I ett vanligt pentagram (5-spetsig stjärna) är vinkeln i varje punkt 36 grader, så vinklarna i alla fem punkter summa till 180 grader:
Vad sägs om ett oregelbundet pentagram, som följande?
Nu kan vinklarna skilja sig åt från varandra; situationen är mycket mer komplicerad. Kan du bevisa att vinklarna i alla fem punkter fortfarande summerar till 180 grader?
Begränsningar (för att klargöra att detta varken är ett matematik problem [i motsats till ett matematikpussel] eller en övning i beräkning eller avancerad euklidisk geometri):
- inga aritmetiska operationer tillåtna (addition, multiplikation, …)
- du kan rita ett nytt linjesegment på stjärnan, men inte mer än det
Kommentarer
- Tyvärr rand, men jag tror att detta bara är ett annat matematikproblem … (” bevisa ”, ” vinklar ”, ” sum ”, ” 180 grader ”)
- @MarkN Enligt kanoniskt metapost om detta, tecknet på ett matte pussel i motsats till problem är att ha ea smart eller elegant lösning, ofta ett ” aha ” ögonblick , ett oväntat problemmeddelande , eller ett oväntat eller kontraintuitivt resultat . Lösningen jag har i åtanke har definitivt den första av dessa funktioner och IMO de två sista också.
- Detta är inte ’ ett mattepussel – det ’ ett logiskt pussel. Du lär dig vanligtvis bara den här logiken från någon som också lär matematik.
Svar
$ \ hskip 1,5in $ 
det drömmande?
Detta är en bild av en pil som sveper var och en av de på varandra följande vinklarna i stjärnan. Observera att när den spårar alla $ 5 $ vinklar, är dess orientering omvänd – vilket betyder att den har roterat $ 180 ^ {\ circ} $ och att detta måste vara summan av vinklarna. Vi kan göra samma sak mot stjärnan i din figur, ergo, dess vinklar är för $ 180 ^ {\ circ} $.
En generalisering:
Vi kan göra samma sak mot en siffra som den här, vars vinklar uppgår till $ 180 ^ {\ circ} $: $ \ hskip 1.5 i $ 
Vi kan också göra detta mot en triangel. Den viktiga egenskapen är denna:
Det får inte finnas några hörn i stjärnans inre till konen som sveps ut av en strålkorsning en viss vinkel.
Uppfyller detta villkor – som i princip säger att vi aldrig behöver ”ignorera” hörn, utan istället bara rotera pilen och se vad den träffar – vi finner att vi kan beställa topparna ”medurs” så att, i varje vinkel, antingen huvudet eller svansen på pilen går till nästa toppunkt i ordningen (och de alternerar vilken). Uppenbarligen kommer både huvud och svans att göra en fullständig rotation när dubbelt så många vinklar som spetsar har spårats, vilket ger det önskade resultatet.
(Man kan också uttrycka mitt tillstånd som att ”tilldela topparna siffrorna $ 1 $ genom $ 2n + 1 $ i medurs ordning sett från en central punkt, måste det vara så att $ 1 $ ansluter till $ n $ och $ n + 1 $, och alla andra punkter är anslutna analogt ”)
Kommentarer
- (Också för vad det ’ är värt, jag gillade verkligen detta pussel, även om mitt svar inte är avsedd – jag hade en bra, ” Tja att ’ s självklart ” ögonblick, följt av några timmars intensiv huvudskrapa, försöker lista varför det var uppenbart, följt av ” Aha! Det var uppenbart! ”)
- Jag anser att din kommentar är en hänvisning till detta skämt ? =)
- Accepteras eftersom det ’ är ännu trevligare än svaret jag också letade efter, och täcker också en generalisering.
Svar
Placera din penna på rad 1.
Rotera din penna så att den ligger i linje med linje 2. Du roterade den precis moturs i vinkeln högst upp på pentagrammet.
Vrid den nu moturs igen på linjen 3. Sedan igen på rad 4, sedan 5 och slutligen tillbaka till 1. Du har just roterat din penna genom alla fem vinklarna i pentagrammet i följd.
Och vad hände? Pennan ligger nu på samma linje som den började vid och pekar i motsatt riktning.Om du spårar vilken riktning pennan pekar vid varje steg kan du se att du totalt vrider den moturs en halv varv. Varifrån $ 180 ^ \ circ $.
Kommentarer
- Detta kommer att vara ett vackert bevis om du justerar det för att utesluta möjligheten att du har roterat penna genom någon annan udda multipel av $ 180 ^ \ circ $. Med det här heptagrammet hamnar pennan också i motsatt riktning men har roterat genom $ 540 ^ \ circ $
- Det finns en kontinuerlig deformation från referens pentagrammet till alla deformerade pentagram. Rotationen kan alltså inte hoppa från en multipel av 180∘ till en annan.
