På många ställen inom statistisk fysik använder vi partitionsfunktionen . För mig är förklaringarna om deras användning tydliga, men jag undrar vad deras fysiska betydelse är. Kan någon snälla förklara med ett bra exempel utan för många matematiska komplikationer?
Kommentarer
- Förutom att det är en normaliseringsfaktor, många av dess viktiga funktioner för beräkningar uppstår från dess likhet med Z- och Laplace-transformationer, tack vare den exponentiella-med-energi-Boltzmann-fördelningen, vilket är typ av en " medindivid " genom att de inte skulle ' inte arbetade med en annan fördelning.
- Läste du " betyder " avsnitt i Wikipedia-artikeln ? Om ja, vad uppfyller inte ' dig om " det kodar för hur sannolikheten är uppdelad mellan de olika mikrostaterna " ?
- Möjlig duplikat av Den orimliga effektiviteten hos partitionsfunktionen
Svar
Delningsfunktionen är ett mått på systemets volym i fasutrymmet. I grund och botten berättar det hur många mikrostatus som är tillgängliga för ditt system i en viss ensemble. Detta kan enkelt ses från mikrokanonisk ensemble .
I mikrokanonisk ensemble, där varje mikrostat med energi mellan $ E $ och $ E + \ Delta E $ är lika troligt, delningsfunktionen är
$$ Z_ {mc} (N, V, E) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int_ {E < \ mathcal H (\ {p, q \}) < E + \ Delta E } d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {1} $$
där integralen bara är hypervolymen i regionen för fasutrymme där energin (Hamilton) $ \ mathcal Systemets H $ är mellan $ E $ och $ E + \ Delta E $, normaliserat med $ h ^ {3N} $ för att göra det dimensionellt. Faktorn $ N! ^ {- 1} $ tar hänsyn till det faktum att genom att byta ”etikett” på två partiklar ändras inte mikrostatus.
$$ S = k_B \ log (Z_ {mc}) \ tag {2} $$
säger att entropin är proportionell mot logaritmen för det totala antalet mikrostatus som motsvarar makrotillståndet i ditt system, och detta nummer är bara $ Z_ {mc} $.
I de kanoniska och storkanoniska ensemblerna förblir betydelsen av partitionsfunktionen samma sak, men eftersom energi inte längre är fixat kommer uttrycket att förändras.
Den kanoniska partitionsfunktionen är
$$ Z_c (N, V, T) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int e ^ {- \ beta \ mathcal H (\ {p, q \})} d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {3} $$
I det här fallet integrerar vi över hela fasutrymmet, men vi tilldelar varje punkt $ \ {p, q \} = (\ mathbf p_1, \ dots \ mathbf p_N, \ mathbf q_1, \ dots \ mathbf q_N) $ a vikt $ \ exp (- \ beta \ mathcal H) $, där $ \ beta = (k_B T) ^ {- 1} $, så att de stater med energi mycket högre än $ k_B T $ är mindre troliga. I detta fall ges kopplingen till termodynamik av
$$ – \ frac {F} {T} = k_B \ log (Z_c) \ tag {4} $$
där $ F $ är Helmholtz fri energi .
Den stora kanoniska partitionsfunktionen är
$$ Z_ { gc} (\ mu, V, T) = \ sum_ {N = 0} ^ \ infty e ^ {\ beta \ mu N} Z_c (N, V, T) \ tag {5} $$
där vi den här gången också summerar över alla möjliga värden för antalet partiklar $ N $ och väger varje term med $ \ exp (\ beta \ mu N) $, där $ \ mu $ är kemisk potential .
Förbindelsen med termodynamik ges av
$$ \ frac {PV} {T} = k_B \ log (Z_ {gc} \ tag {6}) $$
Svar
Det är $ e ^ {- F / T} $, där $ F / T $ är den fria energi som normaliseras av den relevanta termodynamiska energiskalan, temperaturen. Det exponentiella är bara en monoton reparameterisering, så moraliskt sett är delningsfunktionen bara den fria energi som finns tillgänglig för göra användbart arbete.
En annan tolkning: if du normaliserar det så att $ E = 0 $ är marktillståndet, då är det grovt sagt det ömsesidiga av ”fraktionen av systemet som är i marktillståndet.” Extremt heuristiskt, låt $ g $ vara den totala mängden av systemet som är i marktillståndet, $ e $ vara den totala mängden av systemet som är i ett avslutat tillstånd och $ s = g + e $ vara totala mängden av systemet. Sedan är $ g / s $ den bråkdel av systemet som är i marktillståndet, och dess ömsesidiga är $ s / g = (g + e) / g = 1 + e / g $. Boltzmann-vikten ger att relativ vikt (eller ”mängd”) för varje upphetsat tillstånd $ i $ med energi $ E_i $ i förhållande till vikten av marktillståndet är $ e ^ {- \ beta E_i} $.Sammanfattning av alla de upphetsade tillstånden $ i $, vi får partitionsfunktionen $ s / g = 1 + e ^ {- \ beta E_1} + e ^ {- \ beta E_2} + \ dots $.
Svar
Delningsfunktionens fysiska betydelse är följande: Det uttrycker antalet värmetillgängliga tillstånd som ett system tillhandahåller bärare (t.ex. elektroner).