Jag försöker använda Keplers andra lag för att hitta varaktigheten för Venus omlopp. Jag antar cirkulära banor (använder jorden och Venus, så låg excentricitet). Här är min process:
Om vi antar att radien på jordens omlopp är 150 miljoner km, är det svepade området på en dag $ \ frac {1} {365.25} \ times \ pi \ times 150 ^ 2 \ ungefär 194 \ text {miljoner km} ^ 2 $ .
Venus måste svepa samma område samtidigt. Antar en omlopp en radie på 108 miljoner km för Venus och med $ A = \ frac {\ theta} {360} \ pi r ^ 2 $ kan vi hitta den centrala vinkeln för den svepte sektorn, det vill säga den vinkel som reste en jorddag:
$ 194 = \ frac {\ theta} {360} \ pi \ times108 ^ 2 \ innebär \ theta = 1,90 ^ {\ circ} $ per jorddag.
Därför bör omloppsperioden vara $ \ frac {360} {1.90 } \ ca 189 $ Jorddagar.
Naturligtvis är Venus omloppsperiod 224,7 $ $ Jorddagar. Skillnaden mellan 189 och 224.7 verkar vara långt bortom det fel som infördes av mitt antagande av cirkulära banor. p>
Vad gör jag fel?
Jag vet att detta kanske är ett kretsligt sätt att göra denna beräkning. Mitt mål är att skriva en matematikövning som använder området sektorer på ett meningsfullt sätt.
Kommentarer
Svar
Keplers lagar konstaterar att en planet sveper lika stora områden på lika tid när den rör sig i sin elliptiska omlopp. Den säger inte att olika planeter kommer att svepa över samma område.
Lagen om ”lika områden” kan härledas från ”bevarande av vinkelmoment”. Faktum är att dA / dt = L / (2m) (där A är området, L är vinkelmomentet och m är (reducerad) massa).
Olika planeter kommer att svepa ut olika områden. För att beräkna perioden använde du Keplers tredje lag: $ T ^ 2 = ka ^ 3 $ (T = omloppsperiod, a = halvhuvudaxel). , för enkelhets skull tar du a i AU och T under Earth Years, sedan den konstanta $ k = 1 $ .
För Venus, a = 0,72 . så $ T = \ sqrt {0.72 ^ 3} = 0.61 $ eller ungefär 223 dagar.
Hyperfysik har ett avsnitt om Keplers lagar
+1för att visa allt arbete och ställa en mycket tydlig fråga!