- I grund och botten kan alla $ \ {m: n \} $ – gram där $ n < \ frac m 2 $ roterar $ 360 \ gånger (\ frac m 2 – n) $ grader.
- Fin förklaring Lopsy … enkelt, rent 🙂 Jag skulle säga, ta 4 vinklar och visuellt börja minska dem till 0 .. tänk på hur stjärnan ser ut när detta händer … den femte vinkeln fortsätter att växa för att passa … tills 4 vinklar är 0 och den 5: e är 180 (dvs. en rak linje) ..: ) Men jag gillar Lopsy ’ s förklaring bättre ..;)
- Det fina med detta svar är att det inte ’ t läs som ett matematiskt bevis. Vem som helst kan förstå det.
Svara
Här är ytterligare ett bevis.
Etikett punkterna som visas och rita linjesegment-CD: n. Använd A, B, etc. för att beteckna de vinklar vi uppmanas att hitta summan av.
Nu
$ \ vinkel ADC + \ vinkel DCA + A = 180 ^ \ circ $ (vinklar i en triangel)
Så det räcker att bevisa det
$ \ vinkel ADC + \ vinkel DCA = B + C + D + E $
Nu
$ \ vinkel ADC = D + \ vinkel BDC $ och $ \ vinkel DCA = C + \ vinkel ECD $
Så det räcker att bevisa att
$ \ vinkel BDC + \ vinkel E CD = B + E $
vilket uppenbarligen är sant eftersom
LHS är tillägget till $ \ vinkel DFC $ och RHS är tillägget till $ \ vinkel EFB $ , där $ \ angle DFC $ och $ \ vinkel EFB $ är lika eftersom de är vertikalt motsatta .
Kommentarer
- Detta är svaret jag letade efter.
- Så i stort sett kan du destillera den här lösningen till två regler: vinklar i trianglar = 180 och motsatta vinklar på två korsande linjer är lika.
- @randal ’ thor Den här lösningen innefattar också tillägg, så skulle inte följa dina begränsningar, eller du borde ändra dina begränsningar.
- Ja, jag skulle säga att det här är som att inte -men- en av de mest matematiska -ish svar här. Frånvaron av aritmetik betyder inte att den inte är ’ t matematik …
Svar
Summan av de inre vinklarna för en femkant är alltid 540 °.
Vinkeln för varje yttre punkt är alltid summan av de två intilliggande inre vinklarna – 180 °. Vi kan säga detta eftersom, med tanke på inre vinklar A och B, är triangelns vinklar 180 – A, 180 – B, X. Enligt definitionen av vinklar i en triangel är X lika med $ 180 – (180 – A) – ( 180 – B) = A + B – 180 $.
Varje inre vinkel på femkanten används två gånger, och det finns 5 poäng, så $ (2 \ gånger 540) – (5 \ gånger 180) = 180 ° $
Kommentarer
- Jag tror att det här är geometri i grad 9 som toppar huvudet …
- Detta är mer komplicerat än beviset jag tänkte på. Jag kan redigera frågan för att begränsa de möjliga bevisen lite mer, men jag ’ Jag ger dig fortfarande +1. Kan du motivera din andra mening? Jag förstår inte ’ t vad den tredje meningen säger.
- Om vi låter A och B vara två intilliggande inre vinklar av femkanten, så är vinkeln på punkten i triangeln är 180 – (180-A + 180-B) = A + B – 180
- +1 Trevligt bevis, men det vore coolt om du kunde använda en bild eller 2, eller till och med en gif!
- Jag tror att det ’ är möjligt att generalisera detta bevis för att visa att vinklarna vid punkterna för valfri n -gramsumman till $ 180 ^ \ circ $ förutsatt att formen ansluter varje punkt till två intilliggande punkter på n -gon.(Observera att unicursalhexagrammet inte ’ t uppfyller anslutningskriteriet; inte heller bildar hexagrammet från två trianglar; och endast en av de två unicursal heptagrammen gör det.)
Svar
Här är ytterligare ett snyggt bevis, den här gången genom induktion. Vi kan göra pentagrammet genom att börja med det vanliga och successivt flytta fyra av punkterna. Så det räcker att bevisa att
att flytta en punkt i ett pentagram inte ändrar summan av vinklarna vid pekar
Låt ”s
flytta punkt A till A” och ring både vinkeln vid A och vinkeln A ”toppvinkeln
Vi får detta:
Det räcker att bevisa att
förändringen i toppvinkeln och ändringarna i vinkeln es vid C och D summan till noll.
På detta nya diagram
vi visar
förändringen i toppvinkeln som $ xw $ och ändringarna vid D och C som $ -y $ och $ z $,
och vi måste bevisa att
$ xw-y + z = 0 $, eller med andra ord, att $ x + z = w + y $,
vilket är uppenbart, som tidigare, eftersom
LHS och RHS är komplementen till vertikalt motsatta vinklar vid G.
Svar
Ett annat tillvägagångssätt:
Från och med den vanliga stjärnan vet vi att $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $. Låt oss nu rita ett linjesegment som visas i diagrammet.
Observera att $ B, D, E $ förblir oförändrad! Från våra observationer ser vi att $ Y = C – X $ och $ Z = A + X $.
Således är summan av poängen för vår nya stjärna $ ZBYDE = Z + B + Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.
Så vi kan fortsätta att rita segment och skapa nya stjärnor (och skala om dem) tills vi når önskad form.
Kommentarer
- Trevligt, men kan du kanske lägga till något för att göra det mer intuitivt att du kan göra en allmänt oregelbundet pentagram med en sekvens av rörelser av en punkt längs en av linjerna genom den punkten och omskalningar.
- Jag kunde försöka om bara geometri skadade ’ min hjärna så mycket D:
Svar
Det är oundvikligt att några aritmetik måste göras – den avsedda slutsatsen är trots allt kvantitativ – så utmaningen borde inte vara t o dölj aritmetiken, inte heller att kalla den med något annat namn, utan att göra den uppenbar och död enkel. Följande argument reducerar aritmetiken till att observera att fem är en mer än fyra (och att en helhet är två gånger en halv, ett faktum som används i förbigående).
Stjärnan lindar två gånger runt centrum, och därför måste alla som korsar den vända två hela cirklar (fyra halvcirklar). All vändning sker endast vid hörnpunkterna, där den maximala mängden är en fullständig yta på hälften av en cirkel. För fem hörn som skulle vara fem halvcirklar, eller ytterligare en halvcirkel än vad som faktiskt vänds: 180 grader. Bristen mellan detta maximala och den vridmängd som faktiskt uppnås är exakt summan av de inre vinklarna, QED.
Detta tillvägagångssätt är det som används i modern matematik (dvs. efter 1700-talet). Det generaliserar till godtyckliga figurer av godtyckliga dimensioner som dras inuti andra figurer som själva kan böjas. Det är känt som Gauss-Bonnet Theorem .
Svar
Det finns en cirkelbaserad teorem som säger ”Måttet på en inskriven vinkel är halva måttet på den båge den avlyssnar.” Det betyder att för vinkel x blir bågen den avlyssnar 2x . 
Om du nu skriver in stjärnan i en cirkel får du den här:
Märkning av föregående ritning, du får denna;
Med denna sats vet vi att vinkeln ∠1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, och ∠ 5 = b / 2. Om vi distribuerar det får vi ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 . Dessutom, eftersom måtten på alla bågar i en cirkel uppgår till 360, vet vi att a + b + c + d + e = 360 . Med hjälp av substitutionsegenskapen får vi slutligen ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360/2 eller ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180 . Således är summan av alla vinklar 180.
Kommentarer
- Det finns ’ ett fel i ditt argument: inte alla pentagram kan skrivas in i en cirkel.
- @ThomasKwa Kan du ge mig ett exempel?
- @ user1812 flytta bara en punkt i ditt exempel in i eller ut ur cirkeln. Det tar bara tre punkter att definiera en cirkel och ett pentagram har fem.
Svar
Detta bevis i en känsla är inget annat än att räkna graden av vinklar.
Kom ihåg att en femkant, antingen regelbunden eller oregelbunden, har sina inre vinklar till 540. Också, vinklarna för en skärningspunkt av två raka linjer uppgår till 360, där också motsatta vinklar är kongruenta.
Tänk på de fem punkterna i den centrala femkanten, de punkter där skärningspunkten mellan två linjer sker. Runt dessa 5 punkter är 360 x 5 = 1800 grader totalt och 5 x 4 = 20 vinklar att räkna.
Av de 20 vinklarna är 5 från femtonen, 5 fler är kongruenta med dem. Så detta står för 540 + 540 = 1080 grader. Resterna av 1800 – 1080 = 720 grader kommer inifrån de fem trianglarna.
5 trianglar innehåller 5 x 180 = 900 graders inre vinklar. 720 av dessa grader ligger i hörnen av femkant / triangel / korsning.
Detta lämnar stjärnans spetsar 900 – 720 = 180 grader.
Redigera: Aritmetiken här är helt enkelt förkortad för vinkel addition och subtraktion, samma som görs i andra svar.
Svar
Den centrala Pentagon som A, B, C, D , E innehåller 540 GRADER
Summa de 5 PAREN kompletterande vinklar dvs. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720 Denna 720 grader representerar ”basen” vinklar av de 5 trianglarna Vilka uppgår till 5 * 180 = 900 900-720 = 180 (de 5 vinklarna som söks.
De fem trianglarna vid punkterna uppgår till 5 * 180 = 900
Kommentarer
- Frågan ställer specifikt för att bevisa det utan att använda aritmetiska operationer.