Det finns redan en fråga så här här så att min fråga kan övervägas duplicera, men jag försöker göra min poäng tydlig att detta är en annan fråga.
Finns det ett sätt att härleda Biot-Savart-lag från Lorentz ”Force-lag eller bara från Maxwells ekvationer?
Poängen är att vi vanligtvis definierar, baserat på experiment, att den kraft som känns av en rörlig laddning vid närvaron av ett magnetfält är $ \ mathbf {F} = q \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} $, men i så fall lämnas magnetfältet vanligtvis att definieras senare.
Nu kan den kraftlagen användas på något sätt för att erhålla Biot-Savart-lag som vi får ekvationen för det elektriska fältet direkt från Coulombs Force Law?
Jag ville vet att eftersom som påpekats i frågan jag har nämnt, även om Maxwells ekvationer kan betraktas som mer grundläggande, så erhålls dessa ekvationer efter att vi känner till Coulomb och Biot-Savarts lagar, så om vi börjar med Maxwell s Ekvationer för att få Biot-Savarts med att använda den för att hitta Maxwells ekvationer, då tror jag att vi kommer att falla i ett cirkulärt argument.
I så fall utan att återfå Maxwells ekvationer, den enda sätt att få Biot-Savarts lag är genom observationer eller kan det härledas på något sätt?
Kommentarer
- Varken Maxwell eller Biot-Savart är grundläggande – alla sådana formler följer från Coulomb och en väl vald definition av $ B $, som nämnts tangentiellt i denna korta rant .
- @ ChrisWhite, Maxwell s ekvationer följer inte bara från Coulomb-lagen, speciell relativitet och definitioner. Till exempel kan Gauss-lagen för icke-rätlinjig rörelse av avgifter inte härledas utan ytterligare antaganden.
- Jag tror att @Hans de Vries kan ge ett elegant svar.
Svar
$ \ def \ VA {{\ bf A}} \ def \ VB {{\ bf B}} \ def \ VJ {{\ bf J}} \ def \ VE {{\ bf E}} \ def \ vr {{\ bf r}} $ Biot-Savart-lagen är en följd av Maxwells ekvationer.
Vi antar Maxwells ekvationer och välj Coulomb-mätaren, $ \ nabla \ cdot \ VA = 0 $. Då $$ \ nabla \ times \ VB = \ nabla \ times (\ nabla \ times \ VA) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ VA) – \ nabla ^ 2 \ VA = – \ nabla ^ 2 \ VA. $ $ Men $$ \ nabla \ times \ VB – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial \ VE} {\ partial t} = \ mu_0 \ VJ. $$ I steady state innebär detta $$ \ nabla ^ 2 \ VA = – \ mu_0 \ VJ. $$ Således har vi Poissons ekvation för varje komponent i ovanstående ekvation. Lösningen är $$ \ VA (\ vr) = \ frac {\ mu_0} { 4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr ”)} {| \ vr- \ vr” |} d ^ 3 r ”. $$ Nu behöver vi bara beräkna $ \ VB = \ nabla \ times \ VA $. Men $$ \ nabla \ times \ frac {\ VJ (\ vr ”)} {| \ vr- \ vr” |} = \ frac {\ VJ (\ vr ”) \ times (\ vr- \ vr”)} {| \ vr- \ vr ”| ^ 3} $$ och så $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr”) \ gånger (\ vr- \ vr ”)} {| \ vr- \ vr” | ^ 3} d ^ 3 r ”. $$ Detta är Biot-Savart-lagen för en tråd med ändlig tjocklek. För en tunn tråd minskar detta till $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {I d {\ bf l} \ times (\ vr- \ vr ”)} {| \ vr- \ vr ”| ^ 3}. $$
Tillägg : I matematik och naturvetenskap är det viktigt att hålla i åtanke skillnaden mellan den historiska och den logiska utvecklingen av ett ämne. Att känna ett ämnes historia kan vara användbart för att få en känsla av de involverade personligheterna och ibland för att utveckla en intuition om ämnet. sätt utövare tänker på. Det inkapslar huvudidéerna på det mest fullständiga och enkla sättet. Ur denna synvinkel är elektromagnetism studiet av Maxwells ekvationer och Lorentz-kraftlagen. Allt annat är sekundärt, inklusive Biot-Savart-lagen.
Kommentarer
- Men hur jag ’ har sett det vara gjort, Maxwell ’ s ekvationer härrör från biot-savart-lagen, vilket skulle göra denna cirkulär.
- @JLA: Jag ’ har lagt till något i adressera ” cirkularitet ” du hänvisar till.
