Vad menar vi med termen “ Antal saker ”?

Boken är mycket gammal: 2: a upplagan 1903; 1: a upplagan 1890.

Som du kan se från fotnot sidan 131 nämns Cantor och Dedekind som ”intressanta bidrag till litteraturen om ämnet” …

Således kan du inte förvänta dig att de begrepp som introducerades i början utan definition, som användes som primitiva för att ”belysa” följande behandling, kan översättas exakt till moderna (dvs. post-1930) set-teoretiska uppfattningar.

Jag tror att:

grupp måste betyda en ändlig samling av objekt (saker)

och att:

antal saker i en grupp är ”tydligt” (från diskussionen) motsvarande modern kardinalitet (begränsad till slutliga samlingar) och det kallas en ”egenskap” av samlingen (grupp).

Min tolkning är att saker är ”individuella”, konkreta eller abstrakta (om sådana finns). Naturligtvis är det lätt att tänka på dem som konkreta föremål, som småstenar i en ficka eller soldat i en peloton.

En peloton är en grupp av soldater och antal saker i pelotonen är antalet individuella soldater som bildar den.

Denna tolkning är meningsfull även när det gäller den efterföljande definitionen av addition (se CoolHandLouis ”s svar).

Observera att här grupp har den” generiska ”betydelsen av insamling eller sammanställning; det har ingenting att göra med den tekniska termen” grupp ”på gruppteori .

När vi ”abstraherar” från ”karaktärerna” för de enskilda sakerna (dvs bildar deras individuella egenskaper, som färg, storlek, form för en kulan av kulor) och från ordningen på objekten i samlingen (det är detsamma för det ”moderna” set konceptet: {A, B, C} är ”samma” uppsättning som {C, B, A} ) vad vi får är ”numret” på sakerna i gruppen (antalet medlemmar i samlingen).

Remembe r att Cantors ursprungliga beteckning för att representera Kardinalnummer för uppsättning A var en ”dubbel överligg” över A:

symbolen för en uppsättning kommenterad med en enda överstång över A indikerad A avskalad från vilken struktur som helst förutom ordning, därför representerade den uppsättningens ordertyp . En dubbel överstång över A indikerade sedan att man tog bort ordningen från uppsättningen och indikerade därmed uppsättningens huvudnummer.

Kommentarer

• Vad menar vi med termen Antal saker i allmänhet engelska?
• @Anupam – förlåt, men jag ’ jag är inte infödda engelsktalande. Jag ’ har sökt på Cambridge Dictionary online : det finns ingen direkt omformulering: den mest liknande lokaliseringen I ’ har hittats är ” flera av en viss typ av sak: Jag bestämde mig för att inte gå, av ett antal skäl. ” Vi måste använda fin ’ s lokalisering som en primitiv ” teknisk term ”.
• Jag tror att ” grupp ” inte är ” ställa in ” i vår moderna matematik. En uppsättning är en samling av abstrakta objekt å andra sidan ” grupp ” är en samling av saker (som inte är abstrakta). Uppsättningsteorin har inget att göra med min fråga.
• Jag har inte ’ jag har inte läst det här arbetet, men som någon med mer matematisk bakgrund betyder meningen ” -gruppen måste betyda en begränsad samling objekt (saker) ” får mig att krypa.
• @JamesKingsbery – men ” grupp ” här är inte avsedd som i gruppteori ; innebörden är ” colelction ” eller ” aggregat ” av enskilda objekt.

Förord

Jag gav två svar på denna fråga:

• Det andra svaret är det bättre svaret och är mitt primära svar. Det antyder att Mr. Fine hänvisar till naiv uppsättningsteori.

• Jag gav detta svar eftersom OP insisterade att tänka på {A, A, A} som innehåller ”tre distinkta element ”och bokförde en rikedom. Det fanns absolut ingen övertygande OP annars, så varför inte bara komma överens och få bounty? 🙂

  De två svaren kompletterar varandra faktiskt eftersom de visar hur man kan beskriva samma matematiska fenomen genom att ändra axiom, definitioner och regler på olika platser. Du säger TOE MAY TOE Jag säger TOE MAH TOE. Som det visar sig, detta svar innehåller ett sött” matematiskt bevis ”på att Mr. Fine-tanke {A, A, A} representerar tre distinkta element”. Men var snäll och läs en tung-i-kind-attityd i detta svara.

