstorlekar. Och negativa siffror kan motsvara underskott eller skillnader av sådana belopp. Och komplexa tal, eh … ja, de är … användbara för kvantmekanik och elektroteknik …och, öh, så är kvaternioner … Vi finner att vi sträcker definitionen av antal från ” mängd ” till ” är användbart för ”, vilket jag tycker är en viktigt att lägga märke till.

Det finns ingen uppenbar plats där vi helt enkelt ska stanna. Det faktum att de komplexa siffrorna inte ens kan beställas längre (tänk inte på kvaternionerna, för vilken multiplikation pendlar inte ens ) för att bara för att något löser x ² + 1 = 0 betyder det inte att det är ett nummer (det komplexa tal aren ”t ” siffror ”i allmänhet). Men vi kan säga att bara för att något är en övre gräns för en avgränsad sekvens av tal, att det inte är” ta-tal (reella tal är inte t alla ”siffror” och kvadratroten av två eller fem i synnerhet), eller att bara för att något är skillnaden av två siffror, att det inte är ”ta-tal ( negativa tal aren ”t all” numbers ”), eller det bara för att något är ett förhållande av två nummer, gör det n ”t gör det till ett tal ( positiva rationella siffror är inte alla” siffror). Men det utesluter allt utom de icke-negativa heltal; och människor har historiskt sett till och med noll. Man kan till och med argumentera för att man inte är ”ta-tal, om man argumenterar för att man med” ett tal ”menar en plural mängd.

Så det är ganska viktigt att fråga oss själva: vad är ett nummer?

Vad är en kyckling? Det är en liten fågel som inte flyger så bra. Men vi vill inte inkludera kiwi eller lunnefåglar som ”kycklingar”, så kanske vi bör specificera att de har korta näbbar och inte simmar bra. Men hur är det med fasaner? Även om vi fortsätter att framgångsrikt isolera kycklingar från alla andra levande fåglar per definition, vad sägs om förfäderna till kycklingar som utvecklats till det moderna husdjuret? Vid någon tidpunkt fanns det inte kycklingar och sedan var . När förändrades saker?

Problemet med kycklingar och även med siffror, är att vi i slutändan bara har definitioner för dessa ord enligt konvention, som är baserade på exempel . Vi accepterar moderna kycklingar som ”kycklingar” och accepterar inte kiwi som ”kycklingar”. På samma sätt vill vi inkludera ”sex” och förmodligen ”tre halvor” och kanske ”negativ-två” och ”kvadratrot-av-fem” som tal, men vi vill inte inkludera funktionen f :   ℤ → ℤ ges av f (x) = 3 x +2 som nummer. Det är inte vad vi vill tänka som ett nummer eftersom det inte kan användas på det sätt som vi vill använda siffror . Tal är verktyg för att förstå världen .

Vilka fåglar accepterar vi som kycklingar? De som beter sig på ett visst sätt och i synnerhet som vi kan förstå på ett visst sätt. Deras ägg smakar på ett visst sätt, deras kött smakar på ett särskilt sätt och de beter sig på ett särskilt sätt. Vi bryr oss om hur de agerar och hur de smakar eftersom vi är intresserade av dem som egenskaper i miljön som vi kommer att interagera med (kanske för att äta dem). konceptet med en kyckling är något vi har i ventilerade för att skilja vissa djur från andra. Om vi inte brydde oss om skillnaden mellan en kyckling och en fasan, skulle vi inte ha separata idéer för kycklingar och fasaner. (Bara för att vi har olika ord för saker gör dem inte annorlunda, men det betyder att vi bryr oss om vilka skillnader vi tror att de har.) Begreppet ”kyckling” är ett verktyg som vi använder för att förstå några av de djur vi känner till.

På samma sätt är begreppet ”nummer” ett verktyg som vi använder för att förstå förhållandet mellan objekt. Men det går utöver begreppet ”antal ”sig själv: varje nummer är ett begrepp som vi använder för att skilja från andra nummer. Vi tror sällan att det bara finns” ett antal ”av något, för att beteckna att det finns mer än noll eller en eller två; vi bryr oss om vilket antal. Skillnaden mellan sex ägg och sju ägg är viktig för oss.

