Okej, så jag har verkliga problem att skilja mellan Steady State-konceptet och den balanserade tillväxtvägen i den här modellen :
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$
Jag har blivit ombedd att härleda steady state-värdena för kapital per effektiv arbetare :
$$ k ^ * = \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
Förutom förhållandet mellan steady state mellan kapital och utdata (K / Y):
$$ \ frac {K ^ {SS}} {Y ^ {SS}} = \ frac {s} {n + g + \ delta} $$
Jag tyckte att båda dessa fina, men jag har också blivit ombedd att hitta ”steady-state-värdet av marginalprodukten för kapital, dY / dK ”. Här är vad jag gjorde:
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$ $$ MPK = \ frac {dY} {dK} = \ beta K ^ {\ beta -1} (AL) ^ {1- \ beta} $$
Ersätter in för K i steady state (beräknas när man tränar steady state för K / Y-förhållandet ovan):
$$ K ^ {SS} = AL \ vänster (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ höger) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta (AL) ^ {1- \ beta} \ left [AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} \ right] ^ {\ beta -1} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ höger) ^ {\ frac {\ beta -1} {1- \ beta}} $$
För det första behöver jag veta om denna beräkning för steady state-värdet för MPK är rätt?
För det andra har jag blivit ombedd att skissa tidsvägarna för kapital-output-förhållandet och kapitalets marginella produkt för en ekonomi som konvergerar till sin balanserade tillväxtväg ”underifrån”.
Jag har problem med att förstå exakt hur den balanserade tillväxtvägen är, i motsats till steady state, och hur man använder mina beräkningar för att ta reda på hur dessa diagram ska se ut.
Ledsen för mammutposten, all hjälp uppskattas mycket! Tack på förhand.
Svar
Detta är när försöket till noggrannhet skapar förvirring och missförstånd.
Tillbaka på dagen införde inte tillväxtmodeller tekniska framsteg och ledde till en långsiktig jämvikt som kännetecknades av konstanta -storlekar. Oralt verkade termen ”steady-state” lämpligt för att beskriva en sådan situation.
Då kom Romer och endogena tillväxtmodeller, vilket också pressade de äldre modellerna att börja inkludera som en rutinegenskap exogena tillväxtfaktorer (bortsett från befolkning). Och ”plötsligt” var per capita-termer inte konstanta i den långsiktiga jämvikten utan växte i konstant takt . Ursprungligen beskrev litteraturen en sådan situation som ”steady state in growth rates”.
Då verkar det som att yrket tänkte något som ”det är felaktigt att använda ordet” stadig ”här eftersom storleken per capita växer. Vad som händer är att alla magnituder växer vid en balanserad hastighet (dvs. i samma takt, och så förblir deras förhållanden konstant). Och eftersom de växer följer de en väg … ”Eureka !: termen” balanserad tillväxt ”föddes.
… Till elevernas frustration (åtminstone), som nu måste komma ihåg att till exempel ”sadelvägen” verkligen är en sökväg i fasdiagrammet, men den ”balanserade tillväxtvägen” är bara en punkt! (för att vi faktiskt kan rita ett fasdiagram och få en bra gammal långsiktig jämvikt uttrycker vi magnituder per effektiv arbetare, och dessa magnituder har ett traditionellt steady-state. Men vi fortsätter att kalla det ”balanserad tillväxtväg”, eftersom storleken per capita, vilket är vad vi är intresserade av, i vårt individualistiska synsätt) fortsätter att växa).
Så ”balanserad tillväxtväg” = ”stadigt magnitud per effektivitetsenhet för arbetskraft”, och jag antar att du kan ta reda på resten för ditt fasdiagram.
Svar
Efter samtalet med användaren @denesp på kommentarer från mitt tidigare svar måste jag klargöra följande: den vanliga grafiska anordningen vi använder relaterade till den grundläggande Solow-tillväxtmodellen (se till exempel här , figur 2 ) är inte ett fasdiagram, eftersom vi rimligen kallar ”fasdiagram” de som innehåller nollförändringslokaler, identifierar korsningspunkterna för dem som fasta punkter i en dynamica systemet och undersöka deras stabilitetsegenskaper. Och det här är inte vad vi gör för Solow-modellen. Så det var vårdslös användning av terminologi från min sida.
Ändå kan vi rita ett ”halvfasdiagram” för Solow-tillväxtmodellen i $ (y, k) $ space. Förstå symbolerna som ”per effektivitetsenhet för arbete” har vi systemet med differentiella ekvationer (medan $ y = f (k) $)
$$ \ dot k = sy – (n + \ delta + g ) k $$
$$ \ dot y = f ”_k (k) \ cdot \ dot k $$ Skrivning av nolländringsekvationen som en svag ojämlikhet för att också visa de dynamiska tendenser, vi har
$$ \ dot k \ geq 0 \ innebär y \ geq \ frac {n + \ delta + g} {s} k $$
$$ \ dot y \ geq 0 \ antyder \ dot k \ geq 0 $$
Så detta system ger en singel nolländringsplats, en rak linje. Inga korsningspunkter för att identifiera en fast punkt Vad kan vi göra?Rita också produktionsfunktionen i diagrammet, eftersom i själva verket $ (y, k) $ $ -utrymmet är endimensionellt, inte ett område utan en linje. Då får vi
vertikala / horisontella pilar som indikerar de dynamiska tendenserna kommer ordentligt från de svaga ojämlikheterna ovan (både $ y $ och $ k $ tenderar att växa när de är över nollbytesplatsen). Sedan, eftersom $ y $ och $ k $ är tvungna att flytta på den streckade linjen (vilket är produktionsfunktionen), följer det att de rör sig mot sin fasta punkt, oavsett var vi börjar. Här representerar produktionsfunktionsdiagrammet väsentligen vägen mot långsiktig jämvikt, eftersom konvergens är monoton.