Du kan associera punkter på ytan av en enhetsfär med rena centrifugeringstillstånd på följande enkla sätt.

En punkt på sfären $ (n_x, n_y, n_z) $ är associerad med en egenvektor för operatören $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ med en positiv egenvärde och vice versa. Detta inkluderar alla centrifugeringstillstånd för centrifugering 1/2.

Och detta är inte slumpmässig eller visualisering eller matematik. Om du har en Stern-Gerlach-enhet med magnetfältets inhomogenitet som pekar i riktningen $ (n_x, n_y, n_z) $, kommer den konsekvent att avböja strålen i en viss riktning när den har det tillståndet som är eget till $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $

Men är det inte så förvirrande? Om nord- och sydpolen väljs är båda staterna på samma rad och inte ortogonalt längre,

Det är inte förvirrande i det minsta. Geometrin är relaterad till den fysiska enhetens orientering i det laboratorium som ditt tillstånd ger tillförlitliga resultat.Den motsatta orienterade enheten ger också tillförlitliga resultat. Detta är vanligt för ortogonala tillstånd att teonorthgonal tillstånd kan vara egna för samma operatör.

Så olika punkter i Bloch-sfären identifierar olika riktningar som ger ”upp” -resultatet för olika tillstånd. Blanda inte orienteringen av mätanordningen i 3d-utrymme med geometrin för tillstånden i centrifugeringsutrymmet.

så hur kan man välja en godtycklig punkt $ p $ på sfärens yta och eventuellt sönderdela den i termer av $ 0,1 $ stater för att hitta $ a $ och $ b $?

Det är tvärtom. Hur bestämde du dig för att kalla något tillstånd 0 och ett annat 1? Du valde en slumpmässig orientering och kallade den z och orienterade din enhet så att magnetfältets inhomogenitet pekar på det sättet. Det gav dig upp och ner.

Men nu kan vi ange vilket spin-tillstånd som helst. Samma sak har du en godtycklig punkt $ (n_x, n_y, n_z) $ och hitta sedan egenvektorn $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $ Med positivt egenvärde. Kalla det $ \ left | s \ right \ rangle, $ then $$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left | s \ höger \ rangle \ left | 1 \ höger \ rangle $$ så det finns din $ a $ och $ b $ förutom att du inte vet den övergripande fasen och storleken, men ett enda partikel-spin-tillstånd har inte en av dessa .

Betyder detta att man inte bör betrakta Bloch-sfären som en giltig grund för vårt system och att det bara är ett visualiseringshjälpmedel?

Nej, det betyder att du inte borde blanda ihop geometri i laboratoriet med geometri i Hilbert-rymden. Fysik är en experimentell vetenskap så de är definitivt relaterade men de är inte desamma.

Om du vill projicera en vektor på ett eget utrymme projicerar du inte etiketterna på varandra. Du kan ha ett spinntillstånd och ett annat spinntillstånd och när du sätter en genom en Stern-Gerlach-enhet orienterad för den andra delas de rumsliga frihetsgraderna och separeras i en som är uppåt i den riktningen och en som är rumsligt nere från den riktning och centrifugeringstillståndet ändras bokstavligen för att peka uppåt i strålen som rumsligt gick upp och att peka nedåt i strålen som gick ner. Så den ena partikelns snurr har blivit intrasslad med sin egen position.

Storleken på Hilbert Projection berättar om storleken på de rumsliga delarna som avböjdes och delades. Men du behöver inte bokstavligen också att komma ihåg sådana regler. Om du skriver ner Schrödinger-ekvationen för Stern-Gerlach-enheten delas strålen och delas in i rätt storlek och snurrarna riktas in i de två polarisationerna och det händer utan att du säger att den ska göra det.

Så då är spinntillståndet klart. Det talar om för dig vilken riktning det kommer att gå tillförlitligt om du ger det en chans. Och om du lägger den i en annorlunda orienterad Stern-Gerlach kommer den att tvingas gå i en av de två riktningarna som tillåts av den orienteringen och den kommer att splittras och gå i båda. För att få storleken på varje del kan du utveckla Schrödinger-ekvationen eller beräkna operatörens egenvektorer $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ och pricka den med egenvektorn av den positiva egenvärdet som är ortogonalt mot den andra vektorn.

