Låt mig först påminna dig om (eller kanske presentera dig för) ett par aspekter av kvantmekanik i allmänhet som en modell f eller fysiska system. Det förefaller mig som om många av dina frågor kan besvaras med en bättre förståelse för dessa allmänna aspekter följt av en överklagande av hur snurrsystem framstår som ett specialfall.

Allmänna kommentarer om kvanttillstånd och mätning.

Tillståndet för ett kvantsystem är modellerat som ett enhetslängdelement $ | \ psi \ rangle $ av ett komplext Hilbert-utrymme $ \ mathcal H $, en speciell typ av vektorutrymme med en inre produkt. Varje observerbar kvantitet (som momentum eller centrifugering) associerad med ett sådant system vars värde man kanske vill mäta representeras av en självanslutande operatör $ O $ på det utrymmet. Om man bygger en enhet för att mäta en sådan observerbar, och om man använder den enheten för att göra en mätning av den som kan observeras i systemet, kommer maskinen att mata ut en egenvärde $ \ lambda $ för den observerbara. Om systemet dessutom är i ett tillstånd $ | \ psi \ rangle $, är sannolikheten att resultatet av att mäta den kvantiteten blir det egna värdet för det observerbara är \ begin {align} p (\ lambda) = | \ langle \ lambda | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align} där $ | \ lambda \ rangle $ är den normaliserade egenvektorn som motsvarar egenvärdet $ \ lambda $.

Specialisering för centrifugeringssystem.

Antag nu att systemet vi överväger består av en partikels snurrning. Hilbert-utrymmet som modellerar spin-tillståndet för ett system med spin $ s $ är ett $ 2s + 1 $ dimensionellt Hilbert-utrymme. Element i detta vektorutrymme kallas ofta ”spinorer”, men låt inte detta distrahera dig, de är precis som alla andra vektorer i ett Hilbert-utrymme vars uppgift det är att modellera systemets kvanttillstånd.

De primära observationerna vars mätning man vanligtvis diskuterar för centrifugeringssystem är de kartesiska komponenterna i systemets spin. man kan få om man mäter någon av dessa komponenter i systemets snurrning. Spektrumet (uppsättningen egenvärden) för var och en av dessa operatörer är detsamma.För ett system med spin $ s $ består vart och ett av deras spektra av följande värden: \ begin {align} \ sigma (S_i) = \ {m_i \ hbar \, | \, m_i = -s, -s + 1, \ dots, s-1, s \} \ end {align} där i min notation $ i = x, y, z $. Så om du till exempel bygger en maskin för att mäta $ z $ -komponenten i snurret i ett snurr- $ 1 $ -system, kommer maskinen att ge ett av värdena i uppsättningen $ \ {- \ hbar, 0, \ hbar \} $ varje gång. Motsvarande var och en av dessa egenvärden har varje centrifugeringskomponentoperator en normaliserad egenvektor $ | S_i, m_i \ rangle $. Som anges av de allmänna anmärkningarna ovan, om systemets tillstånd är $ | \ psi \ rangle $, och man vill veta sannolikheten för att mätningen av snurrkomponenten $ S_i $ ger ett visst värde $ m_i \ hbar $ , sedan beräknar man helt enkelt \ begin {align} | \ langle S_i, m_i | \ psi \ rangle | ^ 2. \ end {align} Till exempel, om systemet har snurrat- $ 1 $, och om man vill veta sannolikheten för att en mätning av $ S_y $ ger egenvärdet $ – \ hbar $, beräknar man \ börjar {align} | \ langle S_y, -1 | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align}

Spinors.

I ovanstående sammanhang är spinorer helt enkelt matrisrepresentationer för tillstånd i ett visst centrifugeringssystem på en viss ordnad basis, och Pauli-rotationsmatriserna är, upp till en normalisering, matrisrepresentationerna av spin-komponentoperatörerna på den grunden specifikt för ett system med spin- $ 1/2 $. Matrisrepresentationer underlättar ofta beräkning och konceptuell förståelse, varför vi använder dem.

