Är siffror verkligen oändliga? [stängd]

Du är inte den enda som ifrågasätter den oändliga mängd siffror. Det finns faktiskt hela tankeskolor som utforskar det oändliga antal spektrum, hela tankeskolor som utforskar de oändliga siffrorna bortom det oändliga spektrumet, och hela tankeskolor som utforskar hur man gör matte där oändligheter inte finns (känd som finitistiska skolor tanke)!

Grundläggande för diskussionen om oändliga tal är begreppet Peano-aritmetik. Giuseppe Peano utvecklade en uppsättning axiomer för de så kallade ”naturliga siffrorna” som definieras informellt som sekvensen 0, 1, 2, 3, 4. .. Axiomerna är:

• 0 är ett naturligt tal (vi förklarar att det existerar, det är en konstant)
• För varje naturligt tal x, x = x (reflexiv: allt” motsvarar ”sig själv)
• För alla naturliga tal x och y, om x = y då y = x (symmetrisk egenskap för jämlikhet)
• För alla naturliga tal x, y, z, om x = y och y = z sedan x = z (övergående egenskap av jämlikhet)
• För alla a och b, om b är ett naturligt tal och a = b då är a ett naturligt tal (lika är ”stängt”)

Vi måste sedan definiera en funktion S, känd som efterföljande funktion, så att vi kan ha siffror större än 0. Informellt, S(0)=1, S(1) = 2 och så på.

• För varje naturligt tal n är S(n) också ett naturligt tal
• För alla naturliga tal m och n, m = n om och bara om S(m) = S(n) (S är en injektion)
• För varje naturligt tal n, S(n) = 0 är falskt (efterföljaren till ett tal är aldrig 0 … aka 0 är det ”första” naturliga talet)

Nu behöver vi axiomet som gör din fråga så utsökt intressant, induktionens axiom:

• om f är en sådan funktion som t f(0) är sant och för varje naturligt tal n, om f(n) är sant då f(S(n)) är sant då f(n) är sant för alla naturliga tal.

Det sista axiomet är en som får så mycket intressant beteende att inträffa. Det är den som försöker nå oändligheten och påstår sig erbjuda sätt att förstå den. Och som alla axiomer säger den inte necesariellt att den är ”korrekt”, bara att den förklaras vara sant inom gränserna. av aritmetikens regler (som definierats av Peano).

Mycket av aritmetiken formaliserades till vad som kallas ”uppsättningsteori”, vilket är grunden för en stor del av vår matematik eftersom den verkar vara grundläggande för hur universum är organiserat. Uppsättningar hanterar specifika samlingar av saker, som ”uppsättningen naturliga tal som är mindre än 5”, som skrivs som {0, 1, 2, 3, 4}.Peano-aritmetik kartläggs oftast till uppsättningsteori med följande konstruktion:

• Den tomma uppsättningen {} förklaras vara konstant 0 i Peanos axiomer
• Efterföljaren S(n) definieras som` S (n) = {{}, {n }} (Efterföljaren för valfritt nummer definieras som föreningen av den tomma uppsättningen och en uppsättning som innehåller föregående nummer)

Den definitionen låter lite tråkig, men den valdes för är lätt att kartlägga alla andra Peano-axiomer på dessa två definitioner. Med detta får vi förmågan att använda uppsättningsteori-axiomer för att manipulera ”siffror” på mycket kraftfulla och grundläggande sätt. En av de viktigaste av dessa är begreppet en uppsättning kardinalitet. Detta är ”antal” saker i en uppsättning. Informellt {1, 2, 3}, {3, 4, 5} och {äpple, apelsin, orangutang} har alla en kardinalitet på 3 eftersom de har tre element, men {2, 4, 6, 8} har en kardinalitet på 4.

Detta är där det blir knepigt, för det visar sig att ”uppsättningen av alla naturliga tal” är en giltig uppsättning, typiskt representerad med stora N, så vi kan fråga ”vad är kardinaliteten i uppsättningen av alla naturliga tal? ”Svaret är” oändlighet ”och det uttalandet görs som en definition. Vi definierar kardinaliteten för N som ett visst tal, känt som ℵ₀ som får det engelska namnet ”countable infinity.” Ja, för matematiker räknas oändligheten, eftersom du teoretiskt kan börja vid 0, räkna uppåt 1, 2, 3, 4, 5 … och ”nå” ℵ₀ enligt induktionens axiom. Det finns också oräkneliga oändligheter, såsom ℵ₁, känd som kontinuumets kardinalitet eller antalet verkliga tal (förutsatt att kontinuumhypotesen är sant … det finns till och med olika åsikter om detta). Det finns till och med en skola av tänkte på ”transfinite” siffror som kan hantera fraser som ”I double dog vågar dig oändlighet plus en gång!”

