Vad är en vägintegral? [stängd]

Matematiskt är en vägintegral en generalisering av ett flerdimensionellt väsentlig. I vanliga $ N $ -dimensionella integraler integrerar man $$ \ int dx_1 dx_2 \ dots dx_N $$ över ett delområde av $ {\ mathbb R} ^ N $, en $ N $ -dimensionell integral. En vägintegral är en oändligt dimensionell integral $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$ över alla möjliga funktioner $ f (y) $ för en variabel $ y $, som kan vara ett reellt tal eller en vektor. Värdena för funktionerna $ f (0) $, $ f (0.1) $, $ f (0.2) $ etc. spelar samma roll som variablerna $ x_1 $, $ x_2 $ etc. i den vanliga flerdimensionella integralen .

Eftersom indexet $ i $ på $ x_i $ tog värden i den slutliga uppsättningen $ 1,2, \ prickar N $, och nu ersätts det med den kontinuerliga variabeln $ y $, är vägintegralen en oändlig dimensionell integral.

Stränga matematiker ser många problem som hindrar en från att definiera den oändliga dimensionella vägintegralen med hjälp av måttteorin. Men fysiker vet att liknande integraler kan hanteras. Det finns några ”ultravioletta avvikelser” etc. man upplever när man försöker beräkna dem men de kan hanteras. I huvudsak vill man använda alla naturliga regler som gäller för de ändliga dimensionella integralerna. Till exempel är (sökväg) integraler av en summa av två funktioner summan av två (sökväg) integraler och så vidare.

Två viktigaste tillämpningar av vägintegraler i fysik är i Feynmans strategi till kvantmekanik, särskilt kvantfältsteori, och statistisk mekanik.

I (klassisk) statistisk mekanik vill man beräkna partitionssumman $$ Z = \ sum_C \ exp (- \ beta E_c) $$ över alla konfigurationer $ c $ i det fysiska systemet. Men eftersom konfigurationerna ofta är märkta av hela funktioner $ f (y) $ – oändligt många värden vid alla tillåtna värden i argumentet $ y $ – summan är inte ”t verkligen en” belopp”. Det är inte ens en slutlig dimensionell integral. Det är en vägintegral.

I kvantmekanik beräknas de komplexa sannolikhetsamplituderna etc. som $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \ int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ dvs som sökintegralen över alla konfigurationer av variablerna $ \ phi (y) $ etc. Integrand är en fas – ett tal vars absoluta värde är ett – och fasvinkeln beror på den klassiska åtgärden som utvärderas från den möjliga historiken $ \ phi (y) $. De initiala och slutliga tillstånden $ i, f $ införlivas genom att integrera över de konfigurationerna under ”mellanliggande tider” som följer lämpliga gränsvillkor.

Nästan hela kvantfältsteorin kan uttryckas som en beräkning av vissa vägintegraler. Så i den meningen kan man lära sig ”allt” om en vägintegral motsvarar att lära sig nästan all kvantmekanik och kvantfältsteori, vilket kan kräva mellan en termin och tio år av intensiv studie, beroende på hur djupt du vill bli. Det kan säkert inte täckas i ett svar med tillåten storlek på den här servern.

Beräkningen av sökintegralerna med Gaussian dvs $ \ exp ({\ rm bilinear}) $ integrand, kanske med polynom prefaktorer i integrationsvariablerna är kanske det viktigaste eller ”enklaste” exemplet på en icke-triviell vägintegral som vi faktiskt behöver i fysiken.

I kvantmekanik representerar banintegralen den uttryckliga slutformeln för alla sannolikhetsamplitud. Amplituden för varje övergång från staten $ | i \ rangle $ till staten $ | f \ rangle $ kan uttryckas direkt som en vägintegral, och sannolikheten är det absoluta värdet för sannolikhetsamplituden i kvadrat. Allt som kvantmekanik gör det möjligt att beräkna kokar ner till dessa sannolikheter – så banintegralen representerar ”allt” i kvantmekanik. (Detta stycke publicerades ursprungligen som en kommentar till mig, och användaren som föreslog denna redigering hade en god anledning att göra det.)

Kommentarer

• +1, men jag skulle ' inte säga funktionernas värden, $ f (0), f (1) $ och så vidare spelar rollen som $ x_1, x_2 $ etc. Eftersom funktionaliteten kartlägger hela funktioner till siffror är den ' hela funktionen $ f $ som ersätter rollen som värdet $ x_1, x_2, $ etc.
• Jag förstår inte ', @JamalS, vilket är ett mycket diplomatiskt sätt att säga att jag tror att du inte ' inte förstår. 😉 Det finns bara en hel funktion $ f $ men det finns många variabler $ x_1, x_2 $. Funktionen bär ännu mer (oändligt gånger mer) information än flera nummer $ x_1, \ dots, x_N $. I din sista mening, vad är sammankopplingen mellan $ x_1, x_2 $? Om det ' s " eller ", så är det ' är fel eftersom man måste ange alla värden för alla $ x_i $ för att prata om integranden. Om det ' s " och " är OK, men då försöker du bara för att dölja det faktum att vägen in är flerdimensionell.
• Min invändning är endast mot den analogi du anger mellan det ändliga dimensionella fallet och banens integral. Så som du ' har skrivit det, säger du ' värdena för funktionen $ f $ vid olika punkter " spelar samma roll som variablerna $ x_1, x_2 $ etc. " Nu håller jag med om att ' s bara en funktion $ f $, och vi summerar över alla möjliga funktioner. Så min poäng är att det ' är de olika funktionerna som är analoga med att summera över olika värden i en skalär variabel, $ x $. Jag ser inte ' hur du ' har kunnat extrapolera. Jag tror att bara smidiga funktioner bidrar från min enda kommentar …
• Jag skrev bara att $ \ int D \ phi (y) $ kan definieras som kontinuumgränsen för den flerdimensionella integralen $ \ int \ dots d \ phi (-0.02) d \ phi (-0.01 ) d \ phi (0) d \ phi (0.01) d \ phi (0.02) \ dots $ för $ 0.01 $ skickas till noll. Jag tror inte ' att det kan finnas något kontroversiellt med detta påstående. Det ' är verkligen kärnan i svaret. Om du bara säger att " det är en integral över alla värden i en funktion överallt ", rör dig inte med en epsilon för att svara frågan från OP och förklarar vad en " integrerad över funktioner " egentligen är. En integral, i förväg-integral-betydelsen, är alltid ändlig-dim.
• Kära @TAbraham, den representerar den uttryckliga slutformeln för vilken sannolikhetsamplitud som helst. Amplituden för varje övergång från tillståndet " i " till tillståndet " f " kan uttryckas direkt som en vägintegral, och sannolikheten är det absoluta värdet för sannolikhetsamplituden i kvadrat. Allt som kvantmekanik tillåter att beräkna sammanfaller med dessa sannolikheter – så banintegralen representerar " allt " i kvantmekanik.