Anupam,

Du har rätt Mr. Fine anser att {A, A, A} = 3.

Jag skickar in ett annat svar eftersom jag tänkte på det här men ville lämna mitt gamla svar för historiens skull. Du har rätt! Henry Burchard Fine menade tre konkreta saker så {A, A, A} räknas som tre. Hans uttalande kan inte vara ett misstag eftersom det är hans primära förutsättning för att underbygga hela hans numeriska aritmetik – grunden för hela hans bok – med början med tillägg:

Tillägg: Om två eller flera grupper av saker samlas för att bilda en enskild grupp kallas gruppens siffersymbol summan av numren för de separata grupperna.

Om summan är s och siffrorna för de separata grupperna abc etc resp. förhållandet mellan dem uttrycks symboliskt av ekvationen s = a + b + c + etc där summeringsgruppen ska bildas genom att förena den andra gruppen till vilken b tillhör först den tredje gruppen till vilken c tillhör den resulterande gruppen och så vidare

Funktionen för att hitta s när abc etc är känd är addition. Tillägg är förkortad räkning.

6 Tillägg Om två eller flera grupper saker samlas för att bilda en enda grupp siffersymbolen för denna grupp kallas summan av numren för de separata grupperna. Om summan är s och siffrorna för de separata grupperna abc etc är förhållandet mellan dem symboliskt uttryckt med ekvationen sab c + etc där sumgruppen ska bildas genom att gå med i den andra gruppen till vilken b tillhör den första den tredje gruppen till vilken c tillhör den resulterande gruppen och så vidare Funktionen att hitta s när abc etc är kända är tillägg Tillägg är förkortat räknar

• Med tanke på a, b, c är ”grupper / uppsättningar”,

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  Låt d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Sum (d) = Sum (a) + Sum (b) + Sum (c)

• Definiera nu grupperna / uppsättningarna enligt följande:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Summa (d ) = Sum (a) + Sum (b) + Sum (c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• Mr. Fine ”s” fackföreningsoperatör ”måste därför skapa d = {A, A, A} och summa ({A, A, A}) = 3.

• Om Mr. Fine ”s” fackföreningsoperatör ”var normal inställningsnotation, så var d = {A} och det finns inget sätt att få” 3 ”från det.

Därför anser Mr. Fine {A, A, A} = 3.

Detta är fallet när A representerar distinkta betongföremål, som 3 mynt i en ficka.

Kommentarer

• Jag tycker inte ’ att detta är den rätta slutsatsen. Jag tror att Fine bara antar att när ” för samman grupperna ” för summeringsändamål, så är ” grupper ” är oskiljaktiga.
• Antar du bokstaven $ A $ som ” abstrakt objekt ” eller ” konkreta objekt ”. Om $ A $ antas som ett ” abstrakt objekt ” så har $ a $, $ b $ och $ c $ alla $ 1 , 1,1 $ antal saker i dem men $ d $ har inte $ 3 $ antal saker eftersom termen Antal saker definieras för endast ” grupper ” som har distinkta saker. Om du antar $ ” A ” $ som ett ” konkret objekt ” då är allt bra.
• +1 Till din kommentar ovan Anupam!Anupam, det är nog den bästa frågan du ’ har ställt i kommentarer! Bravo och +1 till den frågan! Hela mitt svar beror på vad jag menade! Så det betyder att du inte kan vara säker på om detta är korrekt eller inte om jag inte säger om jag menade ” abstrakt ” eller ” betong ”. Utmärkt! Jag älskar det! Jag tror att det här är parallellt med den ursprungliga frågan om avsikten med vad Mr. Fine menade.
• ” A ” är ett konkret objekt.

Arbetet som först kommer att tänka på är Edmund Husserls Philithy of Arithmetic . Han behandlar i detalj den uppenbara svårigheten med tal: att att räkna de räknade sakerna måste vara olika (så det kan finnas fler än en) och samma (du räknar vissa saker). När jag säger ”tre äpplen” är de alla samma i en mening (de är ”äpplen) och de är alla olika i en annan (det finns tre av dem, utmärkta av deras rumsliga förhållande om inget annat)

Det finns samtidig ”mångfald” och ”enhet”. Detta leder till frågan ”samma på vilket sätt och annorlunda på vilket sätt”.

