Till att börja med är ett läxproblem, ganska långt.
En masspartikel lika med 208 gånger massan av en elektron rör sig i en cirkulär bana runt en kärna av laddningen $ + 3e $. Förutsatt att Bohr-modellen av atomen är tillämplig på detta system,
- Hämta ett uttryck för en radie på $ n $ th Bohr-omlopp.
- Hitta värdet på $ n $ för vilken radien är lika med radierna av den första vätebanan.
- Hitta våglängden för strålning som emitteras när roterande partikel hoppar från tredje omlopp till den första.
Nu gjorde jag den första delen och fick svaret rätt. Här är vad jag gjorde.
Antag att massan av den partikel som roterar är $ M $, dess hastighet är $ v $ och $ M = 208 m_ {e} $. Elektrostatisk kraft är den centripetala kraften Därför
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$
Från Bohr-modellen,
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
där $ h $ är Plancks konstant. Därför
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
Kvadrera det,
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$
Likar de två ekvationerna som har $ v ^ 2 $ i sig ,
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
Efter att ha löst för $ r $ får vi något liknande,
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
Allt ovanstående är korrekt. Problemet ligger i andra och tredje delen; när jag lägger $ r = \ pu {0.53 * 10 ^ {- 10} m} $ får jag INTE det önskade svaret. För att närma mig den tredje delen började jag med standard Rydberg-ekvationen,
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ höger) $$
Jag kopplade in varje värde, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; men återigen fick inte svaret rätt.
Svaret på den andra delen är 25 $ (n = 25) $; och till den tredje är 55,2 pikometrar.
Svar
För att svara på den andra delen:
Vi vet $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .
Del ett har ett misstag, eftersom det är
$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ innebär & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$
Vi känner också till Bohr-radien:
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ approx 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
Därför kan vi skriva och avbryta:
$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ därför & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ därför & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ approx25 \ end {align} $$
Den tredje delen:
Rydberg Formula ges som
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$
med Rydberg $ \ mathcal {R} $ konstant definierad för en foton som emitteras av en elektron. Vi antar att kärnans massa är 7 atomenheter (tre protoner + fyra neutroner). Med hänsyn till att $ m_p \ ca 1836m_e $ når vi fram till
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
Nu måste Rydberg-konstanten ändras för att inkludera partikelns massa:
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$
Med $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), jag fick $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55,6 ~ \ mathrm {pm} $ .
Utan att ta hänsyn till den reducerade massan, dvs. $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ kom jag till $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54,8 ~ \ mathrm {pm} $ .
Båda värdena ligger rimligt nära den givna lösningen.
(Om frågan verkligen handlade om muon, är det mer exakta viktförhållandet 206,77 och motsvarande våglängder 55,1 pm och 56,0 pm.)