Vad är en potential?

Elektrisk potential och elektrisk potentialenergi är två olika begrepp men de är nära besläktade med varandra. Tänk på en elektrisk laddning $ q_1 $ någon gång $ P $ nära laddning $ q_2 $ (antag att laddningarna har motsatta tecken).
Om vi nu släpper avgiften $ q_1 $ till $ P $, börjar den röra sig mot ladda $ q_2 $ och har därmed kinetisk energi. Energi kan inte visas med magi (det finns ingen gratis lunch), varifrån kommer den? Den kommer från den elektriska potentiella energin $ U $ associerad med den attraktiva ”konservativa” elektriska kraften mellan de två chagesna. För att ta hänsyn till den potentiella energin $ U $ definierar vi en elektrisk potential $ V_2 $ som ställs in vid punkten $ P $ genom avgift $ q_2 $.

Den elektriska potentialen existerar oavsett om $ q_1 $ ligger vid $ P $. Om vi väljer att ladda $ q_1 $ där beror den potentiella energin för de två laddningarna på att ladda $ q_1 $ och den befintliga elektriska potentialen $ V_2 $ så att:
$$ U = q_1V_2 $$
PS Du kan använda samma argument om du överväger chage $ q_2 $, i så fall är den potentiella energin densamma och ges av: $$ U = q_2V_1 $$

På språket för vektorkalkyl:

Ordet potential används vanligtvis för att beteckna en funktion som, när den differentieras på ett speciellt sätt, ger dig ett vektorfält. Dessa vektorfält som härrör från potentialer kallas konservativa . Med ett vektorfält $ \ vec F $ är följande villkor ekvivalenta:

1. $ \ nabla \ times \ vec F = 0 $
2. $ \ vec F = – \ nabla \ phi $
3. $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = 0 $ för alla slutna slingor $ C $ (Därav namnet ”konservativ”)

Funktionen $ \ phi $ som visas i $ (2) $ kallas potentialen för $ \ vec F. $ Så vilket irrotationsvektorfält som helst kan skrivas som lutningen av en potentiell funktion.

Speciellt i elektromagnetism säger Faradays lag att $ \ nabla \ times \ vec E = – \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} $. För magnetfält som inte varierar med tiden (elektrostatik) får vi att $ \ nabla \ times \ vec E = 0 $ och därmed $ \ vec E = – \ nabla V $ där $ V $ är potentialen för $ \ vec E $. Detta är exakt vad vi kallar den elektriska potentialen eller ”spänning” om du är en icke-fysiker. I elektrodynamikfallet där $ \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} \ neq 0 $ finns fortfarande en uppfattning om elektrisk potential eftersom vi kan bryta det elektriska fältet upp i summan av ett irrotationsfält och ett solenoidfält (detta kallas Helmholtz-satsen). Vi kan sedan använda Maxwells ekvationer för att få den $ \ vec E = – \ nabla V- \ frac {\ partial \ vec A} {\ partial t} $ där $ V $ är samma elektriska potential och $ \ vec A $ är ett vektorfält som vi kallar vektorpotentialen .

Gravitationsfallet är analogt. Om $ \ vec g $ är ett irrotationellt gravitationsfält (vilket alltid är fallet i Newtonsk gravitation) sedan $ \ vec g = – \ nabla \ phi $ där $ \ phi $ är gravitationspotentialen. Detta är nära relaterat till gravitationspotentialenergi genom att en massa $ m $ placeras i gravitationsfältet $ \ vec g $ kommer att ha potentialenergi $ U = m \ phi $.

Kommentarer

• +1 för det detaljerade svaret. Men villkor 1. och 3 Det är möjligt att ha ett vektorfält så att $ \ vec \ nabla \ times \ vec F = 0 $ och $ \ oint \ vec F \ cdot d \ vec l \ neq 0 $. Se för instans Varför är detta vektorfält krullfritt? .
• @Diracology Bra poäng. Vi måste kräva att $ \ vec F $ inte gör ot divergera i något område som begränsas av $ C $. Om vi antar att 1. är sant har vi i allmänhet den $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = \ int \ int_S \ nabla \ times \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec A = \ int \ int_S 0 \ cdot \ text {d} \ vec A = 0 $ där $ S $ är en viss yta med gränsen $ C $ och den första jämställdheten är av Stoke ' sats. Det är uppenbart att om $ \ vec F $ skiljer sig åt i $ S $ kommer vi att stöta på några problem med dessa likheter.