Det jag minns mest från den här boken är diskussion om skillnad och särskiljande. Det är något som är värt att prata om. Det finns två termer som kan kontrasteras, ”olika”, ”urskiljas”.

• För att skilja mellan två saker måste vi göra en dom
• Olika är ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor för att saker ska särskiljas

I matematiken skiljer man allt som är annorlunda ut och man betraktar en helhet av olika saker. Detta undviker den knepiga delen: mänsklig bedömning.

Denna bedömning är ofta lätt för oss. Det är uppenbart att vi uppfattar många saker som distinkta och att världen ”kristalliserar” till objekt. Även om denna uppfattning inte alltid är allt som behövs för att skilja mellan saker, i de flesta dagliga situationer är det tillräckligt. Det är bara i kantfall där vi behöver gå utöver vårt utseende av föremål som är åtskilda i rymden och använda något annat sätt att bedöma.

Förmågan att skilja mellan saker är huvudämnet för det vetenskapliga området för psykofysik, som verkligen kom igång runt 1890-talet och fortsätter till denna dag. Det har funnits många filosofiska skrifter om den här mänskliga förmågan, faktiskt anser jag att det är huvudfilosofin (andra kanske inte håller med).

För att svara på din fråga direkt: matematik utesluter mänsklig bedömning, så när vi konstruerar ett formellt system måste vi börja efter att dom har fattats – vi gör det genom att anta att dess objekt alla kan särskiljas från varandra. Om objekt i matematik inte kan särskiljas anses de vara desamma. Detta gäller inte riktiga saker, som kan vara olika men inte urskiljas.

Anmärkning: Detaljerna om hur aritmetik blir abstraherad från mänskliga bedömningar behandlas i resten av Husserls bok. Jag är inte riktigt kapabel att formulera det här. Jag tror att det kan finnas några problem med det mot bakgrund av ny vetenskaplig forskning ”mångfald” . Jag är inte säker än.

Kommentarer

• Problemet med ” En-för-många ” går tillbaka till Platon; se Tredje mans argument men det ger oss lite insikt om vad siffror är och hur de stöder ” mänsklig process ” för att räkna. Matematik kan ange siffror som primitiva eller försöka ” förklara ” genom set-teori, med begreppen av korrespondens (huvudnummer) och ordning (ordningstal). Men problemet är fortfarande: vad är siffror och varför kan vi ” tillämpa dem ” på den externa verkligheten?
• @MauroALLEGRANZA Yup, det ’ är gammalt, det ’ är huvudfrågan;) Resten av Husserl ’ bok handlar om förhållandet mellan abstrakt aritmetik och världen, varför jag ’ nämner det snarare än något annat. Jag ’ t detaljerade det eftersom det är 1) ganska tekniskt (huvudskäl) 2) möjligen fel och 3) inte behövde förklara ” Varför Mr. Fine har begränsat den här termen endast för de grupper som har alla distinkta element. ”
• I ’ jag säger inte att Husserl hade fel … Min personliga förståelse är att Fine (1890!) försökte ” belysa ” begreppet antal och undviker ” platonist ” smak, undviker all hänvisning till ” abstrakt ” objekt. Jag ’ är inte övertygad om att Platon hade rätt … men jag ’ är övertygad om att hittills nej ljudargument för ” förklaring av ” vilka siffror har hittats som undviker alla referenser till ” abstrakt ” objekt eller begrepp.
• @MauroALLEGRANZA Jag ’ tänkte inte säga att du var det. Husserl är ganska kritisk mot tanken att siffror ska begränsas till fysiska föremål (specifikt Mill), han säger ” Enbart anspelningen på psykiska handlingar eller tillstånd, som säkert kan räknas lika bra som fysiskt innehåll, motbevisar [detta] ”. Om man kan räkna abstrakta objekt skulle en teori som utelämnar referensabstrakta objekt vara ofullständig. Men kanske jag ’ förstår dig inte riktigt.
• Återigen håller jag med dig; Jag ” älskar ” G.Frege, Die Grundlagen der Arithmetik (” Grunden för aritmetik: En logisk-matematisk undersökning av begreppet nummer ”), Breslau, 1884 där han ” rivda ” Mill ’ s empiristiska teori om tal. Det fanns kopplingar (och kontakter) mellan H och F; se av Claire Ortiz Hill, Husserl eller Frege? Betydelse, objektivitet och matematik .