Och ja det finns enklare sätt att göra detta och mer du kan få ut av det. Men förhoppningsvis ser du den andra geometrin.

Kan du visa hur man hämtar $ cos \ theta / 2 $ och $ e ^ {i \ phi } $ villkor?

Jag använde Pauli-spinnoperatorerna. Om du vill välja en bas kan du skriva dem som matriser (en operator är en funktion i ett vektorrymd , en matris står för en operatör efter att du har valt en bas; operatören existerar och är densamma oavsett vilken grund du kanske väljer eller inte kan senare). $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ left (\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right). $$

Och egenvektorn med positiv egenvärde är $ \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right), $ såvida inte $ n_z = 1 $ så är det $ \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right). $ Låt oss ta itu med fallet med $ n_z = 1 $ först, i så fall $ a = 1 $ och $ b = 0 $ och $ \ theta = 0 $ så $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ phi} \ sin (\ theta / 2) $ fungerar helt.

Om du vill skriva egenvektorn som en enhetsvektor får du $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right). $ Om du vill justera fasen så att den första koordinaten är riktig och positiv får du $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ slut {matris} \ höger). $

Resten är trigometri, t.ex. $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ Så vi behöver bara visa att $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ och den $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ Den senare är en trig identitet $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $

Den förra är $$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$

Kommentarer

• Varför behöver vi en 3D-sfär och inte bara en cirkel i ett plan? Om vi föreställer oss qubit som de två möjliga värdena för en atoms snurrning eller dess superposition … Vad ’ är den fysiska betydelsen av den azimutala vinkeln ϕ?

/ ul>

A. Tvåstatssystem

Låt ett tvåstatssystem, tillstånden är oberoende av rymdtidskoordinaterna. I det här fallet har systemet en ny grad av frihet . Ett klassiskt exempel är en partikel med rotationsvinkelmoment $ \: \ frac12 \ hbar \: $ .

Låt de två staterna där motsvara grundläggande tillstånd \ begin {ekvation} \ vert u \ rangle = \ börjar {bmatrix} 1 \\ 0 \ slut {bmatrix} \ equiv \ text {upp tillstånd} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {ekvation} med namnet upp respektive ned tillstånd.

Ett systemtillstånd uttrycks av tillståndsvektorn \ begin {ekvation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {där} \: \: \: \ xi, \ eta \ i \ mathbb {C} \ quad \ text {and} \: \: \: \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {ekvation} De komplexa siffrorna $ \: \ xi, \ eta \: $ är sannolikhetsamplituderna och de icke-negativa realerna $ \: \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \: $ sannolikheterna för att vara systemet i tillståndet $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ respektive.

Systemstatusens Hilbert-utrymme är i många avseenden identiskt med (enhetens sfär) det komplexa utrymmet $ \: \ mathbb {C} ^ {2} $ .

Ett system som kan observeras representeras av en $ \: 2 \ times2 \: $ hermitisk matris A med formen \ begin {ekvation} A = \ börjar {bmatrix} a_3 & a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {with} \: \: \: \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {ekvation} så det linjära utrymmet för $ \: 2 \ times2 \: $ hermitiska matriser är i många avseenden identiska med $ \: \ mathbb {R} ^ {4} $ . Från den vanliga basen för $ \: \ mathbb {R} ^ {4} \: $ konstruerar vi en grund för detta matrisutrymme \ begin {ekvation} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \: \: \: E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v fantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {ekvation}

