Skillnad mellan heltal och decimaltal

”Räknar” (leder till att räkna siffror) är ett speciellt fall (med tvetydigheter) av ”mätning”, där ”måttets / enhetens” roll är mer synlig. Uppenbarligen (tror jag) är den naturliga enheten som antyds i ”räkna” -situationer någon relevant-atomenhet (som ”hel, operativ person”, snarare än inte så funktionell mindre del av en person).

Det vill säga att räkna implicit med mått med enhet det minsta / atomära genomförbara / operativa måttet (ofta så universellt implicit att det är bortom diskussion).

En snyggare analog uppstår när mer avancerade undergrader först exponeras för idén att oändliga summor (även kallad ”serie”) faller under paraplyet av ”integraler”, men med ”räknemått” … och att diskreta uppsättningar har minst ett naturligt regelbundet, positivt Borel-mått, nämligen räknemåttet.

Kommentarer

• 1. Det var vad jag antydde i min inledande mening och så håller jag naturligtvis med och jag gillar den speciella nyansen du ger till den. 2. Men hur svarar du på de väldigt råa elever som börjar ” Varför kan ’ t vi säg 0,04 DekaPeople eftersom vi kan säga 0,04 KiloPeople? På något sätt hjälper inte 0,04 DekaPeople = 0,4 personer och 0,04 KiloPeople = 40 människor: deras uppfattning är att när vi arbetar i det decimaltalmetriska systemet, bör det inte användas någon övergripande överväganden och saker bör inte bero på om ” nämnare ” är Människor eller liter mjölk .
• @schremmer, jag ’ d argumenterar för att utan ” använder sig av yttre överväganden ” aritmetiken är ändå vettigt, visst, men relevans / tillämpbarhet kan ibland drabbas. Kontext är viktigt.
• Naturligtvis är sammanhang viktigt som det händer för det mesta. Dessa är dock så kallade utvecklingsstudenter och det är mycket svårt att ta hänsyn till logiken.Men då, när de börjar, hänger de naturligtvis på sådana saker. Jag försöker berätta för dem att de alltid kommer att kunna berätta från ” nämnaren ”, som de håller med om, men de insisterar fortfarande att ” det borde finnas en regel ” oberoende av om vi pratar människor av liter mjölk. Det är vad jag inte ’ inte vet hur jag ska svara.
• @schremmer, du kanske säger till dem att inte allt (även i matematik) kan reduceras till en lista över entydiga regler. Jag inser att det finns olika utvecklingssituationer, men ändå försöker jag försäkra eleverna på alla nivåer att de inte ska avbryta sin egen kritiska bedömning … men / och att de har ett ansvar för använda det, snarare än att bara använda magiskt tänkande eller åberopa oförklarlig ” regler ”.
• Mitt svar på en fråga som ” Varför kan ’ t vi säga 0,04 DekaPeople [0,4 personer] ” är att vi verkligen kan säga något sådant. T.ex. Fråga: Vad är befolkningstätheten på Falklandsöarna per kvadratkilometer? Svar: 0,26 personer. länk

Varför kan vi inte säga ” 0,04 Människor ” eftersom vi kan säga ” 0,04 KiloPeople ”?

Vissa mängder (t.ex. människor) är diskreta mängder och vissa (t.ex. meter, dollar) är kontinuerliga mängder.

Följande diskussion är från här . (Jag har betonat orden ” naturligt tal ” och ” decimal. ”)

Klassificering av kvantiteter

En kvantitet är antingen diskret eller kontinuerlig . En diskret mängd är storleken på en räknbar uppsättning (en vars element är ”ömsesidigt åtskilda och individuellt åtskilda”). Dess siffervärde är ett naturligt tal (”delning i en mängd mindre än en enhet kan inte beaktas”) och dess enhet är klart i början. Ett exempel på en diskret kvantitet är ”tre pojkar.”

En kontinuerlig kvantitet är storleken på ett ”kontinuum” (”en kontinuerlig enhet som kan delas in i valfritt antal mindre delar” så att ”alla två sådana enheter kan kombineras till en större ”). Dess siffervärde (a decimal eller en bråkdel) och dess enhet ”har inte bestämts a priori . ” Ett exempel på en kontinuerlig kvantitet är ”tre dollar.”

En kontinuerlig kvantitet är antingen omfattande eller intensiv . Den förstnämnda uttrycker bredd eller storlek (såsom yta eller vikt); den senare uttrycker kvalitet eller intensitet (såsom densitet eller hastighet). En omfattande kvantitet har tillsats: attributet för föreningen av två kroppar är lika med summan av attributen för de två kropparna. En intensiv kvantitet har ingen tillsats. Till exempel är vikten av två kroppar nödvändigtvis summan av deras vikter, men hastigheten för två kroppar är inte nödvändigtvis summan av deras hastigheter.