Men det finns en annan skillnad med kycklingar: vi kan se små kycklingar eller stora kycklingar (en enda typ av kyckling med olika egenskaper), men vi ser aldrig äggsexar eller äpple sexor (en enda så rt av nummer med olika attribut). Vi ser sex ägg eller sex äpplen. I det här fallet spelar numret inte rollen som ett substantiv utan ett adjektiv . Så allt detta tal om ”kycklingar”, som är föremål, har varit vilseledande. Vad vi borde ha tänkt är ungefär som: ”Är röd verklig”? ”Är stor verklig”?

Tja, färgerna är riktiga och storlekarna är riktiga, men vad gör en färg ”röd”? Vi kan uppfinna en godtycklig definition baserad på ljusfrekvenser, men sedan gör vi definitionen av färg beroende av tal, vilket inte är något sätt att lösa problemet med hur man förstår tal. I slutändan får vi återigen konventioner baserade på exempel.Men säkert måste de saker som vi kallar nummer existera ? Att det verkligen finns är ett nummer tre? Naturligtvis ser vi det hela tiden. På samma sätt måste det existera en röd färg, måste det inte vara?

Den röda färgen beror på vår sensoriska apparat och hur vårt hjärna bearbetar de signaler som skickas till oss av vår ögon. Färgen röd är en framväxande upplevelse som härrör från hur våra hjärnor och sensoriska organ är strukturerade. Begreppet röd färg är ett användbart sätt att förstå vår värld, baserat på hur vi upplever den. Det finns inget rimligt sätt att förneka att det finns saker som lyser rött ljus ( ljus som vi uppfattar som rött ); saker som reflekterar rött ljus ( som företrädesvis reflekterar ljus som vi uppfattar som rött ); och att rött ljus faller ungefär inom vissa frekvenser av ljus ( vi har konstruerat en hel teoretisk apparat för att beskriva elektromagnetism som är tillräckligt användbar för att bygga radiotorn, blixtstänger, röntgenmaskiner, NMR-maskiner och lasrar och i denna teori det ljus som vi tenderar att uppfatta som rött påverkar vissa ljuskänsliga apparater på ett specifikt sätt, och dessa förutsägelser bekräftas av experiment ). Begreppet ”rött” är ett extremt användbart och robust sätt att beskriva hur vi upplever världen .

Du kan till och med säga att världen beskrivs ”orimligt effektivt” av begreppet färg; det finns ingen speciell anledning till att så mycket av vår erfarenhet ska kunna beskrivas i termer av färg. Vi pratar inte varje dag om doften av stål, ljudet av plast, smaken av granit. På något sätt är världen formad på ett sådant sätt att vårt dominerande sätt för sensorisk uppfattning råkar vara extremt användbart för att beskriva mycket av världen. Visst måste färgat ljus, i exakt det frekvensområde som vi kan se med våra ögon, spela en grundläggande roll i hur universum fungerar! Visst har ”rött” en grundläggande verklighet bortom vår egen existens; Visst har färgen röd en oföränderlig, till och med platonisk karaktär!

Jag håller inte med. Färgen röd är verkligen en mycket användbar sak att känna och förstå, för det är så vi uppfattar några användbara fysiska fenomen. Men om vi upplevde ett något bredare spektrum som inkluderade det vi kallar infrarött, skulle det också vara användbart; varför inte vi? Av oavsiktliga skäl antar jag. Kanske i varma klimat är det för mycket buller i dessa frekvenser. Även om detta inte förklarar varför vissa ormarter kan känna dem medan vi inte kan. Anledningen till att vi kan uppfatta rött bland andra färger är i slutändan för att det var en användbar olycka .

Om siffran tre tycks ha en extremt vital existens, kan detta bero på att talbegreppet är ett användbart att kunna formulera när man reagerar på omvärlden, och så mycket att det kopplas in i våra hjärnor på en mycket djup nivå. Det betyder att det verkligen finns mängder saker i världen, och att vissa föreställningar om ”mängd” är så enkla och viktiga att du kan utveckla varelser som tror att begreppet mängd är så oerhört viktigt, att det kan existera oberoende av vad som helst att ha en mängd av .