- @JLA, det är inte möjligt att matematiskt härleda Maxwell ’ s ekvationer från Biot Savart-lagen. Vad människor ibland gör är att dra slutsatsen (komma fram till) Maxwell ’ s ekvationer från Biot-Savart-lagen för ett specifikt fall som stationära strömmar och sedan generalisera dem till alla situationer med ord. / li>
- För tydlighetens skull tillämpas differentiella operatörer på $ {\ bf r} $ och inte $ {\ bf r ’} $, att ’ hur de byts ut med integraler över $ {\ bf r ’} $.
- @AG Att ta derivatet med avseende på $ {\ bf r ’} $ är faktiskt ingen mening.Vi har $ \ nabla = \ sum \ hat e_i \ partial / \ partial x_i $, inte $ \ sum \ hat e_i \ partial / \ partial x ’ _i $ (för vilken jag skulle skriva $ \ nabla ’ $ eller något sådant).
Svar
Det kan vara sant att människor i gamla tider mätte den kraft som härrör från en trådström och upptäckte Biot-Savart-lagen och sedan i sin tur använde den som inspiration för att konstruera Maxwells ekvationer. Om det” s hur det faktiskt hände historiskt. Från handen kommer arkeologen att förstå vad djuret som hade den handen gillade att göra med det: att det kunde fatta och använda verktyg och så vidare. Från foten, arkeologen, kommer det att förstå att djuret det tillhörde gick på två ben och att det vanligtvis vägde i vuxenlivet cirka 100-300 pund.
Först senare kommer arkeologen att handen och fot tillhörde båda samma djur – en människa. Men arbetets natur innebär att pusslet om vad en människa var måste brytas ner i bitar som kan förstås individuellt innan hela bilden kan komma ihop. Med det sagt skulle det vara bakåt att föreslå att handen och foten är mer grundläggande än människan själv.
Maxwell-ekvationerna har konstruerats för att överensstämma med Biot-Savart-lagen och andra informationsstycken. , som Coulombs lag. Således kan du härleda Biot-Savart från Maxwell, men inte tvärtom, för Maxwell är mer allmänt och allomfattande.
Om du redan vet Lorentz-kraftlagen kan du dra slutsatsen om magnetfältets styrka från en tråd bara genom att skjuta laddade testpartiklar nära tråden och observera deras rörelse. Men det ifrågasätter hur du redan känner till Lorentz-kraftlagen, och så på.
Du kan gå i cirklar hela dagen över vad som är eller inte är grundläggande, över vad som måste baseras på experimentell observation och vad som bara är konstruerat för att överensstämma med dessa observationer, men ofta finns det en preferens för att ”enkla” experimentella observationer betraktas som grundläggande kontra teoretiska konstruktioner t hat innehåller många sådana observationer – se Chris Whites kommentar att Maxwells ekvationer kan härledas från Coulombs lag och några andra grejer.
För mig är detta dumt. Maxwells ekvationer innehåller summan av våra observationer (åtminstone de som passar den klassiska regimen). För mig är det det vi vet om klassisk elektromagnetism. Att säga att du kan härleda Maxwell ” s ekvation med bara ett resultat plus några antaganden … ja, det saknar poängen att dessa antaganden också var tvungna att testas och verifieras i första hand. För mig är det väldigt mycket bakåt att särskilja speciella fall (rena elektriska, rena magnetiska, statiska eller dynamiska fält) och behandla dem som ”grundläggande”.
Redigera: men egentligen en fysiker måste arbeta i båda riktningarna. För att skapa ny teori har vi ofta speciella fall som vi inte vet är kopplade och måste överbrygga dem tillsammans. Det bygger Maxwells ekvationer från Coulombs lag och Biot-Savart. För att analysera ett visst problem lättast, ett som vi inte är säkra på att det finns en specialformel för, måste vi använda den mest allmänna beskrivningen (Maxwell) och försöka reducera den till något enklare och lättare att lösa (i om det inte finns något aktuellt och inget tidsberoende kan du komma tillbaka till Coulombs lag). Båda metoderna är nödvändiga för att vara så flexibla som möjligt.
Svar
Med utgångspunkt från ett experiment av typen Rowland Ring är det möjligt att definiera permeabilitet som ett mått på flödet som genereras i en enhetsvolym per ampere-varv. Om vi sedan antar att detta flöde försvinner som en invers kvadratisk lag, erhåller vi biot-savart-lagen som en magisk analog av coulombs lag med tillägg av korsprodukten som tar hand om vinkelrätten i fältriktningen och strikt med förståelsen att det är en arbetshypotes som validerats av dess användbarhet eftersom ett aktuellt element inte kan existera isolerat från resten av dess krets. Mitt råd – Ignorera alla frestelser att falla i mer matematik än vad som behövs, vilket leder dig till förståelse. .
