De sju riktmärken?

En anständig volym på elementär matematik är Matematik för grundlärare (Beckmann, 2010). Boken är avsedd att bidra till att stärka lärarnas kunskaper om matematiken bakom idéerna i grundläggande läroplaner (särskilt reformplaner tror jag). Som sådan är det ofta ett bra ställe att söka efter saker som detta.

Riktmärken (även kallade ”landmärken”) introduceras i samband med att jämföra bråk. När eleverna försöker bestämma vilken bråk som är större, $ \ frac {4} {9} $ eller $ \ frac {3} {5} $, en strategi som föreslås är att eleverna resonerar om deras förhållande till något annat nummer, som fraktionen $ \ frac {1} { 2} $:

När vi jämförde $ \ frac {4} {9} $ och $ \ frac {3} {5} $ genom att jämföra båda fraktioner med $ \ frac {1} {2} $, vi använde $ \ frac {1} {2} $ som riktmärke (eller landmärke) . Fraktionerna $ \ frac {1} {2} $, $ \ frac {1} {4} $, $ \ frac {3} {4} $, $ \ frac {1} {3 } $ och $ 1 $ är bra att använda som riktmärken. (s. 73)

Det framgår av denna text att siffrorna är något godtyckliga ; det är inte tänkt att vara en slutgiltig lista över referensnummer. Eleverna skulle välja ett bråkvärde som hjälper dem att jämföra.

Jag kan inte säga om andra använder riktmärken på samma sätt (en kort titt på några andra böcker som jag har inom räckhåll visar inte termen). Användningen här är tydlig: ett riktmärke nummer är ett tal som är användbart vid resonemang om ett problem. I det här fallet används riktmärket som referenspunkt för jämförelse av bråk.

Syftet är att uppmuntra till resonemang snarare än procedur. Det finns algoritmer som vissa elever lärs ut att använda för fraktionsjämförelse, som gör det möjligt för dem att ersätta matematisk resonemang med ett par lagrade steg och en del aritmetik. Men resonemang gör det möjligt för dem att öva gissningar, arbeta igenom med en motivering för sitt svar och så småningom ha ett sätt att försvara deras svar annat än ”detta är vad proceduren producerade.”

Jag borde t bläck valfritt användbart nummer som används i resonemang kan kallas ett riktmärke. Till exempel, i mitt svar på en annan fråga (ses här) skrev jag om studentresonemang som förvandlar en subtraend till antalet $ 2000 $. I så fall är $ 2000 $ användbart.

En annan typ av matematiskt resonemang som kan dra nytta av ett riktmärke är uppskattning. Siffror kan ersättas med närliggande riktmärken som ger snabbare beräkning, om målet är att bara svänga ett svar (en ofta ganska användbar strategi för många verkliga applikationer).

Sammanfattningsvis Jag tror inte att det finns stöd för en slutgiltig lista över riktmärken . de som Dr. Beckmann ger är förslag (”bra att använda”) men det verkliga testet är om de är användbara för tänkaren mitt i deras matematiska resonemang.

Citerade verk:

Beckmann, S. (2010). Matematik för grundlärare. New York: Pearson Addison-Wesley.

Kommentarer

• kanske det ' är bara att jag är lat, men som barn tror jag att jag bara skulle beräkna decimalutvidgningen för att jämföra två fraktioner. Jag ' Jag har läst en del fysikhistoria som ekar detta sentiment … att decimaltalsystemet var extremt viktigt för approximationsaspekten av Newtons ' tänkande … men jag ' utan expert.
• @ JamesS.Cook Det ' är inte lat för att använda den representation som bes t passar dina färdigheter och applikationen till hands. Klassrumsarbete har naturligtvis ett ytterligare inlärningsmål. I detta fall vänder vi oss till resonemang för jämförelsen (i det står den i kontrast till några andra " trick " metoder). Av nyfikenhet när du jämförde bråk med decimaler som barn, vilket resonemang kopplade samman bråk- och decimalrepresentationerna? Med andra ord, hur bevisade du informellt för dig själv att decimalrepresentationen verkligen var samma nummer?
• Om jag minns, och det är diskutabelt, tror jag att det var standardbetydelsen. Till exempel $ 1/4 = 0,2 + 0,05 $ så vi bygger decimaler från att lägga till heltalsmultiplar på $ 10,1,1 / 10, 1/100 $ … tillsammans. Behovet av serier uppskattades först mycket senare, ungefärliga uppskattningar för mina syften som barn, jag minns inte ' när jag funderade på konvergens på lekplatsen.
• @JamesS .Cook Så den typ av " atomisk " kunskap här är att $ \ frac {1} {10} = 0,1 $ (och så på för andra fraktioner som omfattar tio befogenheter). Men också måste du motivera att $ \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} = \ frac {1} {4} $. Sammantaget ser det mer sofistikerat ut än att jämföra två fraktioner baserat på ett riktmärke (dvs. du ' skulle vara längre än att behöva den riktmärkesstrategin vid denna tidpunkt). Din brott med tio nämnare är uppenbarligen en viktig del av förståelsen för hur platsvärde gäller för bråkvärden.