De icke-negativa heltal — de ”naturliga siffrorna” — är precis vad vi kallar våra enklaste verktyg för mätning av mängd. Men de är våra verktyg , som sträcker sig långt bortom vår förmåga att omedelbart uppfatta kvantitet, in i dussintals, hundratals och miljarder — precis som vi har verktyg att hjälp oss att känna av det infraröda, även om vi inte direkt kan uppfatta det.

Siffror är begrepp. De är våra verktyg som hjälper oss att förstå användbara saker om världen. De är mycket, mycket, mycket användbara verktyg; och tillräckligt mångsidiga för att vi har all anledning att tro att de kan användas för att beskriva alla mönster som vi kan förstå (och många som vi inte kan förstå) oavsett om det mönstret någonsin förverkligas i den materiella världen. Men det finns ingen anledning att tro att siffror (som tre) existerar oberoende, mer än att man tror att det finns en platonisk röd som existerar oberoende av något rött objekt.

Kommentarer

• Ett mycket bra svar. +1
• vad menas med ’ real ’? … utan denna definition är allt bara mumbo-jumbo;)
• Detta svar är inte ’ t så informativt som det verkar; det väcker en hel massa frågor i matematikens filosofi. Till exempel är påståendet att ” Tal är verktyg för att förstå världen ” inte alls uppenbart och ignorerar helt positioner som matematisk platonism eller intuitionism eller formalism.Dessutom är påståenden som ” talbegreppet ett användbart ” är empiriskt, men inga bevis lämnas för att säkerhetskopiera dem. @OP: Det här är inte ett bra svar. Det stöder en viss, kontroversiell syn på siffror. Dessutom citerar den inte ’ någon relevant forskning för att säkerhetskopiera sina påståenden.
• @Niel: Allt som formalism hävdar är att matematiska objekt är vissa märken på en sida , manipuleras enligt vissa regler (ungefär – det beror på vilket märke du väljer). Det är viktigt att formalister inte ’ tänker att matematiska uttryck uttrycker förslag, vilket strider mot ditt påstående i OP att siffror är begrepp. Re: påståendet att ” siffror är användbara ”. Jag svarade, kanske inte så tydligt som jag kunde ha, på ditt kvasi-evolutionära argument för någon form av nativism om talbegrepp.
• Fortsätt ’ d. Detta är en enorm öppen fråga inom både psykologi, språkvetenskap och språkfilosofi, och det är otrevligt att presentera frågan som om dina åsikter inte är ’ t kontroversiella. Här är ’ dock mitt huvudgrepp: frågan ställer en enorm öppen fråga inom filosofin, och du presenterar ditt eget svar med knappt någon hänvisning till den enorma litteraturen som ägnas åt ämnet . Oron är att den som ställde den ursprungliga frågan inte fick ’ t uppskattar hur omtvistat ditt svar är, modulera de positioner som har undersökts i fältet.

Det beror på vad du menar exakt med ”real”. I en vy är siffrorna lika verkliga som din vänstra hand; de är enheter som existerar sinne-oberoende, a-kausalt och icke-spatiotemporalt (dvs utanför rum och tid). Detta skulle vara synet på minst en version av matematisk platonism, och det verkar peka på uppfattningen att vi avslöjar en djupare och djupare matematisk struktur för universum.

Enligt min mening måste jag säga – ja; abstrakta objekt som kvadratroten av 2 är till exempel lika verkliga som en stol. De är verkliga enheter, men de är enheter som inte är bundna av kausalitetslagen eller rum och tid.

Kommentarer

• Snyggt svar! Det kan vara intressant att höra lite mer om varför du skulle rekommendera ditt svar här.
• Din första mening anger frågan och sedan avviker du …

Talens karaktär är ett verkligt svårt problem; bildar en ”matematikfilosofi” synvinkel, den bästa utgångspunkten är ännu Frege s Grundlagen (1884 – Grunden för aritmetik) – svår men givande. Den taggiga frågan om ”verkligheten” av abstrakt objekt (med utgångspunkt från Platon och Aristoteles) är att vi tror att objekt är verkliga när vi kan se och röra vid dem, och vi kan inte se och röra vid siffror, men om de inte är riktiga, varför de är så … användbara , oumbärlig för hela mänskligheten? Mycket arbete i matematikens filosofi XX-talet har ägnats åt att hitta något sätt att stödja idén att siffror inte är verkliga (i ordets vardagliga mening) men matematik är ändå värt att studera som .. . ett spel med symboler, en uppsättning satser enligt konvention, en social konstruktion och så vidare.

Siffror är ”verkliga” i den meningen att de är ett sätt som människan organiserar den relativa rörelsen mellan objekt som han observerar i sin miljö. (t.ex. detta här + att det = två av dessa se). Siffrorna är dock inte ”faktiska”. Det betyder att de inte kan kvalificeras som befintliga bortsett från sammanhanget för objekt som människan känner. Om du tar bort ”nummer” från objektet / objekten som ger det ett bestämt värde kan det bara definieras som ”oändligt”. Vilket är praktiskt taget noll. Således kräver siffror, som alla abstrakta begrepp, att en observatör är ”verklig” (man, i detta fall). Detta gör naturligtvis lodlinjen för ALL-värde (sanningen) den som observerar.

Jag tror att din förvirring beror på att du inte inser att ”etiketterna” används för att kategorisera de olika siffrorna är just det, etiketter. De ”riktiga” siffrorna, de ”imaginära” siffrorna, de ”komplexa siffrorna etc. är alla ordnade uppsättningar. Tyvärr har vissa av dessa etiketter andra betydelser utanför matematik. Utanför matematik betyder” verklig ”vanligtvis något konkret som är uppfattas av åtminstone en av våra sinnen och ”imaginär” betyder något immateriellt och inte uppfattas av våra sinnen. Men i matematik är dessa ord bara etiketter som används för att skilja olika uppsättningar siffror. Personen (er) som märkte siffrorna kunde har använt grönt istället för ”riktigt” och rött istället för ”imaginärt” och vi skulle ha det gröna numret, det röda numret, etc.

Kommentarer

• ” endast ” Jag ser i din förklaring är detta: i vilken mening minskning av antal till uppsättningar är en verklig ” förklaring ”? I vilken mening är vi mer säkra på … verkligheten, existensen … av uppsättningar än på antalet?
• De fick namnen de gjorde av en anledning. De ’ är inte bara etiketter, de ’ är bra etiketter. Frågan som ställs är delvis varför är de bra etiketter?

Vi har kallat dem ”siffror”, men i själva verket är ”siffror” bara en mänsklig skapad etikett för naturligt förekommande regler och principer. Oavsett om vi kallar dem ”siffror”, ”räkningar” eller något annat godtyckligt namn, skulle de fortsätta att spela en nyckelroll i manifestationen av verkligheten oavsett vår kunskap om dem.

Om en främling ras skulle kontakta oss, siffror och matematiska beräkningar (i någon form eller form) skulle vara något vi hade gemensamt. Olika forntida civilisationer hade olika numeriska system, men de var ändå ”siffror”. Även nuförtiden kan man se den tydliga skillnaden mellan kinesiska siffror （零 ， 一 ， 二 ， 三 ， ， ， ， 六 六 ， 七 ， 八 ， 九） och arabiska siffror (0-1-2-3-4-5-6- 7-8-9); trots skillnaderna i symboler är konceptet bakom dem detsamma.

Etiketten ”siffror” är försöket att beskriva ”universums kod”. Så, grovt sett skulle jag säga ja, siffror finns.

Gammal fråga. Men kul! Jag ” Jag förvånade ingen nämnde Principia Mathematica där över 100 sidor (163, om jag minns rätt) är dedikerade till att definiera numret ” 1 ”.

Jag skulle spela ett spel när jag gick i gymnasiet genom att föreslå att 2 + 2 = 7 och när andra studenter skulle argumentera för att jag helt enkelt skulle be dem bevisa att jag hade fel. Detta ledde vanligtvis till många handgester som började med två fingrar plus två fingrar och vanligtvis slutade med bara ett finger.

Summum bonum är helt enkelt att siffror är idéer (mentala konstruktioner som representerar en uppfattning, och i det men de existerar platoniskt). Som redan har förklarats mycket bra är dessa idéer användbara för att beskriva världen omkring oss, och därför fortsätter vi att använda och förbättra dessa idéer. Mitt förslag att 2 + 2 = 7 bryter mot reglerna som Alfred North Whitehead och Bertrand Russell skisserat; men reglerna som antyds av mitt förslag är inte mindre godtyckliga än deras, bara mindre användbara.

