Jag har en fråga om 1976 Black Model och Bachelier-modellen.
Jag vet att en geometrisk brownian-rörelse i P-måttet $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ för ett aktiekurs $ S_ {t} $ leder (efter en ändring av måttet) till svart- Scholes formel för ett samtal:
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) – Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.
Där $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ och $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Jag vet faktiskt inte hur det går att få den berömda svarta formeln på ett terminskontrakt:
$$ C = e ^ {- rT} (FN (d_ {1}) – KN (d_ {2})) $$.
där nu $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ och $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Ska jag helt enkelt infoga $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ i den första BS formel för att få den andra?
Jag frågar detta eftersom jag har försökt härleda BS-formeln med en aritmetisk brunrörelse som $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} ^ {P} $, a och jag får:
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
där $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ och $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r}} $ och komma ihåg att $ N (d) $ och $ n (d) $ är CDF och PDF.
men den tidigare ersättningen $ F (0, T ) = S_ {0} e ^ {rT} $ verkar inte leda till det kända resultatet $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) – \ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
där nu $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
Jag tror att jag kunde nå ekvationerna framåt både i det geometriska brunrörelse och aritmetisk brunrörelse med ekvationer
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ och $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ men jag don ” vet inte hur det är berättigat att använda dem.
Kommentarer
- @Macro Välkommen till Quant. S.E.! Vill du prissätta bara framåtkontrakt eller alternativ på terminsavtal?
- Hej Neeraj, tack för ditt svar. Jag ' vill prissätta ett alternativ på terminskontrakt!
- Byt bara ut $ S_0 $ med $ F e ^ {- rT} $ i din ursprungliga BS-formel eller så kan du använda riskneutralt tillvägagångssätt. Båda kommer att leda till samma värderingsformel.
- Ok, tack. Men kan jag göra detsamma för ABM? Eftersom jag ' inte kan få resultatet när jag gör det här bytet.
Svar
Europeiskt alternativ i framtiden
För att prissätta European Option on Future behöver du bara byta ut $ S_0 $ med $ Fe ^ {- rT} $ i din ursprungliga BS-formel eller så kan du använda riskneutral metod. Båda kommer att leda till samma värderingsformel.
American option on future
Ovanstående procedur kan inte användas för att prissätta American option i framtiden. I ett papper, Värdering av optioner på framtida kontrakt av Ramaswamy , uppgav att
Det finns ingen känd analytisk lösning på värderingen av amerikanska optioner på framtida kontrakt.
Författarna använde en implicit finite skillmetod för att prissätta amerikanska optioner på framtida kontrakt.
Edit: Derivation of price of European option on future contract
Under riskneutralt mått, framtida pris, $ F_t $ uppfyller följande SDE: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ där, $ W_t $ är en Wiener-process. Det kan enkelt visas att: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T- W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) – \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt), \ sigma ^ 2 (Tt) \ right) $$
Alternativet på framtida kontrakt $ (C_t) $ under riskneutralt mått är: $$ C_t = e ^ {- r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T – K) ^ +] $$
Du kan enkelt lösa ovanstående uttryck för att få priset på optionen skrivet i framtiden. Fördelningen av $ F_T $ är mycket lik $ S_T $ (se detta svar) . Om du byter ut $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ får du samma fördelning av $ S_T $ som under riskneutral åtgärd. Detta är anledningen, för att få priset på alternativet i framtiden ersätter vi $ S_t $ med $ F_t e ^ {- r (Tt)} $ i BS-modell för europeiskt köpoptionspris.
Kommentarer
- Hej Neeraj, faktiskt jag ' vill prissätta ett europeiskt alternativ med början från en ABM.
- @Marco kontrollera redigera svaret.
Svara
Här ”är ett enkelt sätt att få priset för samtalet på det vidarebefordrade priset med riskneutral prissättning.
Antag att vi har ett europeiskt samtal som betalar till $ t = T $ , $ (For ( T, T ^ *) – K) ^ + $ , där $ T ^ * \ geq T $ . Antag vidare att räntorna är konstanta och representeras av ” $ r $ ”. Låt $ c ^ {For} (t, s) $ vara priset på samtalet där $ S (t) = s $ .
Om aktien sedan inte ger någon utdelning:
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {- r (Tt)} (For (T, T ^ *) – K) ^ + | S (t) = s] $ , Genom replikering kan den visas, $ For (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T * – T)} $ , och
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T * – T)} – K) ^ + | S (t) = s] $
Du bör omedelbart märka att eftersom räntorna är konstanta och därmed deterministiska kan vi dra ” $ e ^ {r (T ^ * – T)} $ ” term av förväntan:
$ c ^ { For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) – e ^ {- r ( T * – T)} K) ^ + | S (t) = s] $
Detta är alltså nu proportionellt mot Black Scholes anropspris med strejk $ X = e ^ {- r (T * – T)} K $
$ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T * – T) K} $ ) $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T)} [SN (d_ +) – e ^ {- r (Tt)} e ^ {- r (T * – T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T )} [SN (d_ +) – e ^ {- r (T * – t)} KN (d _-)] $
$ c ^ {For } (t, s) = e ^ {- r (T – t)} (FN (d_ +) – KN (d _-)) $ , där $ F = Se ^ {r (T ^ * – t)} $
också:
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
Detta är den ”berömda svarta formeln på ett terminskontrakt”. Jag hoppas att det hjälper!
Observera att terminspriset och priset på terminsavtalet inte är desamma. Priset på terminsavtalet vid tidpunkten 0 är 0, men kan komma att ändras, terminspriset är det pris du accepterar att betala vid leverans.
Om du är nyfiken på vad det skulle vara om det skulle vara ett samtal på terminspriset istället för ett samtal på terminskursen, jag hävdar att om tillgångspriset inte är korrelerat med räntan, är de desamma annars skulle det finnas arbitrage (under antaganden om ingen motpartsrisk etc.). Jag uppmuntrar dig att försöka visa detta.
(PS Till de tidigare kommentarernas svar om att det inte finns någon formel för ett amerikanskt alternativ på terminspriset, hindrar det oss inte från att använda monte carlo!)