Nu, om de grundläggande tillstånden $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ of ekvation \ eqref {01} motsvarar egenvärdena för egenvärden $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ för en observerbar, så skulle denna observerbara representeras av matrisen
\ begin {ekvation} \ börjar {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ Boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {ekvation} ingår inte i \ eqref {04}. Men istället för basen \ eqref {04} kan vi använda följande linjära kombinationer av dem \ begin {align} E ”_1 \! = \! E_1 \! = \! & \ börjar {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E ”_2 \! = \! E_2 \! = \! \ börja {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E ”_3 \! = \! \ left ( E_3 \! – \! E_4 \ höger) \! = \! & \ börjar {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E ”_4 \! = \! \ left (E_3 + E_4 \ right) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} och ändra symboler och arrangemang

\ begin {ekvation} I = \ börjar {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \ fetstil {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {ekvation} där $ \: \ boldsymbol {\ sigma } = \ left (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ right) \: $ Pauli-matriserna .

Nu anger de grundläggande tillstånden $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ of ekvation \ eqref {01} är egenstatus för $ \: \ sigma_3 \: $ så det är nödvändigt att uttryckas med prenumerationen $ \: ” 3 ”\: $ \ begin {ekvation} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tagg {08} \ label {08} \ end {ekvation} Detta måste göras för sannolikhetsamplituderna $ \: \ xi, \ eta \: $ även \ begin {ekvation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {där} \: \: \: \ xi_3, \ eta_3 \ i \ mathbb {C} \ quad \ text {och} \: \: \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {09} \ label { 09} \ end {ekvation} Anledningen till detta är att vi lika bra kan använda Hilbert-rymdens egenstat $ \: \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle \: $ av egenvärden $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ av $ \: \ sigma_1 \: $ \ begin {ekvation} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \: \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {10} \ label {10} \ end {ekvation} så att \ börjar {ekvation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {där} \: \: \: \ xi_1, \ eta_1 \ i \ mathbb {C} \ quad \ text {och} \: \: \: \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {ekvation} eller relevant för $ \: \ sigma_2 \: $ \ begin {ekvation} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: i \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \: \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ label {12} \ end {ekvation} så att \ börjar {ekvation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {där} \: \: \: \ xi_2, \ eta_2 \ i \ mathbb {C} \ quad \ text {och} \: \: \: \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {ekvation} Egetillstånden $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ visas schematiskt i Figur-04.

Nu, \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ höger) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} så \ börjar {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} Också \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} so \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ vänster (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ höger) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} I ekvationer \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} av $ \: z ^ {\ boldsymbol {*} } \: $ betecknar vi det komplexa konjugatet av det komplexa numret $ \: z \: $ och av $ \: \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \: $ de verkliga och imaginära delarna av $ \: z $ .

Eftersom $ \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \: $ vi ställer in (se figur 01) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \: \:, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {polarvinkel med avseende på $ x_3- $ axel} \: \:, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ höger) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {azimutal vinkel med avseende på $ x_3- $ axel} \: \:, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} Under dessa definitioner \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ höger) & = \ mathrm {Re} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ vänster (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ höger) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} och ekvationer \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} ger följande sannolikheter \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ höger) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ vänster (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ höger) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ höger) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}

Observera att tillståndet $ \ vert \ psi \ rangle $ av ekvation \ eqref {09} kan uttryckas som \ begin {ekvation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {ekvation} eller ignorerar fasen faktor $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {ekvation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ höger) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ höger ) \ vert d_3 \ rangle \ tag {24} \ label {24} \ end {ekvation}

B. On Sphere – In Ball

I Figur-01 ser vi detaljerna i definitionerna \ eqref {18a}, \ eqref {18b} och \ eqref {18c}. Detta är en planvy från en punkt på cirkelplanet $ \: \ rm {K_3} \ Xi $ i Figur-03. Observera att denna Figur-01 är giltig om alla prenumerationer $ \: ”3” \: $ kommer att ersättas med $ \ : ”1” \: $ eller $ \: ”2” $ . Definitionen och betydelsen av olika punkter ges i följande.

I figur-02 ser vi geometrin för ekvationer \ eqref {21a}, \ eqref {21b} och \ eqref {22a}, \ eqref {22b}. Detta är en planvy från en punkt på det positiva av axeln $ \: x_3- $ .

Se en 3d-vy av Figur-03 här

I Figur-03 har vi en sfär med diameter 1 i ett tredimensionellt utrymme $ \: \ mathbb {R} ^ {3} \: $ inte identiskt med det fysiska utrymmet. På sfären representerar en punkt $ \: \ Xi \: $ ett tillstånd i systemet \ börjar {ekvation} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {ekvation} Nu för $ \: \ jmath = 1,2 , 3 \: $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = punkt \ : \: på \: \: + 1/2 \: \: av \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axel \: \: representerar \: \: \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = punkt \: \: på \: \: – 1/2 \: \: av \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axel \: \: representerar \: \ : \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = projekt tion \: \: av \: \: \: \: state \: \: point \: \: \ Xi \: \: on \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axel \ tag {26.03} \ label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = magnitude \: \: of \: \: sannolikhet \: \: amplitude \: \: av \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = magnitude \: \: of \: \: sannolikhet \: \: amplitude \: \: av \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag {26.05} \ label {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = sannolikhet \: \: av \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = sannolikhet \: \: av \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: egenstat \ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vinkel (\ Xi \ mathrm O _ {\ fet symbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = polär \: vinkel \: med \: respekt \: till \: den \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axel \ tag {26.08} \ etikett {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vinkel (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = azimuthal \: vinkel \: med \: respekt \: till \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axel \ tagg {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vinkel (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = halv \: \: polar \: vinkel \: \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = \ rho _ {\ boldsymbol {\ jmath}} = radie \: av \: cirkeln, \: korsningen \: av \: sfären \ nonumber \\ & \ hphantom {=} \: \: with \: the \: plane \: through \: point \: \ Xi \: normal \: to \: the \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.11} \ label {26.11} \ end {align}

Kommentarer

• som alltid fantastisk figur.
• Jag don ’ t förstår när du säger (05) är inte ’ t ingår i (04), är inte ’ t det $ E_3 $? Jag förstår inte ’ hur $ E_3 – E_4 $ inte ’ t har alla nollor och en -2
• @ gary69: Välkommen till PSE. Tack så mycket för din uppmärksamhet. Det var ett typsnitt i ekvation $ \ eqref {04} $ I redigerade till höger. När du i framtiden får rykte kan du se redigeringshistoriken för mitt svar kommer du att notera att detta skrivfel gjordes i den 7: e redigeringen den 25 augusti 2020.

Enbart utökad kommentar som effektiviserar det fina svaret från @Timaeus till en mer minnesvärd form.

Tillståndsvektorn
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ definierar en ren tillståndsdensitetsmatris genom sin projiceringsoperator, $$ \ bbox [gul] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {- i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ Lägg märke till den manifesta invariansen under överfasning av $ | \ psi \ rangle $ .

allmänna principer ”uttrycket för denna idempotenta eremitiska densitetsmatris är uppenbarligen också $ $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ med $ \ hat n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $

Det vill säga $ \ hat z $ axeln roterar till $ \ hat n $ axeln med full (angränsande) rotationsvinkel , som anger ett halvvinkel (spinor, grundläggande) operatoruttryck.

Tänk på foton spin

Att tänka på det här mer konkreta fallet hjälpte mig att få några användbara bilder i mitt huvud. Det finns till och med en välkänd och mer optikorienterad analog som är värt att tänka på: Poincaré Sphere .

Fotonsnurr är en tvåstatskvantesystem , som som Frobenius nämner , är det som Bloch-sfärmodellerna.

Fotospinn är också lätt att förstå / visualisera / manipulera experimentellt.

Fysiska polarisationsfilter

Först låt oss tänka på det mest konkreta som möjligt: polariseringsfiltret.

Det finns två typer av polariseringsfilter du kan tänka på:

• linjär polarisator, i vilken vinkel som helst mellan -90 och 90.

  t.ex. här är en i 90 grader:

  

  och här är en i 45 grader:

  

  och här är en vid 0 grader:

  

  Källa

  Wikipedia beskriver några sätt att skapa sådana filter, och bilderna ovan är Polariod-filter , som används i solglasögon och fotografering och därför lätt tillgängliga .

  Ur kvantmekanisk synvinkel gör orienteringen 90 och 0 samma mätning: den enda skillnaden är att man låter foton passera men den andra blockerar den. Men vi kan använda båda lika för att bestäm nivån för linjär vertikal polarisering av foton: du behöver bara ta komplementet till val ue.

  Och eftersom varje mätning motsvarar en Hermitisk matris kan vi representera både 0 och 90 med en enda matris:

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  Och matrisen för 45 grader är:

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

• cirkulär polarisator, som som Wikipedia förklarar görs vanligtvis med en kvartvågsplatta + en linjär polarisator:

  

  Källa .

  Motsvarande matris är:

  $$ M_i = \ börja {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

Ovanstående matriser är så kallade Pauli-matriser .

Några intressanta tillståndsvektorer

Låt oss nu ge namn på 6 poler som representerar 6 möjliga intressanta fotontillstånd på Bloch-sfären och försök förstå hur de interagerar med filtren.

Källa .

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ börja {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {linjär 90 °} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { linjär 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ börjar {bmatrix} 1 \\ 1 \ slut {bmatrix} & & = \ text {linjär 45 °} \\ & \ vert – \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ börjar {bmatrix} 1 \\ – 1 \ slut {bmatrix} & & = \ text {linjär -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {cirkulär medurs} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ börjar {bmatrix} 1 \\ – jag \ slut {bmatrix} & & = \ text {cirkulär moturs} \\ \ end {alignat *} $$

Det första vi märker är att följande par är alla baser:

• $ \ vert 0 \ rangle $ och $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ och $ \ vert – \ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ och $ \ vert -i \ rangle $

Vi kan till exempel representera:

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & – \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (- i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$

Och sedan observerar vi också att:

• $ \ vert 0 \ rangle $ och $ \ vert 1 \ rangle $ är egenvektorer av $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ och $ \ vert – \ rangle $ är egenvektorer för $ M _ + $
• $ \ vert i \ rangle $ och $ \ vert -i \ rangle $ är egenvektorer för $ M_i $

Om vi kommer ihåg att resultatet av en mätning i kvantmekanik är egenvektorn för en egenvärde, med sannolikheten proportionell mot projiceringen, får vi följande provsannolikheter för dessa experiment:

• $ \ vert 0 \ rangle $ tillstånd på:

  • linjär polarisator 90 °: 100% godkänd

  • linjär polarisator 0 °: 0% godkänd

  • linjär polarisator 45 °: 45% pass, eftersom:

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert – \ rangle) $$

  • linjär polarisator -45 °: 45% pass

  • cirkulär polarisator: 45% pass.Detta beror på att ett linjärt tillstånd 0 kan sönderdelas i två cirkulära polariseringar:

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (- i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$

• $ \ vert 1 \ rangle $ :
  • linjär 90 °: 0% godkänd
  • linjär 0 °: 100% godkänd
  • linjär 45 °: 45% passerar
  • linjär -45 °: 45% passerar
  • cirkulär: 45% passerar
• $ \ vert + \ rangle $ :
  • linjär 90 °: 45% godkänd
  • linjär 0 °: 45% godkänd
  • linjär 45 °: 100% pass
  • linjär -45 °: 0% pass
  • cirkulära polarisatorer: 45% pass
• $ \ vert i \ rangle $ :
  • linjär 90 °: 45% godkänd
  • linjär 0 ° : 45% passerar
  • linjärt 45 °: 45% passerar
  • linjärt -45 °: 45% passerar
  • cirkulärt medurs: 100% passerar
  • cirkulär moturs: 0% passera

Relativ fas

En viktig semiklassisk intuition att komma ihåg är att:

cirkulär polarisering == två ortogonala linjära polarisationer 90 grader ur fas:

Källa .

