Jag kämpar för att förstå begreppet asymptotisk varians. Kontexten är den geofysiska tidsseriebearbetningen med robusta metoder som används.
Metoder med en mycket hög nedbrytningspunkt har vanligtvis en mindre asymptotisk relativ effektivitet vid Gauss-fördelningen än LS. Detta betyder att ju högre robustheten hos uppskattaren är, desto högre är den asymptotiska variansen. För att uppnå samma parameterosäkerhet genom den robusta proceduren krävs fler mätningar.
Kan någon förklara detta?
Kommentarer
- Det är inte klart vad din förvirring handlar om " asymptotisk varians " per ordstäv. Du verkar vara förvirrad av begreppet asymptotisk relativ effektivitet, inte asymptotisk avvikelse.
- @Bey de två är nära besläktade, eftersom A.R.E. är ett förhållande av asymptotiska avvikelser. (Jag tror också att du menar " per se " där.)
- @Glen_b ja, jag menar i sig, och ja, de är väldigt besläktade, men naturligtvis på hemmaplan av gaussiska, icke-robusta metoder, robusta metoder kräver fler prover. Jag ville klargöra vad det här var kontraintuitivt, men jag ser att det finns ett accepterat svar, så jag Matt kunde komma till frågan.
- Asymptotisk relativ effektivitet .
Svar
En robust uppskattning är en som är oförändrad eller förändras väldigt lite när nya uppgifter införs eller antaganden bryts. Medianen är till exempel en mer robust uppskattare än medelvärdet, för om du lägger till en relativt stor observation i din datamängd kommer din median att förändras väldigt lite medan ditt medel kommer att förändras mycket mer.
När du monterar en linjär regressionsmodell får vi parameteruppskattningar och tillhörande standardfel i våra uppskattningar. Ett av antagandena för den linjära regressionsmodellen är lika variation – det vill säga, oavsett $ x $ -värdet, kommer felen att fördelas med medelvärdet $ 0 $ och standardavvikelsen $ \ sigma $. I det fall detta antagande bryts kan vi föredra att använda robusta standardfel vilka är vanligtvis större standardfel som tar hänsyn till eventuella kränkningar av vårt antagande om lika avvikelser. (Denna överträdelse kallas heteroscedasticitet.)
När vi använder robusta standardfel är våra standardfel (och motsvarande våra avvikelser) i allmänhet större än de skulle vara om vi inte ”t använder robusta standardfel. Låt oss beteckna det robusta standardfelet som $ \ frac {\ sigma_R} {\ sqrt {n}} $ och det” typiska ”(icke-robusta) standardfelet som $ \ frac {\ sigma_T } {\ sqrt {n}} $. Det bör vara tydligt att, när det robusta standardfelet är större, $ \ frac {\ sigma_R} {\ sqrt {n}} > \ frac {\ sigma_T} {\ sqrt { n}} $. Det bör också vara klart att det robusta standardfelet asymptotiskt kommer att vara större än det ”typiska” standardfelet eftersom vi kan avbryta $ \ sqrt {n} $ ut på båda sidor.
Låt oss säg att vårt ”typiska” standardfel är $ k = \ frac {\ sigma_T} {\ sqrt {n}} $. Sedan $ k < \ frac {\ sigma_R} {\ sqrt {n}} $. För att det robusta standardfelet ska vara lika med $ k $ måste vi göra $ n $ större (aka samla in fler observationer / prov).
Hoppas det är vettigt!
EDIT: Se den medföljande länken och kommentarerna nedan för en kort diskussion om när de robusta standardfelen kommer faktiskt vara större än de ”typiska” (icke-robusta) standardfelen. http://chrisauld.com/2012/10/31/the-intuition-of-robust-standard-errors/
Kommentarer
- Det är möjligt att konstruera fall där de robusta standardfelen faktiskt är mindre än de vanliga!
- Christoph, jag redigerar mina svar på lämpligt sätt . Jag ' är intresserad av att veta när en större $ \ sigma $ korrelerar med en mindre $ (x_i- \ bar {x}) $ eftersom det verkar kontraintuitivt och, även om det inte är omöjligt, extremt osannolik. Det verkar som om du antyder lika mycket i ditt svar – att det är möjligt att konstruera ett sådant fall att detta inträffar – men det skulle vara intressant att se hur ofta detta uppstår i verkliga data och inte patologiska fall.