Bevis på svagare Baker-Campbell-Hausdorff Formula [duplikat]

För det första antar jag ändliga dimensionella operatorer: annars måste du kontrollera vissa begränsningsförhållanden hos operatörerna. Eftersom CBH-serien här trunkeras av de försvinnande dubbla kommutatorerna, är villkoren för linjära operatorer på t.ex. $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $ milda.

Du måste öva på operationer med $ \ mathrm {Ad} $. Slå upp följande. I Lie-gruppen $ \ mathfrak {G} $ med algebra $ \ mathfrak {g} $ tangentvektorn till sökvägen:

$$ \ sigma: \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {- A}; \; A, \, B \ in \ mathfrak {g} \ tag {1} $$

vid identiteten är $ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $. Här är $ \ mathrm {Ad}: \ mathfrak {G} \ till GL (\ mathfrak {g}) $ Adjoint Representation . Det är en Lie-grupphomomorfism från den allmänna Lie-gruppen $ \ mathfrak {G} $ till matrisen Lie-gruppen $ GL (\ mathfrak {g}) $. Dess kärna är mitten av $ \ mathfrak {G} $. Eftersom det är en homomorfism har vi $ \ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ forall \ gamma , \, \ zeta \ in \ mathfrak {G} $. En annan användbar identitet är:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$

och den här serien är universellt konvergent om operatören $ B \ mapsto [A, \, B] $ är lämpligt avgränsad ( t.ex. $ \ left \ | [A, \, B] \ right \ | \ leq K (A) \, \ left \ | B \ right \ | $ för vissa $ K (A ) \ in \ mathbb {R} $ – detta är verkligen sant i begränsade dimensioner).

Nu, av (1) och egenskapen homomorfism ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \ , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) $), kan du hitta det:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, A + B)} \\ & = & \ left (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {- \ lambda \, A} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, A} \ höger) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ right) \ right) \, f \ end {array} \ tag {3} $$

Allt ovan är helt allmänt. Du måste specialisera den i ditt avkortade fodral. Så använd den universellt konvergerande serien (2) för att expandera $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ höger) $ och trunkerar det för ditt speciella fall och jag tycker att du borde ta ett steg framåt.

En pedantisk kik: även om båda ordrarna för namnet är ganska vanliga, är den ordning som exakt återspeglar den historiska företräde ”Campbell-Baker-Hausdorff” eftersom var och en av författarna gjorde sina bidrag 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) och 1906 (Hausdorff ), respektive. Var och en var medveten om sina föregångares ”arbete, men, som anges i Fascicule 16 Ch 1 i Bourbaki (1960),” tyckte var och en att demonstrationerna från sina föregångare var övertygande (!) ”. Detta uttalande får mig alltid att fnissa och ger lite tröst att ”Jag är inte den enda med ungefär 5% förståelse i att läsa teknisk litteratur (jag tror att jag måste läsa en artikel ungefär 20 gånger för att” få ”den). Ett underhållande faktum är att ingen av dessa tre faktiskt utarbetade serien. Istället fastställde de satsen om att serien var konvergerande inom något område av $ \ mathbf {0} $ i Lie-algebra och endast omfattar linjära och Lie-parentesoperationer. Formeln i sig beror på Dynkin och var helt utarbetad 1947!

Kommentarer

• tack så mycket för att du svarade! Jag ' Jag gör mitt bästa för att studera ditt svar, trots min lilla introduktionsnivå om lögngrupper och algebra.
• @quarkleptonboson I ' har lagt till ytterligare ett steg i ekv. (3) för att hjälpa dig.Tänk bara på alla operatörer som kvadratiska $ N \ gånger N $ -matriser och alla Lie-parenteser och multiplikationer blir då konkreta matrixmultiplikationer. (2) är alltid en bokstavlig matriseffektserie, eftersom gruppen av inverterbara linjära transformationer på $ \ mathfrak {g} $ alltid är en matrisgrupp.