Mer uttryckligen antar att man betraktar ett spin- $ 1/2 $ -system, och man väljer att representera stater och observerbara i basen $ B = (| S_z, -1/2 \ rangle, | S_z, 1/2 \ rangle) $ bestående av de normaliserade egenvektorerna för $ z $ -komponenten i spin, då skulle man hitta följande matrisrepresentationer i den grunden \ börjar {align} [S_x] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_x \\ [S_y] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_y \\ [S_z] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_z \\ \ end {align} Lägg märke till att dessa representationer är just Pauli-matriserna upp till den extra $ \ hbar / 2 $ -faktorn. Dessutom skulle varje tillstånd i systemet representeras av en $ 2 \ gånger 1 $ matris, eller ”spinor” \ begin {align} [| \ psi \ rangle] _B = \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix }. \ end {align} Och man kan använda dessa representationer för att utföra beräkningarna som nämns ovan.

Kommentarer

• Tack så mycket; detta hjälpte mig att förstå mycket. Är det bara konventionen att de egna staterna som returnerar negativa egenvärden är snurr ’ ner ’ och positiv snurr ’ upp ’? För att kontrollera min förståelse har jag ’ försökt beräkna exemplet jag använde ovan: stämmer det att en spin-1-partikel uppmätt till att vara uppe i x-dimensionen (egenvärde hbar) kommer att vara i normaliserat tillstånd < 1/2, sqrt (2) / 2, 1/2 > och sannolikheten för az-dimension Mätning som återvänder upp blir då 1/4, återvänder centrifugering noll 1/2 och nedåt 1/4?
• +1 Jag gillar särskilt dina ” maskiner ” i första stycket – mycket Feynmanian i smak. Jag kämpade i många år för att ” förstå ” QM: matematik och Lie-teorin var vana vid mig men det tog lång tid för mig att förstå att ” operatorer ” inte bara operatörer utan också kom med ett speciellt recept för hur man tolkar dem som modeller för ” mätmaskiner ”. Tyvärr kan jag ’ inte komma ihåg om det var Feynman-föreläsningarna eller Sakurai som fick meddelandet igenom, eller om det verkligen var en blandning av de två i mina tankar i duschen eller medan gå, men det här är vad jag rekommenderar människor nu.

Grupper är abstrakta matematiska strukturer, definierade genom deras topologi (i fall av kontinuerliga (Lie) -grupper) och multiplikationsoperationen.

Men det är nästan omöjligt att prata om abstrakta grupper. Det är därför som vanligtvis element i grupper kartläggs på linjära operatorer som verkar på något vektorutrymme $ V $:

$$ g \ i G \ rightarrow \ rho (g) \ in \ text {End} (V ), $$

där G är gruppen, $ \ text {End} (V) $ står för endomorfismer (linjära operatorer) på $ V $ och $ \ rho (g) $ är kartläggningen .För att denna kartläggning ska vara meningsfull måste vi kartlägga gruppmultiplikationen ordentligt:

$$ \ rho (g_1 \ circ g_2) = \ rho (g1) \ cdot \ rho (g2). $$

Det inversa mappas också till

$$ \ rho (g ^ {- 1}) = \ rho (g) ^ {- 1} $$

och gruppidentiteten är bara

$$ \ rho (e) = \ text {Id} _V. $$

Detta kallas representationen för gruppen $ G $. $ V $ transformeras under representationen $ \ rho $ för gruppen $ G $.

I ditt fall är intressegruppen gruppen rotationer i 3 dimensioner som vanligtvis betecknas som SO (3). Vårt mål är att hitta olika objekt som kan roteras, dvs. representationer (och representationsrymden) för SO (3).

En sådan representation är den definierande representationen (som används för att definiera SO (3)) eller vektorrepresentationen. I detta fall är $ V $ bara $ R ^ 3 $ och matriser från $ \ rho (\ text {SO (3)}) $ är ortogonala $ 3 \ gånger 3 $ matriser med enhetsdeterminant:

$ $ A ^ {T} A = 1; \ quad \ det A = 1 $$

Så vektorer kan roteras i tre dimensioner. Resultatet av en sådan rotation med $ g \ i \ text {SO (3)} $ bestäms genom att agera på den ursprungliga vektorn med operatören $ \ rho (g) $.

