Vad är definitionen av en symmetrisk fördelning? Någon sa till mig att en slumpmässig variabel $ X $ kom från en symmetrisk fördelning om och bara om $ X $ och $ -X $ har samma fördelning. Men jag tror att denna definition delvis är sant. Eftersom jag kan presentera ett motexempel $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2}) $ och $ \ mu \ neq0 $. Uppenbarligen har den en symmetrisk fördelning, men $ X $ och $ -X $ har olika fördelning. Har jag rätt? Tänker ni någon gång den här frågan? Vad är den exakta definitionen av symmetrisk fördelning?
Kommentarer
- När du säger är en " distribution symmetrisk ", du måste ange med avseende på vilken punkt som är symmetrisk. När det gäller den normalfördelning du presenterar ges symmetrin runt $ \ mu $. I detta fall har $ X- \ mu $ och $ – (X- \ mu) $ samma fördelning. När det gäller densiteten kan detta uttryckas som: $ f $ är symmetriskt om $ \ mu $ om $ f (\ mu-x) = f (\ mu + x) $. BTW, det är bra sätt att acceptera svar när du är nöjd med en av dem.
- Ja, vi killar har funderat på den här frågan. Symmetrisk betyder i allmänhet symmetrisk ungefär $ 0 $, och för att förhindra ytterligare motexempel är påståendet om att distributioner är symmetriska inte något som är sant för den kumulativa sannolikhetsfördelningsfunktionen . Ditt " motexempel " har symmetri kring punkten $ \ mu \ neq 0 $, inte om punkten $ 0 $.
- @Dilip När en definition beror på ett sätt att beskriva något, men den definitionen kan visas vara en inneboende egenskap hos det något, är det ingen mening att tillämpa definitionen på en annorlunda form av beskrivning. I det här fallet är symmetri en egenskap för en distribution , men det innebär inte att alla beskrivningar av den distributionen (inklusive PDF och CDF) måste vara " symmetrisk " på samma sätt. Genom att tillämpa PDF-symmetrin på CDF förvirrar din kommentar frågan snarare än att klargöra den.
- shijing, @Procrastinator har observerat att du har ställt många frågor utan att acceptera några svar. Det antyder att du kanske inte känner till hur den här webbplatsen fungerar. För att avhjälpa missförstånd, kan du läsa den relevanta delen av våra FAQ hela vägen ? Det tar bara några minuter och att följa dess vägledning kommer att öka värdet på vår webbplats för dig.
- @whuber CDF är en av få beskrivningar där ordet distribution förekommer faktiskt i namnet, och jag försökte klargöra att symmetriegenskapen inte höll för CDF.
Svar
Kortfattat: $ X $ är symmetriskt när $ X $ och $ 2aX $ har samma fördelning för något reellt tal $ a $. Men att komma fram till detta på ett helt motiverat sätt kräver viss avvikelse och generaliseringar, eftersom det väcker många implicita frågor: varför denna definition av” symmetrisk ”? Kan det finnas andra typer av symmetrier? Vad är förhållandet mellan en distribution och dess symmetrier, och omvänt, vad är förhållandet mellan en ”symmetri” och de fördelningar som kan ha den symmetrin?
Symmetrierna i fråga är reflektioner av verklig linje. Alla har formen
$$ x \ till 2a-x $$
för någon konstant $ a $.
Så antag att $ X $ har denna symmetri för minst en $ a $. Då antyder symmetrin
$$ \ Pr [X \ ge a] = \ Pr [2a-X \ ge a] = \ Pr [X \ le a] $$
visar att $ a $ är en median på $ X $. På samma sätt, om $ X $ har en förväntan, följer det omedelbart att $ a = E [X] $. Således kan vi vanligtvis sätta ner $ a $ enkelt. Även om inte är $ a $ (och därför själva symmetrin) fortfarande unikt bestämd (om den alls finns).
För att se detta, låt $ b $ vara vilket symmetricentrum som helst. När vi sedan använder båda symmetrierna ser vi att $ X $ är oförändrad under översättning $ x \ till x + 2 (b-a) $. Om $ b-a \ ne 0 $ måste distributionen av $ X $ ha en period på $ b-a $, vilket är omöjligt eftersom den totala sannolikheten för en periodisk fördelning är antingen $ 0 $ eller oändlig. Således $ ba = 0 $, vilket visar att $ a $ är unik.
Mer allmänt när $ G $ är en grupp som agerar troget på den riktiga linjen (och i förlängning på alla dess Borel-underuppsättningar), kan vi säga att en distribution $ X $ är ”symmetrisk” (med avseende på $ G $) när
$$ \ Pr [X \ i E] = \ Pr [X \ i E ^ g] $$
för alla mätbara uppsättningar $ E $ och element $ g \ i G $, där $ E ^ g $ betecknar bilden av $ E $ under handlingen av $ g $.
