Bessel-filteröverföringsfunktionen definieras via bessel-polynom. Om vi till exempel betraktar ett andra ordningsfilter är överföringsfunktionen: $$ H (s) = \ frac {3} {s ^ 2 + 3 * s + 3} $$ Jag ville bygga en simulering för ett sådant filter med en Sallen-Key-arkitektur. Därför konsulterade jag denna designguide av TI. De definierar överföringsfunktionen för en andra ordningens lågpass som:
Ao är 1 eftersom jag vill att vinsten ska vara enhet. Jag tittade på tabellen nedan för att korrekt beräkna C- och R-värdena.
Därför blir överföringsfunktionen: $$ H (s) = \ frac {1} {0.618 * s ^ 2 + 1.3617 * s + 1} $$
Jag körde simuleringen och tittade på bode-plot. Det visade det önskade resultatet (avstängningsfrekvensen -3db var som beräknad).
Men jag förstår inte varför överföringsfunktionen ser så annorlunda ut. Det är definitivt inte ett Bessel-polynom. Jag kollade stegsvaret och observerade en överskridning på 0,4% som man kan förvänta sig för ett Bessel-filter. Därför har jag tre frågor:
- Hur kommer det sig att överföringsfunktionen i ti designguiden inte är ett bessel-polynom.
- Skulle polplatsen för ett andra ordning Bessel-filter vara densamma för alla filter med en viss avstängningsfrekvens?
- Kan en andra ordning bessel lågpass ha en annan Q-faktor än 0,5773?
Tack!
Kommentarer
- Konstanten i nämnaren för den sista ekvationen H (s) måste vara ” 1 ” istället för ” 3 ”. Senaste fråga: NEJ !. Det är endast Q-faktorn som avgör Besselsvaret.
- du har rätt, det var ett stavfel. Behöver fortfarande inte göra mycket med ett bessel-polynom.
- Varför inte? Det är en typisk filterfunktion med ett frekvenssvar som heter ” Thomson-Bessel ”. Vad är ditt problem? Naturligtvis är filterfunktionen inte identisk med ” matematisk Bessel polynominal ”.
- Jag don ’ t förstår varför du har den här matematiska definitionen på ena sidan och en överföringsfunktion som är helt annorlunda på den andra sidan. Varifrån kommer dessa koefficienter?
- Koefficienterna för de så kallade Bessel-filtren beräknas utifrån kravet på en maximal platt gruppfördröjning i passbandet (jämföras med en maximalt platt amplitud för Butterworth-filter) . Det kan visas att vid beräkning av koefficienterna använder vi de kända Bessel-polynominalerna (detta är en ganska involverad procedur) – men det betyder inte att storleken på överföringsfunktionen har svar som ser ut som Bessel-funktioner. Det är – som nämnts – det matematiska förfarandet bakom upptäckten av koefficienter. OK?
Svar
Hur kommer det sig att överföringen funktionen i ti designguiden är inte ett bessel-polynom.
Låt oss titta på överföringsfunktionen du har skrivit: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1} {0.618s ^ 2 + 1.3617s + 1} \ $
Omarrangemang: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1.6181} {s ^ 2 + 2.2034s + 1.6181} \ $
Ekvationen är nu i standardform: \ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ $
Och tydligt \ $ \ omega_n \ $ = \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ därav 2.2034 / \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ = 1.732 Den här biten är viktig eftersom den är \ $ \ sqrt3 \ $.
För ett Bessel 2: a ordningens lågpassfilter 2 \ $ \ zeta \ $ = \ $ \ sqrt3 \ $ därav är zeta 0,866.
På bilden har jag manipulerat R för att ge mig ett dämpningsförhållande (zeta) på exakt 1.732 – titta på toppen i stegsvar – 1.00433 volt – exakt rätt för Bessel. Titta på fasfördröjningen ritad på den övre grafen – maximalt plan och gradvis bli 90 grader vid den naturliga resonansfrekvensen. Fd (den dämpade frekvensen) är exakt 0,5 – också en indikation på Bessel.
Kan ett andra ordens bessel lågpass ha en annan Q-faktor än 0,5773?
0.5773 är det ömsesidiga av \ $ \ sqrt3 \ $ och nej det måste inte vara så Q för en Bessel LPF.
Kommentarer
- Anledningen till att polynom är annorlunda är för frekvensskalningen. En icke-skalad Bessel (OP ’ s första formel) har \ $ \ omega_0 = \ sqrt {3} \ $, med en dämpning av ~ -1.597dB @ 1Hz – inget ovanligt, Bessel är normalt för platt gruppfördröjning, inte frekvens – så TI skalade det så att det ’ är den klassiska -3dB.
- @aconcernedcitizen varför inte göra detta till ett svar snarare än att fästa det på mitt svar såvida du naturligtvis inte är för subtil och pekar på ett fel i mitt svar att jag ’ är för dum att känna igen?
- Jag hade skrivit detta som en kommentar så att svaret som jag kommenterar kan uppdateras, om det behövs. Men om du säger att det borde vara ett svar, så var det. Jag vet inte ’ var kom ” dum ” ifrån.
Svar
Ett Bessel-filter har, som du korrekt visar i din första formel, \ $ \ omega_0 = \ sqrt { 3} \ $. Det är inte ovanligt om du tror att ett Bessel-filter normalt används för dess platta gruppfördröjning snarare än dess frekvensbeteende (som @LvW säger i sin kommentar). Men att implementera ett filter med den överföringsfunktionen kommer att ge ~ 1.597dB@1Hz dämpning, vilket inte gör svaret klassiskt. Så, TI tillämpade en frekvensskalning så att dämpningen är -3dB @ 1Hz. Som det händer är den kvadrerade frekvensen (pulsering) \ $ \ phi \ $ = 1.618 … varefter de ordnade om termerna så att de passar deras opamptopologi.