Jag tittar på en BEKK Multivariat GARCH-modell.
I en standard GARCH-modell förväntar vi oss generellt,
$$ h_t = \ omega + \ alpha u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
Alfa ( $ \ alpha $ ) koefficient för att vara betydligt mindre än beta ( $ \ beta $ ), se till exempel Verbeeks ”Guide till modern ekonometrik kapitel om GARCH”, med cirka 0,1 alfa och 0,8 beta.
Jag flyttar nu in i en multivariat miljö, till en BEKK (1 ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {matrix} \ right] + \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ slut {ma trix} \ höger] \ vänster [\ börjar {matris} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ slut {matris} \ höger] \ vänster [\ börjar {matris} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ slut {matris} \ höger] ^ \ prime \ vänster [\ börja {matris} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ slut {matris} \ höger] ^ \ prime $$
dvs. en MV-ARCH (1),
Skulle någon veta lämpliga parametrar för $ A_ {ij} $ -matrisen med en referens? Och även BEKK (1,1) med GARCH-termen,
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
Jag behöver lämpliga parametervärden (som i vad vi förväntar oss) för A och B . Jag förstår att detta kommer att förändras avsevärt mellan datamängder etc. Men i allmänhet några värden som vi kan förvänta oss?
Svar
Tyvärr finns det inga raka kontroller på $ a_ {ij} $ ”s och $ b_ {ij} $ ” s koefficienter i BEKK-fallet, som $ \ alpha + \ beta < 1 $ säkerställer stationaritet och svagt tidsberoende i GARCH (1,1) fall. Villkoren är lite mer invecklade i BEKK-fallet.
Processen är stationär och svagt tidsberoende (i den meningen att den ”är en geometriskt ergodisk Harris återkommande Markov-kedja), om alla egenvärden för $ k ^ 2 \ gånger k ^ 2 $ matris $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ är mindre än 1 och $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ är positivt definitivt, men det kommer alltid att vara fallet med $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , eftersom det är positivt av konstruktion. $ \ otimes $ betecknar Kronecker-produkten .
Sats 2 i Comte och Lieberman (2003) säger att detta villkor säkerställer att den maximala sannolikhetsuppskattaren är konsekvent, och om vi vidare antar att processen har slutlig sjätte ordningens är $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ , sedan fastställer sats 3 i Hafner och Preminger (2009) asymptotisk normalitet för MLE.
Såvitt jag vet ger litteraturen inga raka parametrar, vilket säkerställer slutliga sjätte ordningens ögonblick i BEKK-processen. Sats C.1 i bilagan till Pedersen och Rahbek (2014) ger tillräckliga förutsättningar för ARCH-versionen av den Gaussiska BEKK-processen ( $ B_ {11} = 0 $ ), för att ha $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ . Dessa villkor är att alla egenvärden för $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ ska vara mindre än $ 15 ^ {- 1/3} \ cirka 0,4055 $ .
- F. Comte och O. Lieberman. Asymptotisk teori för multivariata GARCH-processer. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1): 61 – 84, 2003.
- C. M. Hafner och A. Preminger. Om asymptotisk teori för multivariata GARCH-modeller. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9): 2044 – 2054, 2009.
- R. S. Pedersen och A. Rahbek. Multivariat variansinriktning i modellen för bekk-garch. The Econometrics Journal, 17 (1): 24–55, 2014.
Kommentarer
- Inte säker på om detta gäller den specifika form av BEKK som studerats här, men McAleer " Vad de inte berättade om algebraisk (icke-) existens, matematisk (ir-) regelbundenhet och (icke-) asymptotiska egenskaper hos hela BEKK-dynamiska villkorliga kovariansmodell " (2019) visar att BEKK kanske inte ens existerar utom under restriktiva förhållanden och drar mattan från under 4500+ papper med hänvisning till BEKK.
- @Duffau ett bra svar men har du några idéer om vad klyftan mellan A och B ska vara?
- Tack @FrancisOrigi! Så kom ihåg att A och B är matriser så det finns ingen tydlig uppfattning om " gap ". I dynamiska system där processen definieras av matriser, bestämmer ofta någon form av egenvärde systemets stabilitet. Liksom för BEKK styrs stabiliteten (stationaritet och svagt beroende) av egenvärdena för de transformerade matriserna som jag beskrev ovan. Om du vill lära dig mer skulle jag undersöka linjära Vector Autoregressions, de är den enklaste typen med multivariat dynamik. De motsvarar AR-modeller i den univariata världen.