Naturligtvis bör du också definiera ” existens ” när du ställer en sådan fråga.

Kommentarer

• existerar dina tankar? hur är det med någon annan ’ s (i DITT sammanhang, inte den andra personen ’ s)?
• @slashmais Definiera ” existerar ” och sedan svarar jag ’;)
• Jag förstår vad du gjorde där 🙂 Jag försökte peka på var jag tror att svaret på en definition av ’ finns ’ hittar du här: filosofi.stackexchange.com/a/10552/112 , och i den meningen är du helt korrekt att säga att siffror är idéer – allt är . För att svara på min fråga om någon annan ’ s tankar: det kommer ’ att finnas ’ i ditt sammanhang bara när den andra personen uttrycker tanken (direkt / direkt) genom något beteende som du kan bli medveten om och som du kan dra slutsatsen om.

Införandet av bråk- och negativa rationella tal kan motiveras ur två synvinklar. Bråknummer är nödvändiga för att representera indelningen av en enhetsstorlek i flera lika delar, och de negativa siffrorna utgör ett värdefullt instrument för mätning av storheter som kan räknas i motsatta riktningar. Detta kan ses som argumentet för den tillämpade matematikern. Å andra sidan finns argumentet för den rena matematikern, med vilken begreppet tal, positivt och negativt, integrerat och fraktionerat, vilar på en grund oberoende av mätbar storlek, och i vars ögon analys är ett schema som endast handlar om siffror och har ingen anledning i sig av mätbar kvantitet. Det är möjligt att hitta matematisk analys med begreppet positivt heltal. Därefter kan de på varandra följande definitionerna av olika typer av antal, av jämlikhet och ojämlikhet mellan dessa siffror och av de fyra grundläggande operationerna presenteras abstrakt. (Av h.s carslaw)

Vilka siffror hittar vi i naturen? har du hittat negativa siffror?som namnet antyder finns naturliga tal i naturen. säg en viss längd (säg en pinne s ) tas som 1 längdenhet (t.ex. 1m ) nu om det finns någon annan pinne ( s2 ) som är lika lång som två s pinnar säger vi att dess längd är 2 enheter. lika lång kan vara av bråkdelar av s . siffror är etiketter för att representera en viss längd. samma idé kan utvidgas för alla mätbara kvantiteter. för -ve-tal överväga uttryck
(ab) * (cd) = ac-bc-ad? bd

om ”a” är längd> ”b ” längd och ” c ” längd> ” d ” längd då ska produkten vara + försök att sätta värden i uttrycket du kommer att finna att uttrycket håller bra om ”?” = ”+” gör en kvadrat med längden a och bredd ”c” sedan en annan längd ”b” och ”d” genom att lägga över ”b” på ”a” och ”d” på ”c” betraktar nu varje produkt som uttryck som ett motsvarande område i diagrammet. kommer du snart att inse att ”?” bör ersättas med ”+ ” eller så kan du skapa en regel om att distributiv lag håller bra om vi anser att tvåvägs nummer har en egenskap som (-b * -d) = (+ b * d) föreställ dig vikten av fördelande lag, den gör en formel som (ab) ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2 + 2ab. denna formel ger oss en genväg för att utföra beräkningar som bara har blivit möjliga om vi har -ve antal sådana egenskaper (multiplicera två -ve tal betyder en + produkt av deras storlek). om vi inte definierar -ve-tal kommer vi alltid att ha lång beräkning.

komplexa nr: s:

A * sin (wt) = RE [e ^ {jwt}] detta koncept har använts många gånger för att minska beräkningar som i nätverksanalys som involverar impedanser.

bör du läsa: Beginning Algebra for College Students Second Edition av Lloyd L. Lowenstein (Författare)

Finns siffror utanför våra huvuden? Nej.

Är det som finns i våra huvuden verkligt? Ja.

Finns siffror? Ja.

Om att veta att något är verkligt är definitionen av vad som är verkligt, så är siffrorna kanske lika verkliga som vad som helst i universum.

Jag har en husdjurshamster, jag älskar hamstern. Är hamstern riktig? Min upplevelse av hamstern är verklig, men hamstern kan man föreställa sig, sådan är drömmarnas natur att de verkar vara verkliga. Så är siffrornas karaktär att de inte är något annat än våra mest drömmande drömmar.

