Superpositionssats
” Superpositionssatsen för elektriska kretsar anger att för ett linjärt system svar (spänning eller ström) i vilken gren som helst av en bilateral linjär krets som har mer än en oberoende källa är lika med den algebraiska summan av svaren som orsakas av varje oberoende källa som agerar ensam, där alla andra oberoende källor ersätts av deras interna impedanser . ”

Vilka typer av kretsar kan lösas med superposition?

Kretsar gjorda av någon av följande komponenter kan lösas med hjälp av superpositionssats

• Oberoende källor
• Linjära passiva element – Motstånd, kondensator och induktor
• Transformator
• Linjära beroende källor

Vilka är stegen för att lösa en krets med hjälp av superpositionssatsen?

Följ algoritmen:

1. Svar = 0;
2. Välj den första oberoende källan.
3. Ersätt alla oberoende källor i originalkretsen utom den valda källan med dess interna impedans.
4. Beräkna kvantiteten (spänning eller ström ) av intresse och lägg till svar.
5. Avsluta om detta var den slutliga oberoende källan. Annars Gå till steg 3 med att välja nästa källa.

Den interna impedansen för en spänningskälla är noll och den för en strömkälla är oändlighet. Så byt ut spänningskällan med en kortslutning och strömkällan med öppen krets medan du utför steg 3 i ovanstående algoritm.

Hur behandlas olika typer av källor när lösa genom superposition?

De oberoende källorna ska behandlas enligt ovan.

Om du är beroende av källor, rör inte dem.

Superposition gäller bara när du ha ett rent linjärt system, dvs:

\ begin {align *} F (x_1 + x_2) & = F (x_1) + F (x_2) \ \ F (ax) & = a F (x) \ end {align *}

I samband med kretsanalys måste kretsen bestå av linjär element (kondensatorer, induktorer, linjära transformatorer och motstånd) med N-oberoende källor, och det du löser måste vara antingen spänningar eller strömmar. Observera att du kan ta en superpåförd lösning på spänning / ström för att hitta andra kvantiteter som är inte linjära (t.ex. strömförbrukning i ett motstånd), men du kan inte överlagra (lägga till) icke-linjära kvantiteter för att hitta lösningen för ett större system.

Låt oss till exempel ta ett enda motstånd och titta på Ohms lag (jag använder U och J för spänning respektive ström, ingen särskild anledning) och se hur ström bidrog från källan \ $ i \ $ påverkar spänningen:

\ begin {align *} U = JR = R \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) = \ sum_ {i = 1} ^ NR J_i = \ sum_ {i = 1} ^ N U_i \ end {align *}

Så jag kan hitta spänningen över ett motstånd genom att summera det aktuella bidraget från varje källa oberoende av någon annan källa . På samma sätt för att hitta strömmen som strömmar genom motståndet:

\ begin {align *} J = \ frac {U} {R} = \ frac {1} {R} \ sum_ {i = 1} ^ N U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {U_i} {R} = \ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ end {align *}

Men om jag börjar när man tittar på kraft gäller inte längre superposition:

\ begin {align *} P = JU = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) \ left (\ sum_ {j = 1} ^ N U_j \ right) \ neq \ sum_ {i = 1} ^ N J_i U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N P_i \ end {align *}

Den allmänna processen för att lösa en krets som använder superposition är:

1. För varje källa \ $ i \ $, ersätt alla andra källor med motsvarande nollkälla, dvs. spänningskällor blir 0V (kortslutning) och strömkällor blir 0A ( öppna kretsar). Hitta lösningen \ $ F_i \ $ för alla okända du är intresserade av.
2. Den slutliga lösningen är summan av alla lösningar \ $ F_i \ $.

Exempel 1

Ta denna krets med två källor:

^{simulera denna krets – Schema skapad med CircuitLab}

Jag vill lösa den nuvarande J som strömmar genom R1.

Välj V1 som källa 1 och I1 som källa 2.

Lösning för \ $ J_1 \ $ blir kretsen:

^{simulera denna krets}

Så vi vet att \ $ J_1 = 0 \ $.

Lös nu för \ $ J_2 \ $ blir kretsen:

^{simulera denna krets}

Så vi kan hitta att \ $ J_2 = I_1 \ $.

Tillämpa superposition, \ börja {align *} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \ end {align *}

Exempel 2

^{simulera th är krets}

Nu är jag intresserad av strömmen genom R4 \ $ J \ $. Om jag betecknar V1 som källa 1, V2 som källa 2 och I1 som källa 3 kan jag hitta:

\ begin {align *} J_1 & = – \ frac {V_1} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J_2 & = \ frac {V_2} {R_2 + R_1 + R_4 + R_5} \\ J_3 & = -I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \ end {align *}

Således den slutliga lösningen är: \ begin {align *} J & = J_1 + J_2 + J_3 = \ frac {V_2 – V_1} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} – I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Superpositionens kraft kommer från att ställa frågan ”vad händer om jag vill lägga till / ta bort en källa?” Säg, jag vill lägga till en aktuell källa I2:

^{simulera den här kretsen}

Istället för att börja om från början är det enda jag behöver göra nu att hitta lösningen för min nya källa I2 och lägga till den i min gamla lösning: \ begin {align *} J_4 & = I_2 \ frac {R_1 + R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J & = \ sum_ {i = 1} ^ 4 J_i = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Kommentarer

• Jag har några kommentarer som jag hoppas kommer att vara användbara: 1. Jag tycker att U och J är något förvirrande, V och jag är bättre; 2. Den första ekvationen för U bör inte vara summering, eftersom den ' s endast för i '; 3. De andra summeringarna borde, tror jag, tas från i = 1 till N, inte från i till N; 4. Överläggning i kretsteori används endast för ström och spänning, så jag skulle flytta diskussionen om kraft senare i texten; 5. I exemplet som följer den enkla av I1 och R1, borde inte ' t J3 = -I1 (…), eftersom I1 verkar i motsatt riktning till J3?
• 1. Jag valde att använda U och J för att jag märkte mina källor med V och I, och jag ville inte ' förvirring orsakad av \ $ I_3 = I_1 \ cdot (\ textrm {blah} ) \ $. Jag säger tydligt vad U och J är i hopp om att begränsa förvirring. 2. Ja, jag gjorde noteringen tydligare för vad summeringsvariabeln och startindex är. 4. Min idé var att lägga all grundläggande information om när superpositionsteori före exemplen. Jag gjorde exemplen tydligare för att skilja mellan de två. 5. Ja, det var mitt misstag.