Texten är skriven för matematikpedagoger, men den kan omformuleras för att bli lättare att förstå för nybörjare.)

Mitt ursprungliga svar (ingår här för sammanhang) som OP påpekade tog inte upp den avsedda frågan:

Vissa mängder, till exempel $ 1/3 $ liter, har decimaler ( $ 0. \ överlinje {3} $ liter) men inga heltalrepresentationer.

Kommentarer

• Vad har detta med min fråga att göra?
• Din fråga var ” Var ritar du gränsen mellan hela och decimal och hur förklarar du det för mycket råa början studenter som vill förstå ? ” I Jag föreslår att du drar linjen när decimalrepresentationen inte avslutas och att detta exempel ska vara tydligt för ” mycket rå början ” studenter .
• @De mycket råa nybörjare som jag har att göra med har ingen aning om vad ett decimal kan representera, än mindre av en decimalrepresentation som inte avslutas. Dessutom är 1/3 liter mjölk 1 , vilket är ett heltal som räknar sakerna _ denominerade_ av vilka den tar 3 för att göra en liter mjölk så här är din helhetsrepresentation.I vilket fall som helst har det lite att göra med den ursprungliga frågan.
• Så vad sägs om $ \ sqrt {2} $ meter, längden på hypotenusen för en jämn höger triangel med varje ben längd $ 1 $ meter? Håller du med om att den har en decimalrepresentation men inte en heltalrepresentation?
• Naturligtvis men vad har det att göra med den ursprungliga frågan? Du svarar fortfarande på en fråga jag ställde aldrig . Frågan jag ställde vänder: Varför kan ’ t vi säga ” 0,04 personer ” eftersom vi kan säga ” 0,04 KiloPeople ”?

Jag tror att förvirringen till stor del är en följd av det faktum att många människor hittar prefixen för det metriska systemet ( kilo- , centi- , etc.) obekanta och hitta decimaler (till och med avslutande) mindre intuitiva än de ”vulgära fraktioner” som de representerar.

Om någon frågade mig ”Hur kan 0,004 kilometer, ett decimaltal, vara samma som 4 meter, ett heltal ”? (som OP nämner i kommentarerna nedanför sin fråga) skulle jag svara med något så här:

Är du också störd av det faktum att $ 1 / 2 $ ett dussin ägg, en bråkdel, är samma som 6 ägg, ett heltal?

Vad som kommer nästa beror på frågeställarens svar … Men låt oss anta att de svarar med något som: ”Okej, jag antar att jag förstår det. Men varför kan jag säga” 0,04 kilopere ”men jag kan inte säga” 0,04 personer ”?” I så fall skulle jag svara med :

Är du också störd av att du kan koka ett halvt dussin ägg, men du kan inte koka ett halvt ägg?

Poängen med dessa svar, för att vara tydlig, är inte att stänga av konversationen med en zinger, utan snarare att komma till ytan vad de bakomliggande frågorna är: ” 1 kilometer betyder samma som ”1000 personer”, och du kan ha hälften av tusen människor på samma sätt som du kan ha hälften av ett dussin ägg. Å andra sidan kan du inte ha $ 1/7 $ tusen personer, på exakt samma sätt som du inte kan ha $ 1/7 $ av ett dussin ägg.

Kommentarer

• Mitt problem med en fråga som ” Varför kan ’ t säger vi ’ 0,04 Människor ’ ”, är det verkar för mig som vi verkligen kan säga det. Det kan till exempel vara befolkningstätheten per kvadratkilometer i en viss region. Faktum är att 0,04 personer faktiskt är exakt befolkningstätheten (per km ^ 2) på Svalbard- och Jan Mayen-öarna i Norge. länk .
• @mweiss Utvecklingsstudenter som börjar ställa frågor gillar inte att besvaras med en fråga. De skulle avfärda din ” Är du också störd … ” som en ” lärare trick ”. Senare, i diskussionen, skulle de naturligtvis inte invända mot ditt resonemang och skulle faktiskt följa det. Men vad jag tror att deras fråga egentligen handlar om, som jag kommenterade till Paul Garrett, är: ” när vi är verksamma i det decimal-metriska systemet, bör det inte tas någon användning av främmande överväganden och saker bör inte bero på om ” nämnaren ” är Människor eller liter mjölk. ”