Men vad betyder mer för universum, en dröm eller en sten? På denna sten har vi byggt våra drömmar. Och utan våra drömmar och drömmar om alla saker skulle det inte finnas något här.

Och ändå, hur är det så att jag har två ögon och 10 tår? Är det för att naturen kan räkna? Eller är det tillfälligt? Vad är en tå utom en liten missformad tå fäst vid en större tå? Oavsiktliga köttiga möten som pryder en större köttig bihang så namngiven och numrerad av sammanfallet med att tänka och observera sin egen köttiga kropp. , är det nyfikenhet, rädsla, kärlek eller något annat som driver dig idag?

Varför tänkte du på vad ett nummer var och kom hit för att läsa om det?

För att du på något sätt vill veta om DU är riktig. Du kanske tror att du är ett nummer. Kanske behöver du något, alls vad som helst att hänga fast i dag, för att ge dig en plats att vila ditt trötta sinne som reser denna stora vidsträcka av möjligheter.

Så många möjligheter!

Det får mig att undra vad som är verkligt. Och de verkligaste sakerna vi kan tänka oss är de saker vi kan lita mest på. Jag tror därför att jag är, obestridlig. Men vem är du? Jag vet inte vem jag är, därför tänker ”jag”?Jag kan inte vara säker, för det kan vara en annan som tänker för mig, kanske jag bara ser dem tänka. Och ändå vet jag siffran 1. Ja, och om jag tar en av en sak, och en annan av samma sak, jag ”Jag har två av dessa saker. Och detta kan jag lita på för alltid och alltid … Men jag började undra, är att lägga till saker riktigt? Finns det verkligen någonsin två av något? När jag tittar ser jag med mina två ögon två olika bilder? Nej, jag ser en bild, mina två ögon fungerar som 1. Vad ser jag? Jag ser en bild, därför har jag ett öga i tankarna.

Så vad är ett nummer i alla fall? Är det en perceptuell konstruktion? Är det en definition?

Det är en tro. Precis som alla saker, tror vi, tror jag. JAG TROR. DU är jag. JAG TROR på DIG OCH MIG. Jag tror på oss. Jag tror … i siffror.

Jag lägger bara till det utmärkta svaret från @Niel de Beaudrap. Han ifrågasatte de ”riktiga kontra konstgjorda” dikotominormerna som överanvänds. Syftet med detta svar är att visa några andra aspekter av frågan som inte redan har tagits upp.

• Finns siffror i naturen? (jag antar att det är vad han menade med riktigt)
• Om inte, hur kan vi använda dem för riktiga saker?

Och två mindre frågor

• Hur är imaginära tal mer imaginära än reella tal?
• Varför kan ”t komplexa nummer ges en bestämd ordning?

Finns tal i naturen?

Nej. Numren är inte finns i naturen. Du kan hitta ”två äpplen” i naturen men inte ”två”. Återigen är det intressant att notera vad vi menar med att säga ”två äpplen”. Menar vi två objekt som är identiska? Då kan vi inte prata om två äpplen eftersom inget äpple är som ett annat, så vi talar om två föremål th vid liknar. ”Hur lika” är nästa fråga. Uppenbarligen vill vi undvika att räkna en apelsin som ett äpple. Men vi vill räkna det när vi räknar frukt. Vi kanske inte räknar ett äpple när vi räknar ”små äpplen”. Så uppenbarligen är räkning konstgjord. Men så är det många andra saker som vi tar för givet i livet. Och det är tydligt att det inte bara är reella tal eller komplexa tal; även räkna siffror är konstgjorda. Vi accepterar att räkna siffror som typ av riktiga och ifrågasätter endast mer konstgjorda sådana som riktiga tal eftersom vi är vana att räkna nummer.

Fortfarande, begreppen att räkna siffror, bråk och mängd är mycket användbara för våra ändamål idag, vilket förklaras av @Niel de Beaudrap. Så siffror finns inte i naturen. Siffror hjälper oss att fånga idén om mönster vi hittar i naturen . Observera att det vi finner i naturen inte behöver vara vad som finns i naturen. Det är verkligen verkligt för oss eftersom vår värld är vad vi känner.

Om inte, hur kan vi använda dem för riktiga saker?

