Derivation av minskad massa [duplikat]

System med två kroppar kan analyseras enklare med hjälp av minskad massa, eftersom problemet i princip minskar till enstaka kropp. Den första approximationen kan erhållas genom att anta att, m1 >> m2, såsom en planet som kretsar kring stjärnan, eftersom tyngdpunkten sammanfaller med m1. Således kan det antas att den tunga kroppen är i vila och lättare rör sig runt den.

Derivation: $$ \ text {Let} \, m_1, \ vec r_1 \ text {vara en massa och position för den massiva kroppen och} \, m_2, \ vec r_2 \, \ text {den ljusare.} $$

$$ \ text {Det antas att} \, m_1 > > m_2 \, \ text {Kraften mellan massorna (tyngdkraften) beror på positionsskillnader vektorer}: \ vec F_ {12} = \ vec F (\ vec r_ {12}), \ text {där}: $$

$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \, \ text {är kraft på kropp 1 på grund av kropp 2} $$ I vår uppskattning antar vi att den tunga massan är vid vila vid ursprunget. Således: $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ Och rörelseekvationen blir: $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ som kan lösas för att erhålla position.

För att få ”sann” rörelse visar det sig att vår approximation kan göras exakt genom att beakta masscentrum (CM). (vilket är en massa viktat genomsnitt av positionerna för två massor i detta fall) $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text {We will antal samtal} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \, \ text {reducerad massa} $$ $$ \ text {Således: \ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ Det kan enkelt visas att netto extern kraft på systemet är lika med total massa gånger accelerationen av masscentrum. Om du inte är övertygad har jag skrivit innan en sådan härledning i denna POST

Eftersom det antas att inga externa krafter finns (kraften tyngdkraften mellan massorna ”räknas” som en inre), rör sig masscentrum med konstant hastighet. $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ innebär \ frac {d \ vec r} {dt} = konst. $$ Låt CM tas som ursprung för ett tröghets koordinatsystem. Således ges de två massornas position av: $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ innebär \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} = – \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ innebär \ vec r_1 = – \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \, \ vec r_2 = – \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {Sedan}: \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \, \ text {vi får:} $$ $$ \ vec r_ {21} = – \ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 = – \ vec r_1 (\ frac {m_1 + m_2} {m_2}) \ antyder \ vec r_1 = – \ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2 (\ frac {m_1 + m_2} {m_1}) \ innebär \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$ $$ \ text {Därför är rörelseekvationer}: $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {12}) = \ vec F (- \ vec r_ {21}) = m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} = – \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ W vår ekvation erhölls tidigare i vår approximation med reducerad massa. Observera att om m1 >> m2 reducerad massa är nästan densamma som m2.

Detta rörelse i två kroppssystem består av dess CM och rörelse runt den. Rörelsen runt den kan beskrivas i termer av en enda, reducerad massa som rör sig runt fast centrum.