Använd Wikipedia-versionen av Bekenstein-bunden och ersätter Wikipedia-värdena för elektron massa och radie , får man 0,0662 bitar. Betyder detta verkligen att ett system, vilket system som helst, placerat i en sfär som är lika stort som en elektron och som väger högst en elektron gör, är nästan bestämt? Vad sägs om en elektron själv? Behöver man inte åtminstone några bitar för att karakterisera en elektrons beteende i magnetiskt utrymme?
(Jag är en professionell matematiker men jag vet väldigt lite om fysik, jag är säker på att jag saknar något uppenbart här …)
Kommentarer
- Det betyder bara att en fysiker har kommit med en annan " Det ' är inte ens falskt! " uttalande. Tills någon släpper 16 elektroner i ett svart hål och kan bevisa experimentellt, att ' är det lägsta numret för att lagra en hel bit i systemet, det ' är helt enkelt ingenting annat än ett meningslöst uttalande.
- " klassisk elektronradie " isn ' t klassisk och isn ' t en elektronradie. Såvitt vi vet är elektronen en punktlik partikel. Det finns empiriska övre gränser för dess storlek (om den har intern struktur) som är mycket mindre än den klassiska elektronradien.
Svar
Du har hittat ett detaljerat sätt för att beräkna $ 2 \ pi \ alpha / \ ln 2 \ ungefär 0,0661658 $. Här representerar $ \ alpha \ approx 1/137 $ finstrukturskonstanten .
Poängen att notera är att:
A) Bekensteins gräns definierar det maximala antalet nät information som kan finnas i en sfärisk region eftersom omkretsen av den regionen delas av den reducerade Compton-våglängden associerad med den totala energin som finns i det området,
och
B) är den klassiska elektronradien lika med den fina strukturen konstant gånger den reducerade Compton-våglängden för elektron.
Skulle du göra om din beräkning med hjälp av elektronmassan och den reducerade Compton-våglängden för elektronen, skulle du få ett värde på $ 9,0647 $ bitar. Men du skulle få exakt samma värde för ett proton eller vilken annan elementär eller sammansatt partikel du än väljer. Jag skulle inte fästa någon fysisk betydelse för dessa resultat.
Tillagt: Vi har för närvarande inte en konsekvent kvantgravitationsteori, och vi har inte ens en aning om vad som skulle vara de grundläggande frihetsgraderna i en sådan teori. Därför riskerar varje uttalande som svar på frågor som ”hur många bitar / nät av information som kan associeras med en elektronmassa” att leda till nonsens. Med detta sagt verkar det holografiska (Bekenstein-Hawking / svart hål) mer kapabelt att ge rimliga ledningar. Användning av $ 4 \ pi $ gånger kvadraten för elektronens reducerade våglängd som area i BH-bunden leder till ett informationsinnehåll på $ S / k = \ pi \ hbar c / G m ^ 2 $ nats. Här betecknar $ m $ elektronmassan. Detta resultat för ”informationsinnehållet i en volym som är tillräckligt stor för att innehålla en elektron” är i huvudsak kvadraten av förhållandet mellan Planck-massan och elektronmassan. Det ”är mycket nats.
Kommentarer
- Jag använde den tredje ekvationen i WP-artikeln sv.wikipedia.org/wiki/Bekenstein_bound . Jag förstår att ln 2 kommer från nat / bit-omvandlingen, men att ' redan finns i WP, och kan ' t redogöra för de två storleksordningarna mellan de 9,06 bitarna som du beräknade och de 0,066 bitarna som WP-formeln ger. När du säger " don ' t bifoga någon fysisk betydelse " säger du, kanske på ett mer artigt språk, samma sak som @Jerry Schirmer sa, nämligen att gränsen inte är giltig i denna skala?
- @StudentT – de två storleksordningarna kommer från finstrukturskonstanten (skillnaden mellan att använda den klassiska elektronradien och Compton-radien på Slutsatsen är: beräkningen leder till ett cirkulärt resonemang voi d av fysik.
- Kära @Johannes, låt mig ställa frågan på ett icke-cirkulärt sätt: ges ett fysiskt system som passar in i en elektron och inte har mer massa / energi än en elektron, vad är det maximala antalet urskiljbara tillstånd det kan ha? Kanske kan fysik (ännu) inte ge en gräns. Jag var ursprungligen intresserad av en enklare fråga: med tanke på ett system som tar exakt 1 bit att karakterisera, hur liten kan den vara?Men då trodde jag att det skulle vara en bra förnuftskontroll att titta på Bekenstein-formeln för något befintligt system och fann det ganska överraskande resultatet som jag publicerade ovan.
- @StudentT – det verkar som om du letar efter en uppskattning baserad på BH-bunden. Har lagt till lite text till mitt svar ovan. Hoppas det hjälper.
- Kära @Johannes, tack! Det hjälper naturligtvis, men det lägger också till min förvirring genom att svaret kommer ut som $ 2,587 \ cdot 10 ^ {45} $ bitar, större än vad wikipedia har för en sfär med en radie på 6,7 cm (se avsnittet " Den mänskliga hjärnan " i en.wikipedia.org/wiki/Bekenstein_bound). Detta är inte att säga att WP alltid är 100% exakt, men i matematikavsnittet som jag ' är mer bekant med generellt sett många kunniga människor tittar på artiklar och don ' låt inte upprörande saker glida förbi. Hur som helst, ditt försök att klargöra detta uppskattas mycket!
Svar
Man kan inte ta resultat så här för allvarligt i den skala som en elektron skulle tillämpas på. I synnerhet skulle den klassiska generella relativistiska modellen, applicerad naivt på en punktmasselektron, berätta att elektronen har för stor laddning och vinkelmoment för att ha en svart hålshorisont skulle istället vara den exotiska typen av objekt som kallas en naken singularitet.
Kommentarer
- Innan jag ställde frågan kollade jag först Bekenstein ' s förklaring vid Scholarpedia. Hans metod för att härleda den bundna är genom att släppa objektet (i detta fall elektronen) i ett svart hål. Det är inte klart för en utomstående som jag själv vilken del av denna härledning att inte ta på allvar.
- @StudentT: han ' s släpper den i ett svart hål ' s horisont. Om du tar allmän rel att vara sant hela vägen ner till en elektron ' s skala, det finns ingen horisont, så ingen av Bekensteins ' ekvationer gör någon mening, eftersom de alla är baserade på att korsa horisonten.
- Bra, tack! Gäller samma logik för Hawking-strålning? Det verkar vara samma skalproblem: du tittar på parskapande (förmodligen parets medlemmar är inte långt ifrån varandra på kvantskala) när en medlem är inuti och den andra utanför händelsehorisonten, en sfär vars radie är mätt i kosmisk skala? Hur som helst, den ursprungliga frågan är stängd och tack igen.