Nåväl ”Det är den knepiga delen. Siffror är verktyg i matematik. Vetenskapsgrenar som matematik och logik handlar inte om de verkliga sakerna; de är inte avsedda att vara. De handlar verkligen om det abstrakta. Detta är både deras kraft och svaghet.

Om du ger dem några regler i en värld som kanske eller inte existerar, kommer de att berätta en hel del andra saker om den världen. Så om du ger dem regler (några regler) kommer de att berätta för dig många konsekvenser av dessa regler. Det är deras makt. Det är därför de är tillämpliga nästan överallt. Och de kommer att berätta för dig bara konsekvenserna av dessa regler, oraklets personliga övertygelse har ingen plats där. Detta det är därför de betonar stränghet.

Men om du är intresserad av en värld vars regler är okända för dig, där är de hjälplösa. Detta gäller exakt vår fysiska värld som vi känner den. intresserad av reglerna i vår värld men matematik kan inte tillhandahålla dem. (Däremot är teoretisk fysik och matematik nära vänner). Därför behöver du en bro mellan dem för att skapa en länk. Detta är en lucka som endast filosofin kan fylla. Och filosofiska verktyg som modeller är det vanliga sättet att gå.

Mindre frågor

Hur är imaginära tal mer imaginära än reella tal? Tja, imaginära siffror är inte ett uns mer imaginära än reella tal. I en föreläsning om komplexa siffror bad professorn studenterna att höja händerna om de tycker att imaginära siffror är imaginära och reella tal är riktiga. Cirka tretton elever lyfte händer. Sedan sa han detta, ”okej, vi kan diskutera om det. Hälften av er kommer till scenen”.

Varför kan inte komplexa siffror ges en bestämd ordning? Genom ordning betyder de inte en allmän sak; De pratar om ett specifikt koncept som heter total order .Att säga att komplexa nummer inte kan beställas betyder att oavsett vilken beställning du kommer på kommer den att vara under minst ett av villkoren för total order som är kompatibel med de vanliga fältoperationerna för tillägg och multiplikation. Du kan hitta mer information från denna fråga i stackexchange och den här sidan från cut-the-knot . Faktum är att uppsättningen {0,1, -1, i, -i} av komplexa nummer i sig kommer att göra problem när vi försöker ge en total order som följer de vanliga fältoperationerna. Jag ska ge detaljer om du är intresserad (inte svårt, men jag tror att det inte kommer att ha någon filosofisk betydelse för dig).

Kommentarer

• Uppsättningen {0,1, -1, i, -i} är helt ordnad precis som du skrev den, från vänster till höger. Det finns ’ ingen ordning på de komplexa siffrorna som är kompatibla med dess algebraiska struktur. Men det finns gott om totala beställningar på de komplexa numren. Lexikografisk ordning på a + bi är en sådan.
• Redigerad. Tack @ user4894. Jag försökte hålla detaljerna minsta möjliga.
• Definitionerna för (totalt) beställnings- och beställningsfält finns på sidan 246 i Stephen Abbots ’ s bok ” Förstå analys ”

Om det är bra med dig, skulle jag vilja fokusera på geometri snarare än siffror. Jag känner samma sak om båda områdena, men geometri passar lite snyggare med mitt exempel.

Tänk på påståendet:

Vinklarna för vilken triangel som helst till 180 grader.

Om du är ganska bekant med grundläggande geometri, kommer detta uppenbarligen att vara sant.

Vad sägs om detta uttalande?

James Kirk är kapten för USS Enterprise .

Vi kan påstå att det är falskt antar jag, men om vi deltar i en Star Trek -konvent är det inte mycket artigt. Men det blir värre. Om vi hävdar att ovanstående uttalande är falskt hävdar vi att:

James Kirk är inte kapten för USS Enterprise .

Och det antyder fortfarande att det finns både en Kirk och en USS Enterprise , förutom att irritera Trek fans. Det finns mer komplicerade sätt att tolka negationsoperatören, men det här är inte ett trivialt problem .

Antag att vi accepterar att Kirk är kapten, för att lugna fansen. Men då kommer en av dem till oss och säger:

Jag är ett fan av Star Trek: The Next Generation och Jag tycker att ditt Kirk-uttalande är falskt. Kaptenen för Enterprise är Picard, inte Kirk.

Sedan, medan vi ” förvirrande över att en matematiker kommer fram till oss och säger:

Jag är ett fan av icke-euklidisk geometri . Jag tror att ditt triangeluttalande är falskt.

Matematiska påståenden är sanna inom ramen för deras axiom. Uttalanden om fiktion är sanna inom ramen för deras kanoniska källor. Om du väljer olika axiomer eller olika kanoniska källor får du olika sanningar (om Kirk / Picard-exemplet är för subtilt, jämför och kontrast Dracula Med Twilight ). Även om matematik är strängare och i de flesta fall mer direkt användbar än fiktion, är båda former av konst.

Gilla många konst, både matematik och fiktion strävar efter både sanning och skönhet . Men det här är estetiska egenskaper, inte objektiva verkligheter.Matematik är ”sant” när du hittar en verklig situation som den beskriver exakt och använder den korrekt. Skönlitteratur är ”sant” när du upptäcker att den resonerar med dina livserfarenheter och mål och försöker leva efter dess läror. Dessa sanningar kan inte existera isolerat; de är beroende av observatören för att aktualisera dem.

Så, för att svara på din fråga, siffror, eller trianglar, är lika ”riktiga” som -applikationen du har hittat för dem. Men om du bara gör matte för att du tycker att det är vackert , behöver du inte bry dig om det är riktigt. ” Kanske kommer någon annan att hitta en applikation någon dag, som hände med talteori och kryptografi. Kanske inte. Hur som helst, oroa sig för det skulle sakna poängen. Du gör det inte för sanningen. Du gör det för skönhet.

Leopold Kronecker uppgav att den icke -negativa heltal där de gjordes av Gud. Allt annat ”skapas” av människor. Efter denna idé vet vi säkert att icke-negativa heltal är verkliga. Nu är uttalandet ”Siffrorna är verkliga.” motsvarar ”Antal finns.” Existens kan bevisas genom att skriva ner ett distinkt element som uppfyller den givna egenskapen. Genom att det finns icke-negativa heltal, och med utgångspunkten att icke-negativa heltal är tal, drar vi slutsatsen ”Numren är verkliga.”

Redigera: Vad jag faktiskt ville påpeka är att frågan verkligen beror på hur siffror förstås.

Å andra sidan skulle jag gillar att slå ett slag för Kroneckers punkt. I mer allmänna termer beskrev han en naturlig benägenhet för mänskliga bin att räkna saker. Detta är inte helt orimligt. Tänk på att det hittades ben med räknemärken som är ungefär 30000 år gamla (jag hoppas att du inte kommer att skylla på mig om jag inte ger en bibliografisk verifiering) – långt innan folk lärde sig om axiomer för att konstruera naturliga siffror.

Kommentarer

• Argument från myndighet?
• @NieldeBeaudrap, jag don ’ t argumentera med ett induktivt argument. Är inte ’ t motsatsen ett krav för argumentet från myndighet?
• ” Leopold Kronecker uppgav att de icke-negativa heltalen gjordes av Gud ” [betoning min].
• Faktum att människor har använt en idé utan axiomatisering betyder inte att den ” existerar ” oberoende av människor. Är magi verkligt? Är turen verklig?
• Jag tror att du tillåter dig att tänka på ordet ” använd ” annorlunda för ’ magi ’ och för ’ siffror ’, men tänk inte.

1. Siffror används för att räkna.

2. Vi räknar former.

3. En Den mest primitiva formen vi räknar är en linje.

4. Linjen är en form som har samma slut som början.

5. Således är linjen en 1-dimensionell slinga, och vi observerar alla siffror som 1 slingring som en uppsättning (dvs. 7 apelsiner är 1 (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) eller 1 uppsättning med 1 ”s där” orange ”är en uppsättning och en del av uppsättningen).

6. Alla fenomen är former när de tar form. Alla fenomen som har former är slingor när du slutar där du börjar när du spårar konturen.

7. Räkningen är en slinga mellan motivet och objektet / objekten.

8. Så vi räknar loopar genom att använda siffror som uppträder genom en 1 slinga av 1 genom slingan av motivet och objektet med objektet som en form som en slinga samt rationellt med att ämnet är en slinga.

9. Tal är rumsliga former och existerar genom processer som sker genom rumsliga former.