Svar
Följ följande länk. https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot och gå till rubriken ”Work”. Det står att lagen upptäcktes experimentellt år 1820, dvs. 45 år innan Maxwell-ekvationerna publicerades. Biot-Savart-lagen gavs av P. Laplace. Uttrycket av Biot-Savart-lagen (integrationen) visar att pri nipel av superposition är redan inkluderad i den.Maxwell-ekvationer utvecklades senare och de utformades lämpligt för att omfatta konsekvenserna av Biot-Savarts lag. Kanske är det anledningen till att vi kan härleda Maxwells ekvationer från Biot-Savarts lag och vice versa.
Gå till den här länken https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force och gå till avsnittet ”Historik”. Det står att i året 1881, dvs. 16 år efter att Maxwell-ekvationerna publicerades, härledde Thomson först en form av Lorentz-kraftlag från Maxwell-ekvationer. Slutligen härleddes den moderna formen av Lorentz-kraftlag av Lorentz 1892 från Maxwell-ekvationerna. p> Så den historiska sekvensen är så här:
Biot-Savarts Law ==> Maxwells Equations ==> Lorentz force law.
Men i klassrummen är vi undervisas i följande sekvens:
Först: Lorentz-kraftlagen, för att introducera konceptet att magnetfältet utövar kraft på en rörlig laddning.
För det andra: Biot-Savart-lagen, att introducera konceptet att rörande cha rges producerar magnetfält.
Tredje: Maxwells ekvationer; generaliseringen av alla experimentella observationer inom elektromagnetism.
Så slutsatsen är:
(1) Biot-Savarts lag är en experimentellt observerad lag. Denna lag inkluderar också idén att superposition-principen också är giltig i magnetostatik. Denna lag gav grunden för magnetostatik.
(2) Maxwells ekvationer härleddes är ett sådant sätt att de omfattar resultaten av Biot-Savarts lag ( tillsammans med andra experimentella observationer av elektromagnetism). Det är en teoretisk generalisering. Maxwells ekvationer är mer grundläggande än någon annan experimentell observation, eftersom experiment vanligtvis görs under vissa omständigheter och därmed inte kan ge någon generaliserad information.
(3) Lorentz-kraftlag härleddes från Maxwells ekvationer men kan verifieras direkt experimentellt.
OBS
”Observation och sedan generalisering”: Jag tror att det är så fysiken utvecklas. Observation (experiment) skapar alltid grunden. Generalisering omfattar observationen och utökar användbarheten till andra tänkbara konfigurationer, fall och omständigheter. Därför är det alltid möjligt att härleda generalisering från observation och vice versa [Biot-Savart lag kan härledas från Maxwell ekvationer och Maxwell ekvationer kan härledas från Biot-Savart lag ] .
Här betonas det att Biot-Savarts lag är den viktiga observationen som startade magnetostatikfältet. Maxwell-ekvationer (generalisering) och begreppet vektorpotential (en allmän egenskap för vektorfält) kan användas att härleda Biot-Savarts lag men det betyder inte att lagen bara är ett mellansteg i utvecklingen av kunskap om magnetostatik. Att det är möjligt att härleda Biot-Savarts lag från Maxwell-ekvationer och begreppet vektorpotential intygar bara att generaliseringen i Maxwell-ekvationer är korrekt.
Kommentarer
- Men OP: n frågade inte om den historiska ordningen på händelserna.
Svar
Vi måste titta på tidslinjen (historien). Biot-Savart lag publicerades före publiceringen av Maxwell-ekvationer. Så det är Gauss lag för magnetfält (den andra Maxwell-ekvationen) som härrör från Biot-Savart-lagen och inte tvärtom. Deriveringen av Gauss lag för magnetfält (den andra Maxwell-ekvationen ) från Biot-Savart Law kan läsas här Gauss lag för magnetfält
Svar
Problemet med Biot-Savarts lag är att den teoretiskt formuleras i termer av aktuell element $ Idl $ och sedan integreras. Men i de flesta läroböcker formuleras det också för POINT-avgifter, i termer av $ qv $ . Problemet här är att när en punktladdning $ q $ rör sig med hastighet $ v $ magnetfältet i närliggande utrymmen ÄNDRAR med tiden, dvs vi har en $ \ frac {dB} {dt} $ , och sedan sker induktionseffekter och det magnetostatiska tillståndet kränks. Däremot när $ Idl $ integreras längs en kontinuerlig ledning är fältet $ B $ konstant, (magnetostatisk ). De två situationerna är mycket olika och så vitt jag vet har punktavgiften $ B $ fältet aldrig mätts direkt. Kraften på $ qv $ , ja, men inte fältet som produceras av $ qv $ .