Som exempel låter $ G $ fortfarande vara en beställningsgrupp $ 2 $, men nu låt dess handling vara att ta det ömsesidiga av ett reellt tal (och låt det fixa $ 0 $). Standardfördelningen lognormal är symmetrisk med avseende på denna grupp. Detta exempel kan förstås som en förekomst av en reflektionssymmetri där ett olinjärt återuttryck av koordinaterna har ägt rum. Detta föreslår att man fokuserar på transformationer som respekterar den ”verkliga linjens” struktur. Strukturen som är väsentlig för sannolikheten måste vara relaterad till Borel-uppsättningar och Lebesgue-mått, vilka båda kan definieras i termer av (euklidiskt) avstånd mellan två punkter.
En distansbevarande karta är per definition en isometri. Det är välkänt (och lätt, om än lite involverat, att visa) att alla isometrier i den verkliga linjen genereras av reflektioner. Därifrån, när man förstår att ”symmetrisk” betyder symmetrisk med avseende på någon grupp isometrier , måste gruppen genereras med högst en reflektion och vi har sett att reflektion bestäms unikt av någon symmetrisk fördelning med avseende på den. I den meningen är den föregående analysen uttömmande och motiverar den vanliga terminologin för ”symmetriska” distributioner.
För övrigt, en värd av multivariata exempel av distributioner som är oförändrade under grupper av isometrier ges genom att överväga ”sfäriska” distributioner. Dessa är oförändrade under alla rotationer (i förhållande till något fast centrum). Dessa generaliserar det endimensionella fallet: ”rotationerna” i den verkliga linjen är bara reflektionerna.
Slutligen är det värt att påpeka att en standardkonstruktion – i genomsnitt över gruppen – ger ett sätt för att producera massor av symmetriska fördelningar. När det gäller den riktiga linjen, låt $ G $ genereras av reflektionen kring en punkt $ a $, så att den består av identitetselementet $ e $ och denna reflektion, $ g $. Låt $ X $ vara någon distribution. Definiera fördelningen $ Y $ genom att ställa in
$$ {\ Pr} _Y [E] = \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ i G} {\ Pr} _X [ E ^ g] = ({\ Pr} _X [E] + {\ Pr} _X [E ^ g]) / 2 $$
för alla Borel-uppsättningar $ E $. Detta är uppenbart symmetriskt och det är lätt att kontrollera att det förblir en fördelning (alla sannolikheter förblir icke-negativa och den totala sannolikheten är $ 1 $).
Som illustrerar gruppgenomsnittsprocessen visas PDF-filen för en symmetriserad gammafördelning (centrerad till $ a = 2 $) i guld. Originalet Gamma är i blått och dess reflektion är i rött.
Kommentarer
- (+1) Jag vill lägga till att definitionen av symmetri i multivariat inställning är inte unik. I denna bok finns åtta möjliga definitioner av symmetriska multivariata distributioner.
- @Procrastinator I ' Jag är nyfiken på vad du kan mena med " inte unik. " AFAIK, allt som motiverar namnet " symmetri " hänvisar i slutändan till en gruppåtgärd på ett mellanslag. för att se vilka olika typer av åtgärder statistiker har funnit användbara. Eftersom den boken är slut och inte tillgänglig på webben, kan du ge ett snabbt exempel på två riktigt olika typer av symmetri som beaktas i den boken?
- Din intuition är korrekt, detta är relaterat till statistiska funktioner : Central symmetri $ {\ bf X} – \ mu \ stackrel {d} {=} – ({\ bf X} – \ mu) $; Sfärisk symmetri $ X- \ mu \ stackrel {d} {=} {\ bf O} ({\ bf X} – \ mu) $ för alla ortogonala matriser $ {\ bf O} $. Jag kan inte komma ihåg resten, men jag kommer att försöka låna boken i dessa dagar. I den här -länken hittar du några av dem.
- @Procrastinator Tack. Observera att de två exemplen du erbjuder båda är speciella fall av den allmänna definitionen jag har angett: den centrala symmetrin genererar en tvåelementgrupp av isometrier och de sfäriska symmetrierna är också en undergrupp för alla isometrier. " elliptisk symmetri " i länken är en sfärisk symmetri efter en affin transformation, och så exemplifierar det fenomenet jag pekade på med det lognormala exempel. " vinkelsymmetrier " bildar åter en grupp isometrier. " halv-mellansymmetri " [sic] är inte en symmetri, men möjliggör diskreta avvikelser därifrån: att ' s nytt.
Svar
Svaret beror på vad du menar med symmetri. I fysik är begreppet symmetri grundläggande och har blivit mycket allmänt. Symmetri är alla operationer som lämnar systemet oförändrat.I fallet med en sannolikhetsfördelning kan detta översättas till vilken operation som helst $ X \ till X ”$ som returnerar samma sannolikhet $ P (X) = P (X”) $.
I det enkla fallet i det första exemplet hänvisar du till reflektionssymmetrin om det maximala. Om fördelningen var sinusformad kan du ha villkoret $ X \ till X + \ lambda $, där $ \ lambda $ är våglängden eller perioden. Då skulle $ P (X) = P (X + \ lambda) $ och fortfarande passa en mer allmän definition av symmetri.