Jag har en kontinuerlig stråle över en mittkolonn (inte säker på om jag har ritat den korrekt eller inte)
Förskjutnings- och kraftdiagrammet är som visat:
Det första diagrammet är böjmomentet, för det andra den axiella kraften, det tredje är förskjutningen.
Vad är nu gränsvillkoret till $ R_A $, $ R_B $ och $ R_C $?
Från vad jag kan dra slutsatsen verkar det vara
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (motsvarar avböjningen vid de tre stöd)
$ M (0) = M (2L) = 0 $, eller $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (motsvarar ögonblicket).
Men jag misstänker att jag fortfarande saknar vissa gränsvillkor för att härled det fullständiga förskjutnings- / kraftdiagrammet för fortsättningen vår stråle. Finns det några randvillkor som jag ”har missat?
Svar
Nåväl, du saknar kompatibiliteten för backar vid mittstödet :
$$ \ frac {dw (L ^ -)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
I fallet med symmetrisk geometri & belastning kommer strålens lutning vid mittstödet att vara noll.
Eftersom böjningsmomentet inte har något derivat vid x = L kommer du måste härleda avböjningarna av de två halvorna separat och ”ansluta” dem med kompatibilitet.
Uppdatering: härledning av strålböjningsformel:
Från och med Euler-Bernoulli strålekvation (antar konstant EI) och tar x från det yttre stöder mot mitten: $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
Integrering fyra gånger:
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Ax + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
Att märka att problemet är symmetriskt är gränsvillkoren: $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
Därför kan vi omedelbart se att: $ B = D = 0 $
Vi har nu två ekvationer med två okända (A, C). Lösning hittar vi: $$ A = – \ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
Vi kan nu ersätta alla konstanterna tillbaka till ekvationen för w. Förenkla resultaten i:
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
Vilket är identiskt med det refererade resultatet här (notera att deras koordinatsystem har x = 0 i mitten). Lägg också märke till hur detta är exakt samma resultat som en stödd cantilever . Detta beror på symmetri, vilket innebär att strålens lutning i mitten är noll (vilket är samma gränsvillkor som ett utskjutande stöd).
Du kan också byta ut i böjningsmomentsekvationen:
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
Kommentarer
- a) lutningsförhållandets kompatibilitet är endast till hjälp om man kan modellera den kontinuerliga strålen som två strålar. Hur är det till hjälp i det här fallet? b) Varför säger du att böjningsmomentet är kontinuerligt till $ L $? momentdiagrammet i min fråga visar tydligt att det är kontinuerligt.
- Skulle vara tacksam om du kan utarbeta lite och om du kan visa hur dina gränsförhållanden kan leda till förskjutnings- / böjmomentdiagrammet för kontinuerlig stråle .
- @Graviton, a) Jag kommer att uppdatera frågan med härledningen. b) du har rätt, jag var lite lös med min matematiska terminologi. Vad jag menar är att böjningsmomentet inte har något derivat vid x = L.