För att diagonalisera kvadratiska termer i antiferromagnet Heisenberg-modellen kan vi introducera Bogoliubov-transformationen: $ a_k = u_k \ alpha_k + v_k \ beta_k ^ \ dolk $, $ b_k ^ \ dolk = v_k \ alpha_k + u_k \ beta_k ^ \ dolk $. Denna omvandling kan diagonalisera den kvadratiska termen i Hamiltonian:
\ begin {align} H & = \ sum_k (a ^ \ dagger_ka_k + b ^ \ dagger_kb_k + \ gamma_ka ^ \ dagger_kb ^ \ dagger_k + \ gamma_ka_kb_k) \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dolk & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k }} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dolk \ slut {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ börja {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dolk & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{ k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma_ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pm atrix} \ börja {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dolk \ slut {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ börjar {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dolk & \ beta _ {\ bf {k}} \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} \ epsilon_k & 0 \\ 0 & \ epsilon_k \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ alfa _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \ end {align}
med $ \ epsilon_k = \ sqrt {1- \ gamma_k ^ 2}, u_k = \ sqrt {\ frac {1+ \ epsilon_k} {2 \ epsilon_k}}, v_k = – \ frac {\ gamma_k} {\ sqrt {2 \ epsilon_k (1+ \ epsilon_k)}} $ . Men transformationen U: $ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ { k} \ end {pmatrix} $ är inte enhetligt, eftersom $ u_k, v_k $ är riktiga, $ U ^ \ dolk \ neq U ^ {- 1} $.
Är antalet bosoner inte bevarade , så omvandlingen kanske inte är enhetlig? Finns det några begränsningar för omvandlingen av boson?
Kommentarer
- Det som är viktigt är att efter omvandlingen fortfarande är standardpendlingsförhållandena.
- relaterat: physics.stackexchange.com/q/53158
Svar
Du har rätt, Bogoliubov-omvandlingar är inte enhetliga i allmänhet. Per definition
Bogoliubov-transformationer är linjära transformationer av skapande / förintelseoperatorer som bevarar de algebraiska förhållandena bland dem.
De algebraiska förhållandena är huvudsakligen kommuterings- / antikommutationsrelationer som definierar de bosoniska / fermioniska operatorerna. Ingenstans i definitionen specificerade vi att transformationen skulle vara enhetlig. I själva verket är Bogoliubov-omvandlingen (i sin mest generiska form) symplektisk för bosoner och ortogonal för fermioner . I inget av fallen är Bogoliubov-transformationen enhetlig. Bogoliubov-omvandlingen av bosoner motsvarar den linjära kanoniska omvandlingen av oscillatorer i klassisk mekanik (eftersom bosoner är kvantiteter av oscillatorer), och vi vet att de linjära kanoniska omvandlingarna är symplektiska på grund av det klassiska fasrummet. p> Så för att vara mer specifik, vilka är begränsningarna för Bogoliubov-omvandlingar? Låt oss överväga fallet med $ n $ enkla partikellägen för antingen bosoner $ b_i $ eller fermioner $ f_i $ (där $ i = 1,2, \ cdots, n $ märker de enskilda partikelstatusen, såsom momentum egenstatus). Både $ b_i $ och $ f_i $ är inte Hermitian-operatörer, vilket inte är ganska bekvämt för en allmän behandling (eftersom vi inte bara kan behandla $ b_i $ och $ b_i ^ \ dolk $ som den oberoende grunden eftersom de fortfarande är relaterade av partikelhålstransformationen). Därför väljer vi att skriva om operatörerna som följande linjära kombinationer (motiverade av tanken att sönderdela ett komplext tal i två reella tal som $ z = x + \ mathrm {i} y $): $$ \ börja {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ dolk & = a_i – \ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ dolk & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ där $ a_i = a_i ^ \ dolk $ och $ c_i = c_i ^ \ dolk $ (för $ i = 1,2, \ cdots, 2n $) är hermitiska operatorer (analogt med reella tal).De måste ärva kommuterings- eller antikommutationsförhållandena från de ”komplexa” bosonerna $ b_i $ och fermions $ f_i $: $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ dolk] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j] = [b_i ^ \ dolk, b_j ^ \ dolk] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ dolk \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ dolk, f_j ^ \ dolk \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ där $ g_ {ij} ^ a $ och $ g_ {ij} ^ c $ kallas ibland kvantmätvärde för bosoner respektive fermioner. I matrisformer ges de av $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \\ – \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \ end {matrix} \ right] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin { matris} \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \ end {matrix} \ right], $$ med $ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $ är $ n \ times n $ identitetsmatris. Så att bevara de algebraiska relationerna mellan skapande / förintelseoperatörer är att bevara kvantmätvärdet . Allmänna linjära omvandlingar av operatorerna $ a_i $ och $ c_i $ har formen av $$ a_i \ till \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ till \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c c_j, $$ där transformationsmatriselementen $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $ måste vara verkliga för att säkerställa att operatörerna $ a_i $ och $ c_i $ förblir Hermitian efter omvandlingen. Att bevara kvantmätet är att kräva $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c. $$ Så alla verklig linjär transformation som uppfyller ovanstående villkor är en Bogoliubov-transformation i den mest allmänna betydelsen. Sedan beroende på kvantmätets egenskaper är Bogoliubov-transformationen antingen symplektisk eller ortogonal. För det bosoniska kvantmätvärdet är $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $ antisymmetrisk , så transformationen $ W ^ a $ är symplektisk . För den fermioniska kvantmätningen är $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $ symmetrisk , så transformationen $ W ^ c $ är ortogonal .
