Bevarande av 4-momentum i speciell relativitet

Jag förstår att den inre produkten av två 4-vektorer bevaras under Lorentz-transformationerna

Ja, $ p_1.p_2 $ är en Lorentz-invariant

Så att det absoluta värdet av de fyra momentum är densamma i alla referensramar.

Det är s inte korrekt att tala om det ”absoluta värdet” för en (quadri) vektor. Som bevaras i en Lorentz-transformation är $ p ^ 2 = (p ^ o) ^ 2 – \ vec p ^ 2 $

Detta är vad jag (troligen felaktigt) trodde man att bevara momentum.

Nej, bevarande av momentum är en helt annan sak. I slutändan har du någon teori som beskriver fält och interaktioner, som beskrivs av en handling som är oförändrad av vissa symmetrier. Om handlingen är oförändrad av rums- och tidsöversättningar finns det en bevarad kvantitet som är momentum / energi.

Jag förstår inte varför ekvationer som P 1 = P 2 + P 3 (Pi är 4-momentumvektorer för olika partiklar i en kollision till exempel) ska hålla, inom en referensram. Jag har fått höra att du inte bara kan lägga till fyra hastigheter tillsammans vid kollision av partiklar, så varför skulle du kunna göra detta med momentumvektorerna?

Om teoriåtgärden är oförändrad av rums- / tidsöversättningar, bevaras momentum / energi, så den totala momentum / energin för de initiala partiklarna är densamma momentum / energi hos de slutliga partiklarna:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {out} ^ \ mu \ tag {1} $$

Om det finns flera initiala partiklar betraktas de som oberoende (den globala staten är tensorprodukten för de ursprungliga partiklarnas tillstånd). Oberoende betyder att du ha:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = \ sum_i p_i ^ \ mu \ tag {2} $$ där summan är abou t alla initiala partiklar. En liknande ekvation gäller för de slutliga partiklarna.

Om du lägger till två hastigheter i special relativitet måste du använda formeln

$$ v = (v_1 + v_2) \ left (1+ \ frac {v_1v_2} {c ^ 2} \ right) ^ {- 1} \ text {.} $$

Så du kan inte bara lägga till två hastigheter tillsammans. Vanligtvis är hastighet inte en bra variabel att arbeta med i speciell relativitet. Det är mycket lättare att använda bevarande av fyra momentum, vilket helt enkelt ges av

$$ p = p_1 + p_2 \ text {,} $$

för en partikelkollision där två partiklar med $ p_1 $ och $ p_2 $ kolliderar och hänger sedan ihop och har momentum $ p $. Eftersom fyrmomentet ges av

$$ p = \ begin {pmatrix} E / c \\ \ vec {p} \ end {pmatrix} \ text {,} $$

bevarande av fyra momentum är inget annat än bevarande av energi $ E $ och bevarande av tre momentum $ \ vec {p} $.

För att svara på dina frågor:

Varför kan vi lägger till fyra momentum i en partikelkollision? Eftersom energi och momentum bevaras också i relativitet.

Varför kan ”t lägger vi till fyra hastigheter i en partikelkollision? Eftersom det inte finns något sådant som ”hastighetsbevarande”, varken klassiskt eller i relativitet.

Kommentarer

• Detta svar var jättebra. Jag har en klargörande fråga – kommer $ (P_1 + P_2) ^ 2 $ att vara oförändrad, alltså $ (P_1 + P_2) ^ 2 = – (m_1 + m_2) ^ 2c ^ 2 $?

Du kan bara verifiera varje komponent och de är bara bevarande av momentum i 3 momentum. Det finns ingen hastighetsskydd så du kan inte lägga till dem tillsammans.