Ett urval av en slumpmässig process ges som:
$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$
där $ w (t) $ är en vit brusprocess med $ 0 $ medelvärde och en effektspektral densitet på $ \ frac {N_0} {2 } $ och $ f_0 $, $ A $ och $ B $ är konstanter. Hitta autokorrelationsfunktionen.
Här är mitt försök till en lösning:
Låt $ a = 2 \ pi f_0t $ och $ b = 2 \ pi f_0 (t + \ tau) $
\ begin {align} \ text {Autokorrelation av} x (t) & = E \ vänster \ {x (t) x ( t + \ tau) \ höger \} \\ & = E \ vänster \ {\ vänster (A \ cos (a) + Bw (t) \ höger) \ vänster (A \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ höger) \ höger \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \} \\ & = E \ vänster \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ höger \} + E \ vänster \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ höger \} + E \ vänster \ {AB \ cos (b) (wt) \ höger \} \\ & \ quad + E \ vänster \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ höger \} \\ & = E \ vänster \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ höger \} + E \ vänster \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ höger \} \\ & = E \ vänster \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ höger \} + B ^ 2 \ vänster (R_w (\ tau) \ höger) \\ & = E \ vänster \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ höger \} + B ^ 2 \ vänster (\ frac {N_0} {2} \ höger) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Förväntningsvillkoren med bruset i dem är lika med $ 0 $ (det sista är bara den automatiska korrelationen av vitt brus … därav förenklingen ovan. Använda trigonometriska identiteter: $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (a – b) \ right] $$
vi har:
\ begin {align} \ text {Autokorrelation av} x (t) & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ höger \} + B ^ 2 \ vänster (\ frac {N_0} {2} \ höger) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ vänster \ {\ vänster (A ^ 2 \ höger) \ frac 12 \ vänster [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ höger] \ höger \} + B ^ 2 \ vänster (\ frac {N_0} {2} \ höger) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ vänster (\ frac {A ^ 2} {2} \ höger) \ vänster [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ höger] + B ^ 2 \ vänster (\ frac {N_0} {2} \ höger) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Vi har att göra med konstanta termer, så förväntningsperioden försvinner och subbing under våra ursprungliga villkor får vi: $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ vänster [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ höger] + B ^ 2 \ vänster (\ frac {N_0} {2} \ höger) (\ delta (\ tau)) $$
Av någon anledning kan jag inte låta bli att känna att jag gjorde något felaktigt för att beräkna den autokorrelationen … det ska vara en funktion av $ \ tau $, men har en $ t $ är där inne … Jag skulle mycket uppskatta det om någon kunde peka mig i rätt riktning eller förklara vad jag trasslade till. Jag vet inte om det spelar roll, men i den här klassen har vi bara att göra stationära processer med vida känslor.
Kommentarer
- Om du inte är säker på att den slumpmässiga processen $ x (t) $ är WSS, bör du inte förvänta dig att dess ACF ska vara en funktion av $ \ tau $ ensam. Därför verkar det korrekt här att inkludera tidsvillkoren $ t $. Men jag tror att cosinus term inuti $ x (t) $ kan innehålla antingen en slumpmässig amplitud eller en slumpmässig fas som du glömmer att skriva, då kan du ha en chans att bli av med tidselementet $ t $ om du önskar så mycket så …
- Processen $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $ är en cyklostationär process (uppfyller stationaritetskraven för de tidsförskjutningar som är multiplar av $ (2 \ pi f_0) ^ {- 1} $) och inte en WSS-process alls. Observera till exempel att även medelfunktionen $ E [x (t)] $ inte är en konstant som den borde vara för en WSS-process. Som @ Fat32 säger (+1) kanske du har glömt att inkludera en slumpmässig fas $ \ Theta $ i din $ x (t) $ -definition (den nödvändiga egenskapen för WS-stationaritet är att $ E [\ cos (2 \ Theta) ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $ som gäller för $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ eller $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac 14 $ för $ n = 0,1,2,3 $).
Svar
Jag antar att du ”har gjort nästan allt rätt, men har problem med beräkningen av förväntningsvärdet angående $ t $. Du bör beräkna förväntningsvärdet för cosinusfunktionen. Tyvärr” försvinner det inte bara ”som du skrev.
Ta en titt på Wikipedia-sidan . Där kan du hitta en annan, mer tydlig formel för den automatiska korrelationsfunktionen för en funktion $ f (t) $:
$ R _ {\ textrm {ff}} (\ tau) = \ int \ limit _ {- \ infty} ^ \ infty f (t + \ tau) \ bar {f} ( t) \, \ textrm {d} t $.
(Observera att jämfört med Wikipedia-sidan har jag tagit mig friheten att använda variabeln $ t $ i integrationen istället för $ u $, whi ch skulle vara den matematiskt mer exakta versionen.)
Som du kan se från denna ekvation, ”integrerar du” beroendet av t, och du borde verkligen ha en funktion som är oberoende av $ t $.
Observera att det också finns en version som inte går till oändliga tider, men som är begränsad till en period $ T $. Kanske är den här versionen mer lämplig i ditt fall.Detsamma gäller dock för den här versionen: $ t $ integreras bort och borde inte vara en variabel i den resulterande formeln.
Kommentarer
- Du blandar ihop två olika begrepp när du skriver ” Som du kan se från denna ekvation integrerar du ” bort ” beroendet av $ t $, och du borde verkligen ha en funktion som är oberoende av $ t $ ”
- Du kan ta också formeln från Wikipedia-sidan utan $ t $ och skriv $ R_ \ textrm {ff} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (u + \ tau) \ bar {f} ( u) \, \ textrm {d} u $. Det viktiga här är i båda fallen att argumentet för funktionen $ f $ är t och är integrerat över – därför har du inte längre $ t $ i slutresultatet, utan bara $ \ tau $.
- @Dilip Du kan också titta här ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/… – detta är i grunden det första resultatet efter en enkel google-sökning. Där finns på sidan 22-2 (sidan 3 i PDF) ett exempel på en autokorrelationsfunktion, som beräknades med denna formel och är oberoende av $ t $. Du kan också hitta matematiskt inte så ljud integrerad notation på föregående sida.
- Det är långt ifrån mig att ifrågasätta giltigheten av en formel som du hävdar kan hittas på Wikipedia eller undervisas i en MIT-onlinekurs, men det verkar för mig att i \ begin {align} 2 \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0t) \ cos (2 \ pi f_0 (t + \ tau)) dt & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) + \ cos (2 \ pi f_0 \ tau ) dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) dt + \ int _ {- \ infty} \ infty \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) dt \ end {align} den andra integralen på den andra raden (vars integrand är en konstant wrt $ t $) avviker såvida inte $ \ tau $ råkar ha ett värde så att $ \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) = 0 $.
- @Dilip Du har rätt, denna integral skiljer sig åt. Inte ens den första integralen är meningsfull, eftersom den inte konvergerar. Av detta skäl finns det sista stycket i mitt svar.