Kommentarer
- Kan någon rekommendera en resurs för att lära sig mer om denna formalism, dvs. nedbrytningen av skapande / förintelseoperatörerna som ” komplexa tal ” och bevarande av kvantmätvärdet?
Svar
Enhetens kvantmekaniska transformation bestäms inte av hur den blandar skapande och förintelseoperatörer. (Det spelar ingen roll vilken typ av matris — ortogonal, symplektisk eller enhetlig — är involverad i blandningen!) Snarare en bör undersöka om transformationen är associerad med en enhetsoperatör som verkar på Hilbert-utrymmet.
Den citerade OP-transformationen i Bogoliubov kan representeras enligt följande ($ \ textbf {k} $ – beroende berörs): $$ \ hat {a} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hat {b } ^ {\ dolk}, \\ \ hat {b} ^ {\ dolk} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dolk} = \, \ sinh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ dolk}, $$ där $ \ lambda $ är ett verkligt tal. Denna omvandling är enhetlig om och endast om det finns en enhetlig operatör $ U $ så att $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {- 1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dolk} = U \ hatt {b} ^ {\ dagger} U ^ {- 1}. $$ Dessa förhållanden uppfylls faktiskt med följande val: $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b } – \ hat {b} ^ {\ dolk} \ hat {a} ^ {\ dolk}) \ Big], $$ så omvandlingen är enhetlig.
Svar
Låt mig arbeta med den här delen av matrisekvationen $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} \ börja {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dolk & b _ {\ bf {k}} \ slut {pmatrix} \ börja {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ börjar { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dolk \ slut {pmatrix} = \ sum _ {\ bf {k}} \ börja {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ dolk & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ börjar {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dolk \ slut {pmatrix} $$ Den viktiga delen är att transformationen av fälten kan ses såväl som en trans bildning av matrisen $$ \ Gamma ~ = ~ \ börjar {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ dolk \ Gamma M, $$ där $ M ^ \ dolk ~ = ~ M $. Determinanten för detta är $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ Determinanten på $ M $ ger sedan $ u_k ^ 2 ~ – ~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. Dessa kan sedan representeras av $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ och $ v_k ~ = ~ cosh (k) $.
Utvärdera nu kommutatorn $ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] $ $$ [a_k, ~ a ^ \ dolk_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dolk] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ dolk_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dolk] ~ – ~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ dolk_k]. $$ För pendlarna $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dolk] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ dolk] ~ = ~ 1 $ och vi ser sedan $ [a_k, ~ a_k ^ \ dolk] ~ = ~ 1 $. Detsamma håller tydligt $ [b_k, ~ b_k ^ \ dolk] ~ = ~ 1 $ Detta betyder att alla system med $ N \ hbar $ handlingsenheter är konstanta. Det sker ingen förändring i systemets fasutrymme. detta betyder då att Bogoliubov-transformationer är effektivt enhetliga.
Kommentarer
- Så de allmänna enhetliga transformationerna ’ s definition är längre $ U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} $ som vi lär oss av läroboken? Jag förstår inte ’ ’ Detta betyder att alla system med Nℏ-handlingsenheter är konstanta. Det finns ingen förändring i systemets fasutrymme ’, vill du förklara det?
- Finns det förresten några begränsningar för omvandlingen av bosonsystemet (Hamilton)?
- @ZJX Jag förstår inte ’ varför Lawrence sa att de bosoniska Bogoliubov-omvandlingarna är ” effektivt enhetligt ”. Jag tycker att de borde vara symplektiska i allmänhet. Begränsningen kommer från att bevara definitionen av bosoniska operatorer (så att bosonic operatorer förblir bosonic under omvandlingen). Det finns ingen begränsning från det bosoniska systemet (Hamiltonian). Så länge Hamiltonian är Hermitian, är den en legitim Hamilton. Varje symplektisk transformation som tillämpas på Hamiltonian är en legitim Bogoliubov-transformation.
Svar
Nej, det är enhetligt transformation, men bara när man tänker på Hamiltons ”elektron & hål tillsammans.
Kommentarer
- Men här handlar modellen om snurr, den ’ är inte fermionen, eller hur?