En annan representation är spinorn representation. Vektorutrymmet är nu 2-dimensionellt och komplext . Bilden av denna representation består av enhet $ 2 \ gånger 2 $ med enhetsdeterminant:

$$ A ^ {\ dolk} A = 1; \ quad \ det A = 1. $$

Denna framställning är inte lika uppenbar som den föregående, eftersom spinorer är något som vi vanligtvis inte ser i vardagen. Men det kan matematiskt bevisas att dessa representationer är isomorfa och därför är två olika representationer av samma grupp (faktiskt är de homomorfa och spinorrepresentation är det dubbla omslaget för vektorrepresentationen).

Nu till Pauli-matriserna. Det finns en allmän princip: för varje Lie-grupp $ G $ finns en motsvarande linjär utrymme (Lie algebra) med en Lie-konsol (en antikommutativ operation som tillfredsställer Jacobi-identiteten) som unikt kartläggs på något område i gruppenheten $ G $. Denna kartläggning kallas exponentiellt.

Så du kan skriva ett godtyckligt (tillräckligt nära enhet för att globala topologiska problem ska undvikas) $ 2 \ gånger 2 $ komplex matris fr om spinorrepresentationen i form

$$ A = \ exp \ left [\ frac {i} {2} \ alpha ^ a \ sigma_a \ right], $$

där $ \ alpha ^ a $ är tre siffror som parametrar gruppelementet vars representation är $ A $, och $ \ frac {i} {2} \ sigma_a $ är Lie algebra-basen, med $ \ sigma_a $ – 3 $ 2 \ gånger 2 $ Pauli-matriser. Denna ekvation specificerar ganska mycket hur en spinor transformeras under en godtycklig rotation.

I vektorrepresentationen finns det också en Lie algebra-bas, som består av 3 $ 3 \ gånger 3 $ matriser.

Det finns två andra tolkningar av Pauli-matriserna som du kanske tycker är användbara, men först när du förstår JoshPhysics utmärkta fysiska beskrivning . Följande kan tas mer som ” funky trivia ” (at minst tycker jag dem är intressanta) om Pauli-matriserna snarare än en fysisk tolkning.

1. Som grund för $ \ mathfrak {su} (2) $

Den första tolkningen ses på olika sätt som (i) de är enhet kvaternioner, modulo en teckenändring och omordning av matematikerns definition av dessa odjur , (ii) som grund för Lie-algebra $ \ mathfrak {su} (2) $ av $ SU (2) $ när vi använder matrisen exponentiell för att återställa gruppen $ SU (2) = \ exp (\ mathfrak {su} (2)) $ genom (iii) en tredimensionell generalisering av De Moivre sats .

En allmän, spårlös, $ 2 \ times2 $ skev Hermitisk matris $ H $ kan sönderdelas unikt som:

$$ H = \ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z \ tag {1} $$

med $ \ alpha_x, \, \ alpha_y, \, \ alpha_z \ i \ mathbb { R} $ . Denna matris uppfyller den karakteristiska ekvationen $ H ^ 2 = – \ frac {\ theta ^ 2} {4} \, \ mathrm {id} $ , där $ \ mathrm {id} $ är $ 2 \ times2 $ identitet och $ \ frac {\ theta} {2} = \ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2} $ .Så om vi distribuerar den universellt konvergerande matrix-exponentiella Taylor-serien och sedan minskar alla krafter för $ H $ högre än linjär term med den karakteristiska ekvationen, får vi: / p>

$$ \ exp \ left (H \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ mathrm {id} + \ hat {H} \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ tag {2} $$

som ses som en generalisering av De Moivres formel för ” ren imaginär ” enhet

$$ \ hat {H} = \ frac {\ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z} {\ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2}} \ tag {3 } $$

och alla medlemmar i $ SU (2) $ kan realiseras av en exponentiell som i (2) (men tänk på att exponentialen för en Lie-algebra, även om hela $ SU (2) $ i detta fall inte alltid är hela Lie-gruppen om inte lat ter är (i) ansluten och (ii) kompakt). Således kan varje medlem i $ SU (2) $ sönderdelas som en ” överlagring av Pauli-matriserna och identitetsmatris.

