Hur kan 64 = 65?

Detta är ett berömt fysiskt pussel som kan knytas till Fibonacci-serier .

För att svara på frågan som ställts är problemet att de två backarna är olika ( $ \ frac25 $ mot $ \ frac38 $ ). Observera att alla dessa siffror finns i Fibonacci-serien ( $ 1,1,2,3,5,8,13,21, \ ldots $ ).

Successiva fraktioner är närmare $ \ varphi $ , växlande mellan ovan och nedan. Diagram som detta kan genereras genom att skapa en fyrkant med sidor lika med ett tal i Fibonacci-serien (i denna fråga 8) och sedan dela den i två rektanglar med bredden på de två Fibonacci-tal som utgör den första valda (3 och 5).

Klipp den mindre nedåt i diagonalen och klipp den större nedåt i mitten på en diagonal, så att bredden på den diagonala skärningen är det näst minsta numret (2 i detta fall). Observera att detta kommer att lämna en trapets, vars lilla parallella storlek matchar den ursprungliga lilla rektangelns mindre sida (3 i det här fallet), och vars större parallella storlek matchar den ursprungliga större rektangelns mindre sida (5 i det här fallet).

Eftersom $ \ frac25 \ approx \ frac38 $ , och från ovanstående konstruktioner, kan bitarna ordnas om till en rektangel (som visas), vars område alltid kommer att vara ett från det ursprungliga torget, men kommer att se ungefär korrekt ut, eftersom backarna nästan matchar.

Redigera: Eftersom det här svaret fick så många röster (tack!), jag antar att människor är mycket intresserade av det, så jag tänkte att jag skulle rita upp några bilder!

1,1,2,3 : $ 3 \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1,2, 3,5: $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8: $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (OP: s exempel)

3,5,8,13 : $ 13 \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21: $ 21 \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

En kommentar från @EricJ . föranledde en diskussion som kan vara värt att ta upp här:

Jag hävdar inte att alla sådana pussel är baserade på Fibonacci-serien. Bara att alla Fibonacci-tal kan generera dessa diagram. Det finns flera egenskaper hos Fibonacci siffror som får detta att fungera.

1. En är att kvadraten i ett Fibonacci-nummer växlar mellan att vara en mer och en mindre än produkten av siffrorna på vardera sidan.
2. Det är lutningen som jag nämnde redan, vilket innebär att vår konstruktion ger oss två lutningar som är ungefär lika. Och
3. Det finns ett argument att den totala konstruktionen kan göras baserat på att varje nummer är summan av de två föregående.

De två sistnämnda punkterna kan bäst vara förstås genom att studera konstruktionen i detalj. Den första punkten kan bevisas genom induktion:

RTP : $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ för $ k \ geq1 $

Vi indexerar så att $ f_0 = 0 $ och $ f_1 = 1 $ .

Steg 1 : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ kan verifieras genom utbyte.

Steg 2 : Antag att det är sant för $ k $ . Så $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . (Jag använder m $ \ mp1 $ eftersom jag förväntar mig att den ska växla, och så i steg 3 kommer jag att bevisa det för $ \ pm1 $ )

Steg 3 : Vi måste visa att $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . Så här går:

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ end {eqnarray}

Jag använde definitionen av Fibonacci-serien två gånger ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ och $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) och antagandet från steg 2.

Detta innebär att när du gör ovanstående konstruktion kommer områdena alltid att skilja sig med bara 1 (alternerande över och under varje gång).

Kommentarer

• Exc bra svar! Jag ’ känner till dessa pussel men har aldrig hört talas om Fibonacci-anslutningen. Faktum är att jag ’ inte ens insåg att det fanns en algoritm för att skapa sådana former.
• Det är därför jag litar aldrig på ” bevis genom demonstration ” bilder på math.stackexchange.com .
• Efter att ha sett den här frågan insåg jag varför min snabbare än lätta tidsresande Ferrari 488 inte ’ t fungerar ganska (jag menar, den ’ d går bakåt i tiden snabbare än ljuset Bara bra – men det fortsatte att komma tillbaka som en Ford Fiesta!) Och jag ’ d BARA fått gjort fixa det och starta det på en testkörning när jag läser det här dumma svaret! Och Då kom Ferrari tillbaka – men den här gången kom den tillbaka som en cykel MED EN DINOSAUR RIDNING! Så, OK, jag slog dino (hans namn ’ s Fred, BTW – trevlig kille. Rolig ol ’ sak, livet .. .) med en stekpanna, och nu ’ fixerar jag FTL-motorn igen. Så t ’ anks fer nuttin ’ !! 🙂
• Jag tror att han ’ bara säger att han gjorde något omöjligt och nu kan ’ t längre eftersom det ’ har visat sig vara omöjligt. Vad jag inte får ’ är varför så många röster? Jag menar att jag trodde att jag var smart, men inte det smart!
• Åh, ja? VÄL! Jag röstade precis upp ditt svar, bara för att göra det till ännu 100! SÅ DÄR!!!! 🙂 (Och till skillnad från @ghosts_in_the_code – jag var inte ’ jag sa inte att det här svaret är dumt – jag hänvisade till det som ” dumt ” i ironisk mening som betyder ” Svaret har visat mig fel! Vilket dumt svar! ” – dvs. jag ’ är den verkliga dummy här. Förhoppningsvis är vi ’ allt bra nu …) . Min kommentar är faktiskt en hyllning till tre filmer: Back To The Future, ET och Caddyshack. Och Hitchiker ’ Guide till galaxtrilogin – alla fem böckerna. 🙂

Diagrammet är vilseledande , eftersom det döljer ett mellanrum mitt i den andra konfigurationen.

Detta är vad vi faktiskt får om vi ordnar om de aktuella formerna. Lägg märke till att diagonalen ”böjer sig” något och lämnar lite extra utrymme mellan formerna – det är här den extra enheten i området kryper in.

Men du borde inte lita på mig mer än personen som ritade originalbilden!

Som vi ser här kan bilder vara vilseledande – så mitt diagram är inte ett bevis på att originaldiagrammet var fel. Detta ger bara en intuitiv känsla av var det extra utrymmet har kommit ifrån.

För ett korrekt bevis, överväg övertoningarna:

• Den blå trapesens lutning är $ 5/2 = 2,5 $
• Gradienten för röd triangel är $ 8/3 = 2,666 … $

Eftersom lutningarna inte matchar kan vi inte ordna dem sida vid sida så här utan något tomt mellanrum . Men för att de är nära kan ögat luras att de bildar en enda kontinuerlig linje och märker inte att lutningen i triangeln ändras halvvägs.

Kommentarer

• Jag älskar dessa pussel – där ’ är en bra filosofisk moral att inte acceptera saker som de ’ presenteras till dig.

Bilden till höger fusk : bitarna passar faktiskt inte perfekt, det finns ett mellanrum däremellan. För att bevisa det kan vi beräkna klyftans storlek genom att beräkna storleken på en triangel, bildad av:

• den längsta sidan av den gula triangeln: $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• trapezoidens lutande sida: $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• diagonalen på rektangeln på höger: $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

Området för denna triangel kan beräknas med hjälp av Herons formel:

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

där

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

Att ersätta värdena i formeln ger exakt 0,5 för $ A $. Det finns två sådana trianglar, så att ”sa total 1 = den förväntade avvikelsen.

Det är ett missvisande diagram. I verkligheten matchar vinklarna inte uppåt – den större inre vinkeln för den orange triangeln är cirka 69,5 grader, medan det är 68.2 för den grå fyrsidan. (Korrigera mig om jag missar bort min trig här.) I diagrammet med område 65 är de orangea områdena faktiskt fyrkantiga. Om du tittar noga kan du se att de har en liten böjning där de möter den andra apelsinen Så det extra området kommer från att bara expandera dem.

Trianglarna har inte samma lutning ; du kan se att den stora diagonala linjen genom den ”större” rektangeln böjer sig. Det täcks av de tjocka linjerna runt trianglarna, men det finns ett mycket tunt hål som har en total yta på en kvadrat – samma kvadrat som förmodligen ”dök upp ur ingenstans”.

Förstora bara bilden så kommer du ”ll se svaret.

Enkelt svar :

Dessa former (i orange) till höger om bilden är inte trianglar alls! de är två fyrkantiga. så har de en yta som är större än visuellt förväntat. så det finns inget eget kapital här. De är olika och har därmed olika total yta.

Bilden av den nedre rektangeln är vilseledande, eftersom den lurar människor felaktigt antar att trianglarnas bredd är exakt 3 enheter.

Den verkliga bredden kan enkelt beräknas – det är en bråkdel av den totala bredden, definierad av höjden på punkten på diagonalen, eller vid exakt 8/13 av 5, dvs. 3.076923077 (och inte 3), qed

Kommentarer

• Enligt pusseluttalandet är trianglarna i båda diagrammen är identiska och trianglarnas form är definierad i 8×8-konfigurationen för att vara exakt tre enheter med åtta enheter. Felet illustreras väl i alexwlchan ’ s svar och förklaras matematiskt i flera andra: bitarna inte ’ t passar faktiskt ihop i 5×13-konfigurationen. Det ’ ett tunt trapetsformigt gap mellan dem, som är dold av den tjocka, svarta och inte riktigt raka diagonala linjen ritad i original 5×13-illustrationen.