Här vill vi visa att Box-Muller-metoden genererar ett par oberoende standard Gaussiska slumpmässiga variabler . Men jag förstår inte varför vi använder determinanten? För mig när du har två oberoende variabler är leddensitetsfunktionen bara produkten av funktionen för två densiteter. Någon kan förklara mig betydelsen av determinanten här? Snälla. >
Kommentarer
- Det finns en " ändring av variabler " involverad i att gå från X till Y och därför har du för att multiplicera med jakoben av transformationen som är det avgörande som du ser ovan Se till exempel Proposition 8 här math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- Ok, jag förstår tack Alex för ditt svar.
Svar
Låt $ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, Vi har
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ vänster [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ höger] = \ mathbb {P} \ vänster [\ ln (X_ 1) \ geq – \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1 – \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $ definieras enhetligt på $ [0, 1] $, därför $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1 – \ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2/2)} \, dt = 1 – \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right). $$ Faktiskt $$ f_Z (z) = \ börja {cases} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ let $ W = 2 \ pi X_2 $. Därför fördelas $ X_2 $ jämnt på $ [0,1] $, så $$ f_W (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Eftersom $ X_1 $ och $ X_2 $ är oberoende, $ Z $ och $ W $ ska vara oberoende. Vi har $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ höger), \ quad z > 0 \ quad \ text {och} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Definiera funktion $ q: (0, \ infty) \ times ( 0,2 \ pi] \ till \ mathbb {R} ^ 2 $ så att $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ alltså $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {- 1} $$ med andra ord $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {- 1} (y_1, y_2))} {| \ det (q ”(q ^ {- 1} (y_1, y_2)))}} $$ vi kan enkelt visa $$ z = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ sedan $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right) $$
Svar
Det kan ses att $ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ och att $ Y_2 \ över Y_1 $ $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
Därför $ X_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ över Y_1}} $ och $ X_2 = \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ över 2} $ .
Tar skillnad för att få $ dX_1 = {1 \ över {2 \ pi}} {{- Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ över {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
På samma sätt $ dX_2 = {\ exp {- {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ över 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
Därav Jacobian $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ över {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ över {2 \ pi} $ $ \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ över 2 } $ .
För PDF-filer, som $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ över {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
det ger $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ över {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ över 2} $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ över 2} $
visar att $ Y_1, Y_2 $ är oberoende gaussiska slumpmässiga variabler.
Commen ts
- intervall på $ X_1 $ bör vara (0,1), men $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $ är $ (- \ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $