Hur kan vi förklara att beryllium har positiva laddningsbärare som en metall (från Feynman Lectures)?

Skillnaden mellan en metall och en halvledare är att en metall har sitt övre energiband delvis fyllt med elektroner, medan vi i en halvledare skiljer valensbandet, fyllt till toppen, och ledningsbandet som är tomt (vid noll temperatur). Det delvis fyllda bandet i en metall kallas vanligtvis ledningsband , men analogin med ledningsbandet för en halvledare är endast korrekt om mindre än hälften av detta band är fyllt. Å andra sidan, om mer än hälften av detta band fylls, kommer elektronerna att röra sig i den del av bandet som har den negativa krökningen, dvs deras beteende kommer att vara mer som i hålen i valensbandet på en halvledare . Jag vet inte om detta är fallet med Berillium, men jag tror att svaret från @Agnius Vasiliauskas gör denna punkt.

Anmärkning om bandenergi
För fria elektroner ges energin av $$ \ epsilon (k) = \ frac {\ hbar ^ 2k ^ 2} {2m}, $$ men för bandelektroner är det inte fallet, eftersom bandets energi är begränsad från botten och uppifrån. Ett bra sätt att visualisera det är den endimensionella täta bindande modell, där $$ \ epsilon (k) = – \ Delta \ cos (ka), $$ där $ 2 \ Delta $ är bandbredden och $ a $ är gitterkonstanten. När elektronernas koncentration är låg är vi berättigade att utöka denna energi nära dess minimim, $ k = 0 $ : $$ \ epsilon (k) \ approx – \ Delta + \ frac {\ Delta k ^ 2 a ^ 2} {2}. $$ Vi kan sedan definiera t han effektiv massa $ m ^ * = \ hbar ^ 2 / (\ Delta a ^ 2) $ ( effektiv massuppskattning ) och behandla elektroner, som om de vore en fri elektrongas.

Men om bandet nästan fylls är vi mer berättigade att expandera bandenergin nära dess toppunkt, $ k = \ pi + q / a $ , med resultatet $$ \ epsilon (k) \ approx \ Delta – \ frac {\ Delta q ^ 2a ^ 2} {2}. $$ I det här fallet talar man om negativ effektiv massa , vilket leder till ett helhetsliknande beteende hos konduktansegenskaperna.

En annan sätt att titta på det är genom att notera att elektronhastigheten som matar in uttrycket för strömmen definieras som grupphastigheten för sannolikhetsvågorna: $$ v (k) = \ frac { 1} {\ hbar} \ frac {d \ epsilon (k)} {dk}, $$ vilket ger oss bekant fart över massan för fria elektroner $ v (k ) = \ hbar k / m $ , men ser ganska annorlunda ut hyra för elektroner i bandet, där det kan ta negativa värden (dvs. uppvisar hålliknande beteende): $ v (k) = \ Delta a \ sin (ka) / \ hbar $ .

Kommentarer

• Har du något emot att utarbeta varför bandet i en metall är krökt i första hand? Det verkar för mig att det finns två sätt att beskriva det: via elektrongas som beskrivs av @ Agnius Vasiliauskas och via bandstruktur, och jag ser inte ’ hur de överlappar varandra
• @fruchti Jag har lagt till mer material. Det är verkligen för kort för en introduktion till bandteorin, men jag hoppas att det kommer att hjälpa.

Som positivt laddade bärare kan vara hål och joner. Om du tittar på de första joniseringsenergierna för metaller:

Du kommer att se att den minsta första joniseringsenergin $ \ leq 5 \, \ text {eV} $ har Alkali-metallgrupp :
litium (Li), natrium (Na), kalium (K), rubidium (Rb), cesium (Cs), francium (Fr).
Alkalisk jordmetallgrupp har första joniseringsenergier mellan $ (10 \, \ text {eV} \ geq E _ {\ text {jonisering}} \ geq 5 \, \ text {eV}) $ . Till denna grupp hör:
beryllium (Be) , magnesium (Mg), kalcium (Ca), strontium (Sr ), barium (Ba), radium (Ra).
Låga joniseringströsklar i alkaliska och alkaliska metaller kan ses som ett bra stöd för större koncentration av fria elektroner i sådana metaller och detta innebär en högre koncentration av positiva laddningar – hål & joner i dem också, för när atom joniseras – löst kopplad elektron tas bort från den och blir en fri elektron, så blir atom positivt laddad jon, eller i andra termer – på en plats där elektronen fanns tidigare, nu är ett hål, $ 𝑒 ^ + _ Ø $ avgift.

EDIT

När det gäller varför i detta fall positiva laddningar är den huvudsakliga laddningsbäraren, – jag vet inte den exakta orsaken, men min fysiska intuition säger detta. Enligt kinetisk teori om gaser, menar gratis sökvägs definieras som: $$ \ ell = {\ frac {k _ {\ text {B}} T} {{\ sqrt {2}} \ pi d ^ {2 } p}} $$ För $ \ pi d ^ {2} $ kan du träda i kraft tvärsnittsarea för fri elektronatomkollision. Och eftersom fria elektroner bildar en Fermi-gas, för tryck kan du ta elektrondegenereringstryck, vilket är: $$ p = {\ frac {(3 \ pi ^ {2}) ^ { 2/3} \, n ^ {5/3} \, \ hbar ^ {2}} {5m}} $$

där $ n $ är fri elektronantaldensitet.

Så när nummertätheten ökar (som det gör, i dessa lättjoniserbara material), ökar också degenererat elektrongastryck. När fermitrycket ökar, minskar sedan den fria vägen för elektron – vilket innebär att för större elektronkoncentrationer är det mycket svårare att röra sig fritt för dem. Således, eftersom hål är bundna till en atom och inte är ett ämne för atomspridningseffekter – reagerar de på Hall-effekten mer enhetligt. Det är mina två cent gissning.

Kommentarer

• Kan du gå in på mer detaljer om hur en större koncentration av fria elektroner leder till en större koncentration om vi har gott om båda, varför transporterar hålen laddningarna, inte elektronerna?
• Jag ’ har ändrat mitt svar .
• Om jag förstår dina argument väl skulle du förutsäga en positiv Hall-koefficient för alkhalimetallerna? Men det är inte det som observeras. Jag är också förvånad över att läsa att hål är bundna till en atom. Kan du snälla förklara mer i detalj vad du tänker på?
• Jag menar att hål inte är som fria elektroner. Fria elektroner är inte bundna till någon atom, utan hål är , de kan röra sig mellan atomer, men de kan ’ t lämna någon atom, för per definition bor hål på en plats där elektronen var bunden till en atom.
• Då tycker jag att det här är fel. Vad sägs om min första kommentar, gör du ditt svar innebär en positiv hallkoefficient för alkhalimetaller?

Ziman erbjuder lösningen i ”Elektroner i Metaller: En kort guide till Fermi Surface ”, del III.

Det korta svaret är ”på grund av interaktionen mellan elektronerna och gallret.”

Detta innebär att den fria elektronmodellen (som leder till en sfärisk Fermi-yta) inte kan förklara detta beteende.

Det lite mer inblandade svaret kan vara: Om det inte fanns någon interaktion mellan fria elektroner och gallret, var Fermi-ytan (bestämd av $ E (\ vec k) $ ) skulle vara en perfekt sfär och hastigheten hos elektronerna som bidrar till ledning skulle vara parallell med (kristall) momentum $ \ vec k $ och det är alltid normalt för Fermi-ytan.Gitterets närvaro ändrar emellertid formen på Fermi-ytan (snedvrider den) så att hastigheten hos (kvasi) elektroner, $ \ vec v (\ vec k) = \ frac {1} {\ hbar} \ nabla_ \ vec k E (\ vec k) $ , kan förändras allvarligt på grund av interaktionen mellan elektronerna och gitteret, vilket gör att de har en hastighet som inte är parallell med kristallen momentum, men ändå vinkelrätt mot Fermi-ytan.

Nu när ett elektriskt fält appliceras vinkelrätt mot ett magnetfält (Hall-effekt) kommer elektronerna att vara under en Lorentz-kraft. Genom att kombinera Lorentz-kraften med hastighetsformeln skriven ovan kommer man fram till att det är som om några av elektronerna hade en negativ effektiv massa. Dessa kan betraktas som ”hål”.

Detta argument kan användas för att förklara varför Be, Zn, Cd, Sn och Pb uppvisar positiva Hall-koefficienter trots att de är ”metaller”.