Hur långt kan papegojor flyga utan att behöva landa?

Flygfåglar var den ursprungliga inspirationen för designen av en maskin som kunde flyga och bära en person uppåt, därför är det inte förvånande att aerodynamiken för flygflyg och flygplan har mycket gemensamt. Specifikt förbrukar de båda massa som energikälla för att upprätthålla flygningen, flygbränsle eller bensin när det gäller flygplan och lagrat kroppsfett hos fåglar, och de har båda vingar som ger aerodynamisk lyft när luften rör sig över dem under flygningen. Dessutom delar båda en annan egenskap hos flygningen, förmågan att glida , att fortsätta flyga utan att ge någon egen energi för att upprätthålla den flygningen. Denna energi tillhandahålls av själva atmosfären i form av stigande luftströmmar orsakade av en temperaturskillnad i en lokal ”ficka” av luft; en luftficka som är varmare än den omgivande luften kommer att stiga eftersom den har lägre densitet, Archimedes-principen i aktion. En liknande process inträffar när ett parti fuktig luft omges av torr luft vid samma temperatur som den fuktiga luften och därmed mindre tät än torr luft. Den tredje källan till stigande luft beror på den lokala topografin; luften på vindsidan av en ås eller berg tvingas uppåt och används ofta av fåglar som en lyftkälla.

Varje diskussion om glidflygning kommer oundvikligen att involvera vissa aspekter av atmosfärisk fysik (aka, väder), det är inte annorlunda här. Som nämnts ovan, ett paket fuktig luft omgiven av torr (er) luft vid samma temperatur kommer att stiga. Så länge den temperaturen är över mättnadstemperaturen (daggpunkten) för det luftpaketet kommer vattnet att förbli i ångform. Vi vet alla att när vi går högre i atmosfären sjunker temperaturen; det är svalare på toppen av ett berg än vid basen. När vårt paket med fuktig luft stiger kommer dess temperatur att sjunka, och så småningom är temperaturen densamma som daggpunkten i det paket som leder till kondens av fukten, dvs ett moln bildas. Eftersom en yta med konstant temperatur i atmosfären är nästan en jämn yta ser vi moln på himlen vars baser alla är på samma nivå, den nivå där kondensationen börjar. Nu, för lite termodynamik; när vi kokar vatten genom att tillföra värme (det vill säga energi) till det förvandlar vi flytande vatten till en ånga (ånga).Här är saken, när vi kyler den ångan ner till daggpunkten kommer den att kondensera tillbaka till flytande vatten, och då får vi värmen (som sattes in för att få det att koka) tillbaka igen ! Den återvunna värmen visar sig som en ökning av temperaturen i luften som just gav upp vattenångan. Denna temperaturökning gör att luften fortsätter att stiga, nu på grund av en temperaturskillnad med den omgivande luften snarare än en vattenångtrycksskillnad ; molnet fortsätter att växa uppåt. Detta är källan till de cumulonimbusmoln vi ser på himlen som så småningom kan bilda åskväder. nyckelfakta om vädret som är direkt relaterat till vår diskussion om glidflygning; om det inte finns några uppdrag, finns det inga moln. Det är korrekt, för att ett moln ska bildas måste det finnas emulsioner som innehåller fuktig luft . Inga moln indikerar inga uppdateringar. Om det inte finns några uppdrag finns det ingen glidflygning. Vi noterar dock att riktigt torr luft är väldigt svår att hitta; det kan fortfarande finnas värme runt, men inte troligt, och de är inte särskilt starka. Ta bort från denna diskussion är detta: om vi vill inkludera ökningar i maximalt räckvidd till följd av glidflygning, måste vi kunna förutsäga vädret (som inte har hänt än, och jag säger detta som en som har tillbringat år som en grund- och doktorand som är aktiv i atmosfärisk forskning.). Därför kommer långflygglidflygning inte att behandlas längre här.

Vi börjar vår analys av drivna flyg genom att överväga ett specifikt flygplan, säg en Boeing 787-passagerarjet. För att hitta sin maximala räckvidd skulle flygplanet drivas upp helt, starta och flyga en jämn, konstant hastighetsflygbana, eftersom alla accelerationer (genom att ändra höjd eller gå snabbare) skulle vara i midjan bränsle. När bränsletanken torkar har du nått det maximala räckvidden av driven flygning (förutsatt att det inte finns några huvud- eller bakvindar förstås).

Ur en analytisk synvinkel, det bränsle som transporteras av 787 är energikällan, $ E_s $ , som driver dess motorer. Dessa motorer producerar dragkraften $ \ mathbf {T} = T \ mathbf {\ hat {T}} $ riktad horisontellt, parallellt med 787 ”s längdaxel och till flygvägen, som motverkar effekten av den atmosfäriska dragkraften, $ \ mathbf {D} = D \ mathbf {\ hat {D}} $ som motsätter sig 787-rörelsen längs sin flygväg. Under stabila flygförhållanden (konstant hastighet och höjd) är netto-horisontalkrafterna på 787 noll så att $ \ mathbf {T} + \ mathbf {D} = \ mathbf {0} $ eller $ \ mathbf {D} = – \ mathbf {T} $ . Med storleken på båda sidor av detta uttryck finner vi att $ D = T $ så att $ \ mathbf {\ hat { D}} = – \ mathbf {\ hat {T}} $ . Vi finner att dragkraften som genereras av motorerna har samma storlek som, men riktad motsatt det atmosfäriska drag.

Under samma flygförhållanden hittar vi ett liknande förhållande för de vertikala kraftkomponenterna som verkar på 787, dess vikt, $ \ mathbf {F} _w = F_w \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ balanseras av hissen $ \ mathbf {L} = L \ mathbf {\ hat {L}} $ som genereras av vingarna så att $ F_w = m_p g = L $ och $ \ mathbf {\ hat {L}} = – \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ där $ m_p $ är den momentana massan (= startmassan för planet, $ m_ {p_0} $ , minus den mängd bränsle som förbrukas så långt genererande dragkraft) av 787 och $ g = 9.8 \, \ text {m / s} ^ 2 $ är den vanliga gravitationsacceleration på jordens yta. Vi noterar här att både $ \ mathbf {L} $ och $ \ mathbf {F} _w under dessa flygförhållanden $ är vinkelräta mot $ \ mathbf {T} $ och $ \ mathbf {D} $ .

Om dragkraften tas bort så att $ \ mathbf {T} = \ mathbf {0} $ , kommer dragkraften inte att längre motsatt och kommer att sakta ner planet, vilket minskar luftens hastighet som flyter över vingen, vilket i sin tur kommer att få vingen att generera mindre lyft, vilket initierar planets nedstigning (dess vikt är större än hissen som vingar). Om planet sedan ”nosas ner” med en vinkel $ \ alpha $ från det horisontella, projiceras planens viktvektor, $ \ mathbf {F} _w $ på planets längdaxel kommer inte längre att vara noll utan kommer istället att vara $ \ mathbf { F} _w \ sin \ alp ha $ riktade framåt mot dragkraften.Om $ \ alpha $ väljs så att summan av denna projektion och dragvektorn är noll, kommer planet att sjunka i konstant takt och storleken på dragningen ges av $ D = F_w \ sin \ alpha $ . Projicering av viktvektorn på axeln vinkelrätt mot planet ”s längdaxel, $ \ mathbf {F} _w \ cos \ alpha $ , balanseras med lika magnitud men motsatt riktad liftvektor, vars storlek nu blir $ L = F_w \ cos \ alpha $ . Om vi bildar förhållandet $ D / L $ vi hittar \ begin {ekvation} \ frac {D} {L} = \ frac {F_w \ sin \ alpha} {F_w \ cos \ alpha } = \ tan {\ alpha} \ tag {1} \ label {1} \ end {ekvation} Det inversa av detta förhållande, $ L_D = L / D = (\ tan \ alpha) ^ {- 1} $ , är inom aerodynamik känd som förhållandet lyft till drag medan vinkeln $ \ alpha $ kallas glidlutningsvinkel . Dessa två parametrar är viktiga för den övergripande karaktäriseringen av aerodynamiken i en luftram. När detta förhållande är känt kan det användas för att uppskatta dra i nivåflyg. Men i nivåflyg, hissen är lika stor som planets vikt, $ L = F_w = m_p g $ . Ersätta detta uttryck i ekv. ~ $ \ eqref {1} $ och lösa för dra \ begin {ekvation} D = L \ tan \ alpha = F_w \ tan \ alpha = m_p g \ tan \ alpha \ tag {2} \ label {2} \ end {ekvation}

Vi har nått punkten i våra analyser som vi behöver för att ta itu med mass- / energibudgeten för flygets flygning. Det kommer att vara användbart att separera planetens massa i dess tomma (inget bränsle) massa, m_ {p_e} $ och mängden tillgängligt bränsle, $ m_f $ , med den initiala startmassan av bränsle som ges av $ m_ {f_0} $ . Med dessa kvantiteter definierade ges den initiala startmassan för planet av $ m_ {p_0} = m_ {p_e } + m_ {f_0} $ medan den momentana massan ges av $ m_p = m_ {p_e} + m_f $ . Under flygningen är massan av bränsle tillgängligt, $ m_f $ , varierar så att $ m_ {f_0} \ ge m_f \ ge 0 $ medan planets massa, $ m_p $ , varierar som $ m_ {p_0} \ ge m_p \ ge m_ {p_e} $ .

