Coulomb ' s lag: varför är $ k = \ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} $ [duplikat]

Definiera symbolen $ k $ i Coulombs lag, $$ F = k \ frac {q_1q_2} {r ^ 2}, $$ för att vara $ k = 1/4 \ pi \ epsilon_0 $, är helt tillåtet när man förstår det helt enkelt som en definition av $ \ epsilon_0 $. Motivationen för denna definition är att när du räknar ut krafterna mellan två motsatt laddade plattor med området $ A $ och laddar $ Q $ ett avstånd $ d $ från varandra, kommer de ut som $ F = \ frac {2 \ pi kQ ^ 2} {d} = \ frac {Q ^ 2} {2 \ epsilon_0 d} $, där faktorn $ 4 \ pi $ kommer från en förnuftig tillämpning av Gauss ”s lag.

När du utvecklar detta vidare till en teori om kapacitans, finner du att det innebär att spänningen mellan plattorna är $ V = Q / C $, där $ C = \ epsilon_0 A / d $. Vidare, om du vill infoga ett dielektrikum mellan plattorna (som du ofta gör), ändras kapacitansen till $$ C = \ epsilon A / d $$ där $ \ epsilon $ är känd som dielektrikens elektriska permittivitet . $ \ epsilon_0 $ förstås då naturligt som ”permittiviteten för fritt utrymme” (som naturligtvis helt enkelt definierar vad vi menar med permittivitet).

Frågan är naturligtvis då varför här härleds ”enhet, $ \ epsilon_0 $, behandlas som mer” grundläggande ”än den ursprungliga $ k $? Svaret är att det inte är eftersom de är ekvivalenta, men permittiviteten för ledigt utrymme är mycket lättare att mäta (och det var verkligen så under slutet av 1800-talet och början av 1900-talet när elforskningen var mycket inriktad på kretsbaserad teknik), så att den blev vinnaren, och varför har två symboler för motsvarande kvantiteter?

Enhetens andra definieras är tidsvaraktigheten för ett visst antal strålningsperioder som emitteras från en del icular typ av elektronövergång mellan energinivåer i en isotyp av cesium (se här ).

Det är ett antagande att ljus färdas vid en konstant hastighet $ c $ oberoende av referensramen, så nu när vi har fixat en tidsenhet kan vi definiera en längdenhet: mätaren är det avstånd som ljuset färdas i $ 1/299792548 \, \ mathrm {s} $.

Vi definierar också SI-enheten för ström (Ampere) så att permeabiliteten för ledigt utrymme får ett önskat värde i SI-enheter ($ 4 \ pi \ gånger 10 ^ {- 7} $).

Vi kan då också definiera $$ \ varepsilon _0 = \ frac {1} {\ mu _0c ^ 2} $$ som $$ k = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _0}. $$

Tänk nu på att du inte behöver fixa ett enhetssystem för att göra detta (som jag gjorde tidigare). Eftersom ovanstående är definitioner kommer de att finnas i alla system med enheter. Men för att se att dessa definitioner inte slutar vara cirkulära, hjälper det att se att vi kan definiera $ \ mu _0 $ och $ c $ i termer av rent fysiska fenomen. Med andra ord, för att ovanstående definitioner ens skulle vara vettiga, var vi tvungna att veta att vi kunde definiera $ c $ och $ \ mu _0 $ oberoende av $ \ varepsilon _0 $ och $ k $ först. Ovanstående definition av SI-enheter hjälper dig att se att detta kan göras.

Kommentarer

• Allt detta förändras med det nya SI-systemet. Medan $ c $ är fixat är $ \ mu_0 $ och $ \ epsilon_0 $ inte.

Om frågan är varför ”$ 4 \ pi $” i Coulomb-konstanten (k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $), då kan en lika giltig fråga vara varför ”4 $ \ pi $” i vakuumets magnetiska permeabilitet, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $?

Kanske finns en ledtråd i Maxwells ekvation för hastigheten för den elektromagnetiska vågen (ljus) i ett vakuum, $ c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}} $.

Naturligtvis fick Maxwell detta förhållande mycket senare än Coulomb.

Maxwell berättar den elektriska tillstånden för magnetisk permeabilitet i vakuumet, $ \ mu_ {0} = \ frac {1} {\ epsilon_ {0} c ^ {2}} $ som ges ett värde på $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $ i SI-enheter.

”Orsaken” till ”$ 4 \ pi $” som visas här och i Coulombs konstant (tro det eller inte) så att Maxwells ekvationer kan skrivas utan några $ 4 \ pi $ ”faktorer!

För att förstå detta, överväga hur elektrostatiska fenomen uttrycks i Coulombs lag som” fält intensitet vid ett avstånd i kvadrat ”, jämfört med (motsvarande) Gauss” -lag, som beskriver ”flödet genom en sluten yta som omsluter laddningen”. , som för en sfär med radie $ r $ ges av $ S = 4 \ pi r ^ {2} $, så förhållandet $ S / r ^ {2} $ = $ 4 \ pi $ är helt enkelt resultatet av geometrin av rymd och sfärisk symmetri.

SI-systemet för enheter (till skillnad från Gauss-enheterna) sägs vara ”rationaliserat” eftersom det tillåter uttryck för Maxwells ekvationer utan $ 4 \ pi $ -faktorerna. För att göra detta har $ 4 \ pi $ -faktorn helt enkelt ”inbyggts” i (SI-enhetens) definition av den universella konstanten för vakuumpermeabilitet, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $, från vilken vi kan uttrycka Coulombs konstant som k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $.