Om en bowlingboll rör sig med en viss initialhastighet medan den glider, hur långt kommer den att röra sig innan den börjar rulla när den upplever statisk friktion?
$ \ ddot {x} = \ mu_ {kf} g $
Och det finns också ett vridmoment från den kinetiska friktionen på kulan (R = kulans radie )
$$ mg \ mu_ {kf} R = \ frac {2mR ^ 2} {5} \ ddot {\ theta} \ innebär \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ { kf}} {2R} $$
Villkoret för att rulla utan att glida är $ v = R \ omega $ och från det att bollen kommer i kontakt med marken minskar den tvärgående hastigheten medan vinkelhastigheten ökar till en punkt där de är lika. Jag är inte säker på vad jag ska göra just nu, för allt jag försöker verkar inte fungera.
$$ \ ddot {x} = v \ frac {dv} {dx} = \ mu_ {kf} g \ innebär v ^ 2 = (2 \ mu_ {kf} g) x + v_o ^ 2 $$
Jag vet inte riktigt vad jag ska göra med denna differentialekvation som inte vinner involvera $ \ theta $ så att jag kan använda den i den linjära rörelseekvationen. Jag har försökt använda tid, men jag vet inte hur det skulle hjälpa, och själva vinkeln i sig är värdelös.
$$ \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ {kf}} {2R} $$ Jag kan inte säga $ x = R \ theta $ på grund av glidningen
Kommentarer
- (Intressant åt sidan): När den börjar rulla utan att halka, slutar den aldrig! (såvida vi inte inkluderar luftmotstånd och / eller materialdeformation )
Svar
Låt oss säga att när din boll först kommer i kontakt med marken har den en initial hastighet $ v_0 $ och initial vinkelhastighet $ \ omega_0 = 0 $.
Du har ett konstant vridmoment på kulan, så din skillnad erentialekvationen är väldigt lätt att integrera för att få:
$$ \ dot {\ theta} = \ omega = \ frac {5g \ mu} {2R} t + \ omega_0 $$
För förskjutningen, gå direkt med Newtons lag, $ \ ddot {x} = – \ mu g $, som också har en konstant kraft och lätt kan integreras en gång för att få
$$ \ dot {x} = v = v_0 – \ mu gt $$
Härifrån borde du kunna använda ditt $ v = \ omega R $ villkor för att ta reda på hur lång tid det tar bollen att börja rulla utan att glida, och när du har den tiden integrerar du förskjutningen en gång till för att få
$$ x = v_0 t – \ frac {1} {2} \ mu gt ^ 2, $$
vilket ger dig den sträcka som du har rest och angett den tid du beräknat tidigare.
Kommentarer
- Tack så mycket. Det är så mycket meningsfullt när du säger det