Det finns ytterligare två konstanter som krävs för att bestämma den tillgängliga nettoeffektiva energin för att arbeta mot dragkraften när man konsumerar (differentiell) kvantitet $ \ delta m_f $ bränsle när du flyger på (differentiell) avstånd $ \ delta \ mathbf {r} $ . Den första av dessa, $ \ kappa $ , bestämmer den totala (differentiella) energin, $ \ delta E $ , tillgänglig från förbränningen av mängden $ \ delta m_f $ av bränsle \ begin {ekvation} \ delta E = \ kappa \ delta m_f \ tag {3} \ label {3} \ end {ekvation} För ett amerikanskt flygplan som 787, $ \ kappa $ kommer att ha enheter som ungefär BTU per pund förbrukat bränsle. Den andra, $ \ eta $ , specificerar effektiviteten för att omvandla tillgänglig energi till faktiskt arbete, $ \ delta W $ , genererar dragkraft som motverkar drag \ begin {ekvation} \ delta W = \ eta \ delta E = \ eta \ kappa \ delta m_f = – \ mathbf {T} \ cdot \ delta \ mathbf {r} = – m_p g \ tan \ alpha \ delta r \ tag {4} \ label {4} \ end {ekvation} där $ \ delta \ mathbf {r} = \ delta r \ mathbf {\ hat {T}} $ är en differentiell förskjutningsvektor längs flygbanan under konstant hastighet, horisontell rörelse och minus sign redogör för det faktum att planets energibutiker förbrukas eftersom energin används för att motverka drag (en grundläggande försvinnande process).

Att låta $ \ delta $ ”blir derivat, dividerar med $ m_p $ och använder $ m_p = m_ {p_e} + m_ f $ och ersätta de integrerade variablerna med grundade mängder, Ekv. ~ $ \ eqref {4} $ kan skrivas om i den integrerade formen \ börja {ekvation} \ eta \ kappa \ int_ {m_ {f_0}} ^ {m_f} \ frac {dm ”} {m_ {p_0} + m”} = – g \ tan \ alpha \ int_0 ^ r dr ”\ tag {5} \ label {5} \ end {ekvation} med integrationsgränserna utvärderade vid start och den aktuella nedrangeringspositionen ett avstånd $ r $ från start.

Utför integrationerna som anges i ekv. ~ $ \ eqref {5} $ och förenklar, vi har resultatet \ begin {ekvation} m_p = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r} \ tag {6} \ label {6} \ end {ekvation} Vi finner att planetens massa, $ m_p $ , är en exponentiellt minskande funktion av det avstånd som flygs, $ r $ . Att låta $ r = r_m $ vara det maximala planområdet där allt bränsle har förbrukats (när $ m_f = 0 $ så att $ m_p = m_ {p_e} $ ), Ekv. ~ $ \ eqref {6} $ blir \ begin {ekvation} m_ {p_e} = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r_m} \ tag {7} \ label {7} \ end {equation} Vi noterar likheten mellan detta uttryck och Tsiolkovsky raketekvationen .

Ekv. ~ $ \ eqref {7} $ kan lösas för det maximala intervallet $ r_m $ \ begin {ekvation} r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} { m_ {p_e}} \ right) \ tag {8} \ label {8} \ end {ekvation} ett otroligt enkelt resultat, allt tänkt! Detta resultat förblir giltigt för alla aerodynamiska system som får sin lyft via framåtrörelse genom luften som tillhandahålls av ett framdrivningssystem som förbrukar massa för att producera dragkraft. Den kan appliceras på en Cessna 172, eller till och med en nitrodriven radiostyrd (RC) modell av en 172. Den kan inte tillämpas på en elektriskt (batteridriven) modell av 172 eftersom det finns ingen massförlust från ett batteri eller till någon typ av segelflygplan (ingen dragkraft eller massförlust). Och det kan dock appliceras på alla flygfåglar, inklusive vår papegoja!