Det är känt att en standard multivariant brownian bridge $ y (\ mathbf u) $ är en centrerad Gaussisk process med kovariansfunktion $$ \ mathbb E ( y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ wedge v_j) – \ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
Jag är inte säker på hur man ska konstruera en sådan multivariat brownian bridge.
Min första tanke var att börja på något sätt med en univariate Brownian bridge. Jag har hittat information om det och till och med ett paket i R som kan göra det, men bara för den univariata Brownian-bron.
Jag hittade det här , men som jag förstår det är vad som har gjorts där inte en standard multivariat brownian bro som definierats ovan eller t.ex. i det här dokumentet .
Jag skulle uppskatta alla tips och stöd.
Kommentarer
- Som jag fick reda på i Deheuvels papper länk finns följande förhållande mellan en Brownian Bridge $ B_t $ och en Brownian Sheet (eller Wiener Sheet) $ W_t $: $$ B_t: = W_t – \ frac t T W_T $$ Så jag tror att problemet minskar till att simulera ett brownian ark. Jag kommer att ställa mina frågor om detta i en separat fråga.
- korrigering, förhållandet för fler dimensioner är $$ B _ {\ mathbf t}: = W _ {\ mathbf t} – \ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- Relaterat: stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
Svar
Som du redan påpekat i kommentarerna minskar frågan till att simulera ett brownian-ark. Detta kan göras genom att generalisera simulering av Brownian-rörelse på ett enkelt sätt.
För att simulera Brownian-rörelsen kan man ta en i.i.d. medelvärde-0 varians-1 tidsserier $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ , och konstruera den normaliserade delsummans processen $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} W_i. $$ Som $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ svagt konvergens (i känslan av Borels sannolikhetsmått på ett metriskt utrymme) till standardbroniansk $ B $ på Skorohod-rymden $ D [0 , 1] $ .
Iid med ändligt andra ögonblick är fallet det enklaste sättet att simulera. Det matematiska resultatet (Functional Central Limit Theorem / Donskers Theorem / Invariance Principle) har mycket större generalitet.
Nu för att simulera (säg, tvådimensionellt) Brownian-ark, tar det medelvärde-varians -1 array $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ och konstruera den normaliserade delsummans processen $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ Som $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ konvergens svagt till det standardbruna arket på Skorohod-utrymmet $ D ([0,1] ^ 2) $ på enhetsfyrkant .
(Beviset är ett standard svagt konvergensargument:
-
Konvergens av ändlig dimensionell fördelning följer av Levy-Lindeberg CLT.
-
Täthet på $ D ([0,1] ^ 2) $ följer av ett tillräckligt ögonblickstillstånd som trivialt håller i i.i.d. ändligt fall av andra ögonblick — se t.ex. Bickel och Wichura (1971). )
Sedan, genom den kontinuerliga kartläggningssatsen $$ X_n (t_1, t_2) – \ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ konvergerar svagt till den tvådimensionella Brownian-bron.