Med tanke på en satellit i en ekvatorbana utförs en specifik prograde eller retrograd bränning vid en godtycklig punkt i banan, och jag måste beräkna den resulterande banan ellips.
Tekniken jag använder är att först använda satellitens positions- och hastighetsvektorer för att hitta flygvägsvinkeln enligt följande:
$ \ varphi = cos ^ {- 1} (\ frac {r_pv_p} {r_bv_b}) $
Där $ r_p $ och $ v_p $ är positions- och hastighetsvektorerna vid periapsis på den ursprungliga banan, och $ r_b $ och $ v_b $ är positions- och hastighetsvektorerna vid brännpunkten, och $ v_b = v_ {orig } + \ Delta v $ .
Sedan beräknar jag excentriciteten för den resulterande ellipsen enligt följande:
$ e = \ sqrt {(\ frac {r_bv ^ 2 _b} {GM} -1) ^ 2 \ cos ^ 2 (\ varphi) + sin ^ 2 (\ varphi)} $
Från excentriciteten, jag kan triviellt beräkna den halvhuvudaxeln.
Vad jag inte vet hur man beräknar är argumentet för periapsis, $ \ omega $ , av den resulterande elliptiska banan. Jag inser att det är en funktion av den ursprungliga banan ”s $ \ omega $ och brännvinkelns position, men jag fastnar när jag kommer upp till höger beräkning. Känner någon till en formel för att hitta den?
Kommentarer
- Ett alternativ som ska fungera, men jag har inte ' t försökte det, är att konvertera till kartesiska koordinater och tillbaka.
Svar
Välkommen till SE!
Argumentet för periapsis är en funktion av excentricitetsvektorn och den genomsnittliga rörelsevektorn för en bana och beräknas utifrån formeln:
$$ \ cos (\ omega) = \ frac {\ boldsymbol {n} \ cdot \ boldsymbol {e}} {| \ boldsymbol {n} || \ boldsymbol {e} |} $$ ämne till om $$ e_ {Z} < 1, \ innebär \ omega = 360 ^ {o} – \ omega $$
där medelrörelser och excentricitetsvektorer definieras som: $$ n = \ sqrt \ frac {\ mu} {a ^ 3}, \ boldsymbol { e} = \ frac {(v ^ 2- \ frac {\ mu} {r}) \ boldsymbol {r} – (\ boldsymbol {r} \ cdot \ boldsymbol {v}) \ boldsymbol {v}} {\ mu } $$
Eftersom vår determiner är cosinus för argumentet periapsis, bestämmer tecknet på Z-vektorn eller den tredje vektorn i ECI-ramen var den ligger.
Så, du tar dessa vektorer i den centrala kroppens tröghetsram, använder deras punktprodukt och normaliserar dem sedan efter deras storlek.
Det finns tre spe beror på lutningen och excentriciteten hos banan. Om banan är ekvatorial men elliptisk, $$ \ cos (\ omega_ {true}) = \ frac {e_X} {| \ boldsymbol {e} |} $$
Om den är cirkulär men lutad, så $$ \ cos (\ omega) = \ frac {\ boldsymbol {n} \ cdot \ boldsymbol {r} } {| \ boldsymbol {n} || \ boldsymbol {r} |} $$
Och om det är cirkulärt och ekvatoriellt, då $$ \ cos (\ omega_ {true}) = \ frac {r_X} {| \ boldsymbol {r} |} $$
Dessa är standardkonverteringar när du omvandlar radie- och hastighetstillstånd till klassiska omloppselement och finns i de flesta astrodynamiska böcker / referenser.