Hur kan området vara en vektor?

Detta kan vara mer en matematisk fråga . Detta är en märklig sak om tredimensionellt utrymme. Observera att i tre dimensioner är ett område som ett plan ett tvådimensionellt delutrymme. På ett pappersark behöver du bara två siffror för att entydigt beteckna en punkt.

Tänk dig att stå på pappersarket, den riktning som ditt huvud pekar på kommer alltid att vara ett sätt att veta hur detta plan är orienterat i rymden. Detta kallas den ”normala” vektorn till detta plan, den är i rät vinkel mot planet.

Om du nu väljer konventionen för att ha längden på denna normala vektor lika med ytan på denna yta får du en fullständig beskrivning av det tvådimensionella planet, dess orientering i tredimensionellt utrymme (vektordelen) och hur stort detta plan är (längden på denna vektor).

Matematiskt kan du uttrycka detta av ”tvärprodukten” $$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$ vars storlek definieras som $ | c | = | a || b | sin \ theta $ som är lika med arean för parallellogrammet de till vektorer (som verkligen definierar ett plan) spänner. För att stjäla den här bilden från wikipedias artikel om tvärprodukten:

Som jag sa i början detta är en mycket speciell sak för tre dimensioner, i högre dimensioner, det fungerar inte lika snyggt av olika skäl. Om du vill lära dig mer om detta ämne skulle ett nyckelord vara ”yttre algebra”

Uppdatering:

När det gäller den fysiska betydelsen av detta koncept är framstående exempel vektorfält som strömmar genom ytor. Ta en cirkulär tråd. Denna cirkel kan orienteras på olika sätt i 3D. Om du har ett externt magnetfält kanske du vet att detta kan inducera en elektrisk ström, proportionell mot förändringshastigheten för mängden som strömmar genom cirkeln (tänk på detta som hur mycket pilarna perforerar området). Om magnetfältvektorerna är parallella med cirkeln (och därmed ortogonala mot dess normala vektor) ”perforerar” de inte området alls, så flödet genom detta område är noll.Å andra sidan, om fältvektorerna är ortogonala mot planet (dvs. parallellt med det normala), ”perforerar” maximalt detta område och flödet är maximalt.

om du ändrar orienteringen mellan dessa två tillstånd kan du få elektrisk ström.

Kommentarer

• +1 för att nämna magnetfält. Inte alla ytvektorer som används i fysik är olika.
• Tack. Bara några förtydliganden. Du bad mig föreställa mig att en person som står på ett papper & betraktar huvudets riktning som den normala vektorn. Men antag att den här personen stod på det motsatta ansiktet och då vann ’ t pappersriktningen fortfarande är densamma? Men nu är vektornas riktning i motsatt riktning. Förklara.
• För det andra sa du att detta koncept inte fungerar ’ i högre dimensioner. Så betyder det att min fråga om riktningen för en sfär ’ är ogiltig? Om så är fallet är området en skalär i detta speciella fall eftersom betrakta det som en vektor inte kan ange dess orientering i rymden?
• vad ’ hindrar dig från att vara nöjd ?
• Det ’ är inte tillfredsställande för även om axb är en vektor så är | axb |, dvs. området, en skalär, därför är det inte övertygande att området är en vektor.

Den huvudsakliga användningsregimen är när ett område är oändligt litet, som man skulle användning i en integral. I så fall kan vi lätt se att den är platt, och formen spelar ingen roll. I vilket fall kan vi koda informationen som en vektor, med storleken som representerar området (skalar); valet (som du märkt) att peka ut från en viss sida är exakt det — ett val — men ett som kan göras konsekvent. Vi kan utöka detta till icke-oändliga plan, men det fungerar inte så bra för böjda ytor.

För att vara exakt, vad du verkligen vill ha är en samvektor . Detta är en abstrakt grej som tar en vektor och spottar ut en skalär. För ett plan vill du att detta ska representera ”mängden” av vektorn som går genom planet — så att den ska vara linjär i vektorn (en fördubbling av vektorn fördubblar utgången) och den bör ta hänsyn till vinkeln vid vilken vektorn träffar den (ger en faktor $ \ cos $). Nu kan vi ställa frågan om hur vi representerar denna abstrakta samvektor, och det visar sig att en vektor är en bra idé! Specifikt kan vi representera åtgärden som att ta punktprodukten, som naturligt kodar linjäriteten och cosinus. Nu har det generellt sett samma antal dimensioner som en riktig vektor, men detta kodar bara för ett område (en 2D-yta) i 3D — i 2D skulle du få en linje, i 4D en volym (ja! En 4-vektor skär en volym vid en punkt!).

Om du vill lära dig mer om den här typen av saker, vill du undersöka differentiell geometri, där allt som behövs för att vara tydlig om den här typen av saker och inte blanda ihop vektorer och samvektorer (kallas formulär i det fältet). En bra läsbar referens är Gauge Fields, Knots and Gravity som utgår från en grundläggande översikt över matematiken och utvecklar den för fysiskt bruk.

Kommentarer

• I samband med fältteorier, som med elektromagnetism, är begreppet ” mängden av en vektor (fält ) som går genom ett plansegment ” får namnet flux . Så du kan tänka dig att området kännetecknas av en funktion som kartlägger vektorer (eller ett vektorfält) till flödet av den vektorn (fältet) genom området.
• @luksen boken som han nämnde är bra för vilken nivå av matematisk och fysisk kunskap? För att omformulera, vilka förutsättningar är det för att effektivt kunna följa boken? Och är det en doktorand- eller grundbok?

Think of Force is Pressure times Area ($ F = P \ cdot A $). Du vet att tryck är en skalär (det är ingen riktning associerad med det), och en kraft är en vektor (den verkar längs en axel). Så vad betyder det för tryck.

Ta ett litet område och se det bidrag till den totala kraften på grund av tryck

$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$

Kraftens riktning är normal mot området och dess storlek är proportionell mot storleken på området. Det är därför en oändligt område $ {\ rm d} A $ kan vara en vektor. Det är bekvämt att tänka på (vektor) = (skalär) * (vektor).

Det finns ett särskilt pittoreskt exempel på Pythagors-lagen i tre dimensioner som tillämpas på områdena av en simplex. (Var med ”simplex” tror jag att jag menar ett avsnitt av utrymme avgränsat av tre ortogonala plan och ett godtyckligt plan.) Summan av kvadraterna (av ytorna) för de tre små ytorna är lika med kvadraten för det sneda ytaområdet. Det förklaras enkelt av argumenten för tryck / flöde som läggs fram i de andra svaren som publiceras här, plus det uppenbara fysiska tillståndet att en ostörd vätska är i jämvikt med sig själv.