Så till exempel i :

$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$

vi har en 90 graders relativ fas på grund av $ i $ relativ fasskillnad mellan $ \ vert 0 \ rangle $ och $ \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $ .

Men i diagonalen är de i fas relativt $ \ vert 0 \ rangle $ och $ \ vert 1 \ rangle $ :

$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$

så den relativa fasen är 0 för den.

Gå runt sfären

Ett vanligt sätt att representera ett tillstånd i Bloch-sfären är att bara ge de två $ \ theta $ och $ \ phi $ vinklar som visas nedan:

Källa .

Eftersom en sfär inte är euklidisk, är ett bra sätt att visualisera det att gå igenom några lättförståeliga vägar runt den. På följande bild gör vi två vägar:

• börjar vid 0, passerar +, 1, – och återgår till 0
• börjar vid 0, passerar i , 1, -i och återgå till 0

Källa .

Gå från + till i, -, -i och tillbaka till + lämnas som en övning: cirkeln skulle bli en sned förmörkelse och tunnas ner mer och mer till en 45 graders linje.

Detta leder till en tydlig tolkning av vinklarna:

• $ \ theta $ : ju större det är, desto mer sannolikt är $ \ vert 1 \ rangle $ blir jämfört med $ \ vert 0 \ rangle $
• $ \ phi $ : den relativa fasen mellan $ \ vert 0 \ rangle $ och $ \ vert 1 \ rangle $ . Denna relativa fas kan inte detekteras av en vertikal eller horisontell polarisator

Hur kan vi gå ner från fyra reella tal till bara 2 i staten ?

På Bloch-sfären kan vi representera tillstånd med endast två verkliga parametrar: vinklarna $ \ theta $ och $ \ phi $

Men i de mer explicita fullstatusvektorerna verkar det finnas två komplexa tal, och därför fyra verkliga siffror:

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$

Varför ett av siffrorna måste tas bort är enkelt: den totala sannolikheten måste vara 1 och så:

$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$

så vid den tiden är vi redan begränsade till en 3-sfär .

Den andra är mer intressant: vi kan ta bort en annan parameter eftersom den globala fasen i tillståndet inte kan detekteras av några experiment och så vi har frihet att välja det godtyckligt.

En global fas är ett imaginärt tal. Modulen för detta nummer måste vara 1 för att bibehålla den totala sannolikheten. Experiment kan inte upptäcka globala fasförskjutningar eftersom resultaten av mätningen:

$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$

på något av filtren är detsamma som att mäta:

$$ \ text {phase} \ times k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {phase} \ times k_1 \ vert 0 \ rangle $$

eftersom $ | \ text {phase} | = 1 $ .

Ett naturligt val är därför att välja en global fas som roterar tillståndet så att multiplikatorn för $ \ vert 0 \ rangle $ blir ett verkligt tal, dvs. inställning av $ b = 0 $ .

Så till exempel genom att multiplicera med ett imaginärt tal, vi kan mappa mer allmänna tillstånd i mer begränsade sådana som

$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ gånger i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\ – 1 \ slut {bmatrix} \ gånger -1 & = \ börjar {bmatrix} 1 \\ 0 \ slut {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ slut {bmatrix}) \ times -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ börja {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$

Varför finns det exakt tre Pauli-matriser?

Jag tror att det finns djupa och tydliga matematiska skäl som förklarar detta, kopplat till att de är en grund för 2×2 Hermitian matrisutrymme som nämnts vid: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 och https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states och det är kärnan i frågan varför Bloch-sfären är använt, men jag har inte helt fattat det.

Men mer praktiskt: de tre mätanordningarna vi cribed är de enda tre möjligheterna (upp till globala rotationer) så att när du passerar en förlorar du all information om de andra två (50% sannolikhet för de andra två experimenten). i en viss mening och maximalt eftersom det inte finns något annat experiment som vi kan lägga till den uppsättningen experiment så att den här egenskapen innehåller.

Spela med Quirk

https://algassert.com/quirk

Detta är ett annat värdefullt förslag. Klicka på bilderna tills allt är vettigt.