Anledningen till faktorn 2 i definitionen $ \ theta / 2 $ är hittills mystisk: bevittna att i syfte att ovan kan vi lika gärna ha ersatt $ \ theta / 2 $ med $ \ theta $ . Anledningen är relaterad till förhållandet mellan Pauli-matriserna och himmelsfären, som jag diskuterar senare. Kvaternioner representerar rotationer genom en spinorkarta ( MEN , som Joshphysics rekommenderar, får du inte distraheras för mycket av detta ord); om en vektor i 3-mellanslag representeras av en rent imaginär kvaternion av formen $ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ , sedan dess bild under en rotation av vinkel $ \ theta $ kring en axel med riktning cosinus $ \ gamma_x, \, \ gamma_y, \, \ gamma_z $ ges av:

$$ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z \ mapsto U \, (x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z) \, U ^ \ dolk; \ quad U = \ exp \ left (\ frac {\ theta} {2} (\ gamma_x \, \ sigma_x + \ gamma_y \, \ sigma_y + \ gamma_z \, \ sigma_z) \ höger) \ tag {4} $$

Denna spinnkarta är ett exempel på gruppen $ SU (2) $ agerar på egen hand Lie algebra genom den angränsande representationen. Det kan förstås intuitivt i termer av en triangelregel för att räkna ut kompositionerna av två rotationer, som skisserat i mitt diagram nedan. Bågarna på enhetens sfär representerar en rotation genom en vinkel som är två gånger den som ges av vinkeln som böjs i bågen vid ursprunget. >

Jag förklarar detta i detalj i Exempel 1.4 ” $ 2 \ times2 $ Enhetsgrupp $ SU (2) $ ” på min webbsida ” Några exempel på anslutna lögngrupper ” här .

Det finns också min interaktiva Mathematica-demonstration ” $ SU (2) $ Spinor Map: Rotation Composition by Graphical Quaternion Triangles ” på Wolfram-demonstrationssidan .

2. The Celestial Sphere

Genom att utvidga det 3-dimensionella linjära utrymmet för superpositioner av Pauli-matriser (vilket är detsamma som det linjära utrymmet för spårlöst $ 2 \ times2 $ skev-hermitiska matriser) till det fyrdimensionella utrymmet som sträcker sig över Pauli-matriserna och identitetsmatriserna, sedan all transformation från gruppen $ SL (2, \ , \ mathbb {C}) $ verkar på vektorer i formen $ t \, \ mathrm {id} + x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ med samma spinorkarta som i (4). Om vi begränsar oss till projektiva strålar i detta utrymme, är gruppen $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ isomorf till Moebius-gruppen Möbius-transformationer verkar på detta strålrum på exakt samma sätt som Möbius-transformationer (fraktionerad linjär) verkar på Riemann-sfären. $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ är ett dubbelt omslag för Lorentz-gruppen, och du kan beräkna hur vyn på en rymddelare ändras när de genomgår Lorentz-omvandlingar. Se avsnittet ” Lorentz Transformations ” på Wikipedia ” Möbius Transformation ” sida för mer information.

En allmän mekanisk förklaring. Fält och vågor följer hyperboliska ekvationer (vågekvationer). Dessa representerar framsteg i rum och tid, och som sådan kan de inte representera massa som måste vara stillastående, men som också kan snurra. Sådan rörelse behöver en elliptisk ekvation. Som ett exempel är Kline-Gordon-ekvationen hyperbol, medan Dirac-ekvationen är I en strömmande vätska finns ett parallellt exempel. Virvlar och turbulens kan inte bildas utan hjälp av en gräns – för att avböja flödet från att gå vidare till det cirkulerande tillståndet. Den första regionen är hyperbolisk och den andra är elliptisk.

Nu för att skapa en partikel (spinnande energi) från ett fält (rör sig i position) måste vi avböja / rotera fältets riktning. Det här där Pauli-matriserna kommer för att få hjälp och ger den erforderliga ellipticiteten. Det är därför imaginära tal / rotation används. Multiplicera en kvantitet med i roterar den med 90 grader, för en allmän vinkel använder vi det exponentiella av en imaginär kvantitet.

Senare när vi blandar lagrangianerna av vågor och partiklar i en mer allmän modell, återgår vi att använda Higgs för att göra samma jobb med att omvandla från en typ av energi till den andra – det är från fält till partiklar och visa-versa.