Välkommen till oändlighetens kaninhål i matematik. Vi har definierat att ordet betyder något här. Det definieras med avseende på en uppsättning axiomer. Håller dessa axiomer i ”verkliga livet?” De flesta matematiker tycker att det är praktiskt att anta att de gör det. Datorn du läser detta på idag utvecklades med hjälp av många modeller från kalkylen och kalkylens rötter finns djupt i oändligheten (särskilt dess begrepp ”gränser). Hittills har antagandet gjort oss ganska bra. Är det antagandet” sant? ”Det” är mer komplicerat fråga. Det finns finitiska tankeskolor som utgår från antagandet att antalet naturliga tal är begränsat, vanligtvis relaterat till det mänskliga sinnets eller universums begränsade kapacitet på ett eller annat sätt. Om tiden är ändlig och beräkningen är ändlig, kan man inte teoretiskt datorisera ”oändligheten”, så de hävdar att den inte existerar. Är de rätt? Ja, ja … enligt deras definitioner, precis som det motsatta påståendet är sant genom definitionerna av Peano-axiomerna och uppsättningsteorin. Båda kan förmodligen vara sanna eftersom de definierar var och en ordet ”oändlighet” för att betyda någonting som är så annorlunda annorlunda. val: ”Så, ska vi säga att siffror är oändliga?” Vi kan säga ett stort antal saker. Huruvida dessa saker uppfyller idealet om sanning (i sig självt ett mycket svårt ord att beskriva formellt) beror mycket på ens individuella betydelser för ord. Om du accepterar definitionen för ”oändlighet” som ges av vanlig matematik, är ”siffror oändliga” sant, bokstavligen för att vanlig matematik definierar ”oändlighet” som sådan. Om du accepterar definitionen som ges av finitisterna är ”siffror oändliga” falska, bokstavligen för att finitisterna definierar ”oändlighet” som sådan. Du kan välja din egen definition. Det kan till och med vara kontextuellt (det är inte ovanligt att kristna matematiker som definierar ”oändlighet” inom sin religion något annorlunda än de definierar det i matematiken, utan några skadliga effekter förutom två mycket lika begrepp som tilldelas samma ord i deras ordförråd) .

Kommentarer

• " det finns hela tankeskolor som utforskar det oändliga talspektret ". Ingen kan utforska den oändliga mängden siffror eftersom de är oändliga. Du behöver oändligt många år och oändligt många forskare.
• Detta svar innehåller vad jag antar är ett oskyldigt fel. Värdet av kontinuitetens kardinalitet är en av de stora okända inom uppsättningsteorin. ZFC är inte tillräckligt stark för att svara ska skapa ett värde. Att säga att " c " är lika med aleph-1 är att anta sanningen i kontinuumhypotesen.
• Jag gillar verkligen det här svaret.Så mycket som allt är vad vi säger att det är när det finns enighet om folk, detta svar går ännu längre till mycket snabbt och tydligt ger den matematiska ramen där vi båda definierar termer och specifikt hur oändlighet definieras med samma. +1
• @NickR Tack för fångsten! En redigering har införts!
• @JohnAm Du kan utforska dem på begränsad tid, så länge du ger en oändlig tid på varje nummer 😉 Det väcker frågan hur grundligt vi utforska några av de större siffrorna, gör det inte ' t!

Det är allmänt accepterat att de naturliga siffrorna uppfyller Dedekind-Peano Axioms (vanligtvis bara uppkallad efter Peano eftersom Dedekind blir stel). Dessa axiom innebär att det finns oändligt många naturliga tal. Och det är inte svårt att se varför: det kan inte vara ett största naturligt tal n, eftersom n + 1 är ett större naturligt tal.

Mer allmänt, i standard (ZFC) axiomer för uppsättningsteori kan vi bevisa förekomsten av en hel del oändliga uppsättningar. Detta är lite mindre användbart för dina ändamål, eftersom existensen av en oändlig uppsättning är inbyggd i ZFC som ett axiom, men eftersom ZFC är allmänt accepterat av matematiker och filosofer är det värt att påpeka.