Förord

Jag gav två svar på den här frågan:

• Detta svar är det bättre svaret och det antyder att Mr. Fine hänvisar till naiv uppsättningsteori. Det finns inget stort försök till stramhet här, och Mr. Fine hoppar helt enkelt fram till sitt intressanta ämne. Detta svar är mitt primära svar.

• Jag gav ett annat svar i samma tråd eftersom OP insisterade att tänka på {A, A, A} som innehåller ”tre distinkta element” och bokförde en rikedom. Det fanns absolut ingen övertygande OP annars, så varför inte bara komma överens och få bounty? 🙂

  De två svaren kompletterar varandra faktiskt eftersom de visar hur man kan beskriva samma matematiska fenomen genom att ändra axiom, definitioner och regler på olika platser. Du säger TOE MAY TOE Jag säger TOE MAH TOE. Som det visar sig, det andra svaret innehåller ett sött ”matematiskt bevis” som Herr fin tanke {A, A, A} representerar tre distinkta element. Det kan vara intressant att se hur jag försvarade ett sådant förslag.

1. Boken hänvisar till naiv uppsättningsteori

Följande Google Böcker-länk är lättare att referera till: Nummersystemet för algebra: Behandlas teoretiskt och historiskt ” (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, Publicerad 1907). Följande är utdraget i fråga från denna bok från 1907:

I. DET POSITIVA INTEGERET OCH LAGARNA SOM REGLERAR TILLFÖLJNING OCH MULTIPLIKATION AV POSITIVA INTEGER

1 nummer. Vi säger om vissa olika saker att de bildar en grupp (med grupp menar vi ändlig grupp som är en som inte kan föras in i en till en korrespondens 2 med någon del av sig själv) när vi kollektivt gör dem till ett enda objekt för vår uppmärksamhet.

Antalet saker i en grupp är den egenskapen hos gruppen som förblir oförändrad under varje förändring i gruppen som gör förstör inte separatenes s av sakerna från varandra eller deras gemensamma separering från alla andra saker.

Sådana förändringar kan vara förändringar i sakernas egenskaper eller i deras arrangemang inom gruppen. Återigen kan förändringar av arrangemang vara förändringar antingen i sakernas ordning eller på sättet de förknippas med varandra i mindre grupper.

Vi kan därför säga: Antalet saker i varje grupp av distinkta saker är oberoende av karaktärerna i dessa saker i den ordning de kan ordnas i gruppen och av det sätt på vilket de kan associeras med varandra i mindre grupper.

2 Numerisk jämlikhet. Antalet saker i två grupper av distinkta saker är detsamma när det för varje sak i den första gruppen finns en i den andra och ömsesidigt för varje sak i den andra gruppen en i den första. Således är antalet bokstäver i de två grupperna A, B, C; D, E, F, är samma … [Mr. Fine fortsätter att prata om 1-till-1-korrespondens – CoolHandLouis] …

Det är tydligt för alla som tar en ”Set Theory 101” -klass på början att denna bok beskriver grunden för uppsättningsteori. Vi kan med säkerhet säga att Mr. Fine: s hänvisningar till en ”grupp” är exakt och exakt vad som nu kallas en ”uppsättning” och till ”element” när han beskrev ”distinkta saker”. hela inlägget hänvisar faktiskt till det som kallas ”Naive Set Theory”, men det är obetydligt för denna fråga / svar.)

Med tanke på att Mr. Fine hänvisar till Set Theory, och hans bok skrevs 1907 , mitt första förslag är att du glömmer Mr. Fine helt och google för några bra referenser för nybörjaruppsättningsteori och titta också på några av de korta videorna om samma ämne.

Mr. Fine fotnot” Med grupp menar vi ändlig grupp som är en som inte kan föras in i en till en korrespondens med någon del av sig själv ”är mycket starka bevis han talar om (naiv) uppsättningsteori. Han undviker uppenbarligen oändliga uppsättningar, och baserat på historien om uppsättningsteori, att kan ha varit för pol itiska skäl. Det finns ingen anledning för honom att vara omtvistad vid den tidpunkten i sin karriär, och all anledning att spela det säkert, särskilt med den här boken.

Men det är ett metasvar. Här är ett riktigt svar:

2. Svar på fråga – Intro

Låt oss först standardisera resten av detta inläggsspråk till 2000-talet: En uppsättning är en samling av distinkta element. Så låt oss inte tala om ”saker” eller ”grupper” längre. Och det spelar ingen roll om de är konkreta eller abstrakta, verkliga eller föreställda.

Att ändra namnen på dessa termer gör inte i på något sätt ändra något av de problem du stöter på. De nya orden hänvisar till exakt samma sak som Mr Fine sa. Det handlar allt om definition, och jag kommer att definiera allt när vi går för att visa dig skillnaden som orsakar förvirring.

3. Hur du tittar på ”Distinct” och ”Counting”

Först på ett sätt har du rätt. Inom din egen personliga förståelse / trossystem / definitioner av ”distinkt”, ”samling”, ”uppsättning saker” och ”grupp”, och hur man hanterar dem, du är ”concludi ng ”att” du har rätt ”. Och varken jag eller någon matematiker kan argumentera emot din ”rättighet” i denna mening. Baserat på dina definitioner och tankesätt har du helt rätt. Men det är bara en början, det löser inte förvirringen.

Låt oss sminka / uppfinna ett system där du har ”rätt”. (Kom ihåg att vi lika gärna kan säga ”grupper” och ”saker” men jag standardiserar till ”uppsättningar” och ”element”. De ord som används gör ingen skillnad så länge vi definierar dem.)

Icke-standardiserade teoriregler enligt originalaffisch

• En uppsättning är en samling element.
• Varje element representeras av en eller flera symboler (alfanumeriska).
• Uppsättningens storlek är det totala antalet element.
• OP ”s Definition of Distinct: Varje element betraktas som” distinkt ”om det visas i en annan position, så {A , A} innehåller två distinkta element eftersom de befinner sig i olika positioner (position ett och position två).

Fråga: Hur många element finns det i {A, A, A} enligt ovan icke standardiserade regler av Ori ginal affisch? Svar: 3.

4. Hur Math Set Theory (Mr. Fines Book) definierar ”Distinct” och ”Counting”

Låt oss nu överväga detta mer från den vanliga matematiska definitionen.

Standardregler för matematiska uppsättningar

• En uppsättning är en samling av distinkta element.
• Varje element representeras av en eller flera symboler.
• Storleken på en uppsättning är det totala antalet element.
• Definition av teori för distinkt: Varje element betraktas som ”distinkt” om det kan bestämmas att det skiljer sig från alla andra element. När det representeras av bokstäver och ord gäller endast för tydlighet är huruvida element har olika namn eller inte. I skriftlig matematik, distinkt = olika namn.

För detta svar är något som heter detsamma inte tydligt – det hänvisar till samma sak. Så {A, A} är som att säga, {Indien, Indien}. Det hänvisar bara till ett land, inte två länder. Det hänvisar till samma land två gånger. Så vilken är räkningen? Det ena landet, eller de två gånger det nämns? I uppsättningsteori är det det förra.

”Men varför?” kan du fråga. På ett sätt kan du tänka på detta som helt godtyckligt. ”Det är per definition.” (Men det är så av goda skäl; det gör att många andra saker i uppsättningsteori fungerar bra, men det är bortom denna diskussion). Så du måste bara acceptera det , precis som ”vi måste acceptera att du har rätt med din definition”.

Fråga: Hur många olika länder finns det i {Frankrike, Frankrike, Frankrike, Frankrike, Indien, Indien, Indien, Brasilien, Svar} 3: Svar eftersom uppsättningen bara hänvisar till tre olika platser = {Frankrike, Indien, Brasilien}.

5. Mynt i din ficka

Det är av denna anledning och för enkelhetens skull att vi helt enkelt lägger till en annan regel i Set Theory:

• Inga dubbletter är tillåtna i uppsättningar.

Varför? Eftersom en set är ungefär som en ”väska med saker” (konkret eller abstrakt). Låt oss till exempel överväga fyra mynt i din vänstra ficka på måndag. Låt oss säga att vi inte vet vad de är. Så vi heter dem C1, C2, C3, C4.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

Med tanke på den här idén gör det ingen mening att hänvisa till detta som {C1, C1, C1, C2, C3, C4}. Varför hänvisa till det första myntet tre gånger? Det finns redan i fickan. Det behöver bara hänvisas till en gång. Låt oss nu tilldela myntens attribut:

• C1 = Type = Penny; FaceValue = 0,01; Datum = 1999; Vikt = 2,4993399494 g; Villkor = mynta
• C2 = typ = öre; FaceValue = 0,01; Datum = 1999; Vikt = 2,4990044384 g; Skick = Bra
• C3 = Typ = Nickle; FaceValue = 0,05; Datum = 2002; Vikt = 5.0002292833 g; Skick = Mycket bra
• C4 = Typ = Nickle; FaceValue = 0,05; Datum = 2003; Vikt = 5,0010022229 g; Skick = Mycket bra

Nu när vi vet att två av dem är öre, är myntuppsättningen i din ficka fortfarande densamma:

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = { C1, C2, C3, C4}

Men nu kan vi fråga om hur många olika (distinkta) mynttyper som finns i din ficka:

• Monday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Låt oss flytta mynt C2, C3 och C4 till din högra ficka på tisdag. Vad finns i dina fickor på onsdag?

• Wednesday_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• Wednesday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• Wednesday_InRightPocket_AllCoins = {C2, C3, C4}

• Wednesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Kommentarer

• Efter att ha studerat begreppet typ-token Jag tvivlar på den logiska noggrannheten i fin ’ -bok. Jag bygger en ny fråga relaterad till fotnoten i ” grupp $ {} ^ 1 $ ”.
• Nej vänta snälla för alla ’ skull …. vänta bara lite. inte en annan fråga det handlar bara om spikat. Ge svararna lite tid att svara på mitt svar och dina bekymmer. ” Grupp ” i fin ’ s bok är exakt uppsättningen moderna matematik. Du ’ kommer att gå ut på en annan tangent helt om du tar detta till en annan fråga.
• ” Grupp ” i fin ’ s bok är exakt inte setet i moderna matematik. Den här gången har jag rätt.
• Ok vad är ditt bevis på det. Jag gav mycket tid på det här svaret så snälla håll mig med det här bara lite, okej?
• Min personliga uppfattning är att frågeställningar, med tanke på den kostnadsfria tjänsten som en svarare, borde rösta upp alla svar som ge något värde, även om det ’ inte är rätt svar. Det ’ är ett sätt att säga, ” Tack för att du har bidragit till processen att hitta svaret. ” På samma sätt tror jag att alla som svarar på en fråga bör rösta på frågan; säkert om de spenderade tid på att svara måste det ha något värde. Var generös med röster. De är gratis, abstrakta tecken på uppskattning / värde. Låt andra upp / nedrösta på stramare meriter. Det ’ är ditt val, men jag skulle inte ’ inte rösta på en sådan tekniskhet.

F1: Eftersom $ A $ och $ A $ inte skiljer sig åt, är bara $ A $ och $ B $ skiljer sig (såvida du inte är rabulistisk och skiljer ”den första bläckblocket som bildar en $ A $” från ”den andra bläckblocket som bildar en $ A $”, men det gör det omöjligt att nämna ordentligt någon av dessa $ A $ s som den konkreta bokstaven (bläckfärg) $ A $ som används för att nämna en viss bokstav (bläckfärg) $ A $ skiljer sig automatiskt från den bläckflet, i motsats till avsikt. alla dessa fall talar vi om ”idén” om $ A $, dvs varje förekomst av ”$ A $” i texten hänvisar till samma objekt, vilket i sig är att tänka utanför texten (för att göra det möjligt i det första plats för att använda ”$ A $” för att prata om $ A $). Bara i den meningen $ A = A $ (för som betongbläckar av bläck på papperet har de olika positioner, vilket gör dem annorlunda) och de två $ A $ s i ”$ A, B, A $” saknar särskiljningsförmåga. Din grupp är alltså samma som den som har elementen $ A, B $ (eller $ B, A $ om du vill), dvs antalet är $ 2 $.

F2: De är fortfarande inte identiska med objekt. T.ex. Du kan sätta på det första och sätta det andra i ditt skåp medan du stryker det tredje; du skulle säkert märka det om du faktiskt värmer till samma skjorta som du bär. Tröjorna kan inte urskiljas av egenskapen ”färg” (som de var tidigare som inte kunde särskiljas till exempel av egenskapen ”storlek” antar jag), men de kan fortfarande särskiljas av egenskapen ”rymdposition”. Spännande, detta lämnar oss med problemet att vi stöter på svårigheter hur man identifierar dagens skjortor med gårdagens. Man måste tänka ganska länge vad ”distinkt” (i motsats till perhas till ”urskiljbart”) och ”samma sak” betyder.

F3: Skillnader mellan element (som kan tillåta identiskt färgade skjortor) är väsentliga, eftersom du inte vill räkna samma objekt igen (om du gör det skulle du bli en rik man med bara ett mynt i fickan). Ett helt (?) Annorlunda tillvägagångssätt är att definiera ”antal” som ekvivalensklassen för uppsättningar (och det verkar som att fin ”s” grupp ”är vad vi skulle kalla” uppsättning ”idag) under” jämförbarhet ”(dvs. förekomsten av en bindning mellan sätten). På detta sätt motsvarar begreppet 2 eller Two-ness (eller är faktiskt) klassen för alla uppsättningar $ X $ så att det finns en bindningsform $ X $ till någon specifik uppsättning (vad vi kallar ) två element, som $ \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \} $. Om du har en skräck om (korrekta) klasser, kan man märka att varje sådan ekvivalensklass innehåller en speciell ”enkel” uppsättning, en ordinal (åtminstone i det ändliga fallet och i allmänhet under antagandet av det axiom du väljer).

Kommentarer

• Vad menar vi med antal saker ? varför säger vi under Q1 att grupp G: {A, A, B} har 2 antal saker, varför inte 3 som det borde vara eftersom det finns 3 antal saker i grupp G , även de två sakerna i grupp G är desamma men de finns och vi borde räkna dem till o. Använder vi termen antal saker annorlunda i matematik än vanligt liv. det primitiva begreppet räkning bryr sig inte om skillnaden mellan olika saker i en grupp medan man beräknar antalet saker i en grupp. Varför i matematik gjorde vi denna typ av ovanlig definition av termen nej. av saker .
• Herr, jag har redigerat min fråga för att vara mer direkt. Skulle du åtminstone förklara vad vi menar med Antal saker .

”Antal saker” i allmänhet engelska: Det finns inte tillräckligt med information i termen ensam för att ge ett svar.

Problemet är termen ”saker”. I allmänhet hänvisar engelska till vissa redan definierat arrangemang, till exempel antal artiklar med samma färg eller antal ägg i en låda, eller antal siffror ”3” finns i ett telefonnummer.

Utan det betyder innebörden av ”nummer saker ”är mångfaldigt – det är antalet objekt i en behållare av vilket slag / storlek som helst, klassificerade efter vilken metod du vill tänka dig.

Kommentarer

• Antag att en grupp {A, A, A} finns där. Jag frågar hur många bokstäver som finns i den här gruppen ? Vad ska vara svaret.
• Se Typer och poletter
• @MauroALLEGRANZA länken som du har givet är ganska intressant. De verkar antyda att ” Skriv ” = ” Abstrakt objekt ” och ” Token ” = ” Konkret ”. I boken Me.Fine i utlandet står: ” Vi säger om vissa distinkta saker att de bildar en grupp ” ” Thing ” = ” betong ” = ” Token ” har jag rätt?
• @Mauro, förlåt men ni har det bakåt. Ordet ” sak ” härleder inte det ’ s mening från ” Typ / Token-filosofi ”. Definitionen från google.com/search?q=definition+thing inkluderar ” en abstrakt enhet eller koncept: ’ sorg och depression är inte samma sak ’. synonymer: karaktäristik, kvalitet, attribut, egendom, egenskap, funktion, punkt, aspekt, fasett, konst …
• @Mauro, också, ” en ändlig samling ” innebär inte konkreta saker. Här är några begränsade samlingar av abstrakta saker / element: {1,2,3,4,5}, {kärlek, krig, fred}. Mer än troligtvis undvek han oändliga uppsättningar eftersom de var mycket kontroversiella vid den tiden: sv.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor’ s_teori .

Jag föreslår att du jämför Finens definition med följande diskussion, från RL Goodstein, Rekursiv talteori (1957) :

Frågan ”Vad är naturen hos en matematisk enhet?” är en som har intresserat tänkare i över två tusen år och har visat sig vara mycket svår att svara på. Även den första och främsta av dessa enheter, det naturliga har det svårfångade som en vilja-av-visningen när wc försöker definiera den.

En av källorna till svårigheten att säga vad siffror är är att det inte finns något som vi kan peka på i världen omkring oss när vi letar efter en definition av nummer. Nummer sju, till exempel, är inte någon speciell samling av sju objekt, eftersom om det vore, kunde ingen annan samling sägas ha sju medlemmar; för om vi identifierar egenskapen att vara sju med egenskapen att vara en viss samling, så är sju en egenskap som ingen annan samling kan ha. Ett mer rimligt försök att definiera siffran sju skulle vara att säga att egenskapen att vara sju är den egenskap som alla samlingar av sju objekt har gemensamt. Svårigheten med denna definition är dock att säga precis vad det är som alla samlingar med sju objekt verkligen har gemensamt (även om vi låtsas att vi någonsin kan bekanta oss med alla samlingar med sju objekt). Visst är numret på en samling inte en egenskap för den i den meningen att färgen på en dörr är en egenskap hos dörren, för vi kan ändra färgen på en dörr men vi kan inte ändra antalet på en samling utan att ändra samlingen sig. Det är mycket bra att säga att en dörr som tidigare var röd och nu är grön är samma dörr, men det är nonsens att säga om någon samling av sju pärlor att det är samma samling som en samling av åtta pärlor. Om numret på en samling är en egenskap hos en samling är det en definierande egenskap hos samlingen, en väsentlig egenskap.

Detta leder oss emellertid inte närmare ett svar på vår fråga ”Vad är det som alla samlingar med sju objekt har gemensamt?” Ett bra sätt att göra framsteg med en sådan fråga är att fråga oss själva ”Hur vet vi att en samling har sju medlemmar?” eftersom svaret på denna fråga verkligen borde leda fram något som samlingar av sju objekt delar gemensamt. Ett uppenbart svar är att vi får reda på antalet av en samling genom att räkna samlingen men det här svaret verkar inte hjälpa oss eftersom när vi räknar en samling verkar vi inte göra mer än att ”märka” varje medlem i samlingen med ett nummer. (Tänk på en rad soldater som numreras.) Det ger uppenbarligen inte en definition av antal att säga att numret är en egenskap hos en samling som hittas genom att tilldela nummer till medlemmarna i samlingen.

Att märka varje medlem i en samling med ett nummer, som vi verkar göra vid räkning, är i själva verket att skapa en korrespondens mellan medlemmarna i två samlingar, objekten som ska räknas och de naturliga siffrorna . När vi till exempel räknar en samling med sju objekt ställer vi in en korrespondens mellan de räknade objekten och siffrorna från ett till sju. Varje objekt tilldelas ett unikt nummer och varje nummer (från ett till sju) tilldelas något objekt i samlingen. Om vi säger att två samlingar är lika när var och en har en unik associerad i den andra, kan räkna en samling sägas bestämma en samling av nummer som liknar den räknade samlingen.

Svagheten i definitionen ligger i detta begrepp om korrespondens. Hur vet vi när två element motsvarar?Kopparna och faten i en samling koppar som står i faten har en uppenbar korrespondens, men vad är korrespondensen mellan, säg, planeterna och muserna? Det är ingen nytta att säga att även om det inte finns någon patentkorrespondens mellan planeterna och muserna, kan vi enkelt skapa en, för hur vet vi detta, och vad är viktigare, vilken typ av korrespondens tillåter vi? När vi definierar antal i termer av likhet har vi bara ersatt det svårfångade begreppet antal med det lika svårfångade begreppet korrespondens.

Vissa matematiker har försökt att undkomma svårigheten att definiera siffror genom att identifiera siffror med siffror. Nummer ett identifieras med siffran 1, nummer två med siffran 11, siffran tre med 111, och så vidare. Men detta försök misslyckas så snart man inser att siffrans egenskaper inte är siffrans egenskaper. Siffror kan vara blåa eller röda, tryckta eller handskrivna, förlorade och hittade, men det är ingen mening att tillskriva dessa egenskaper till siffror, och omvänt kan siffror vara jämna eller udda, primära eller sammansatta men dessa är inte siffrans egenskaper.

Motsatsen till ”nummer” och ”siffra” är en som är vanlig i språket, och kanske den mest välkända instansen finns i paret termer ”proposition” och ”mening”. Meningen är en viss fysisk representation av propositionen, men kan inte identifieras med propositionen eftersom olika meningar (till exempel på olika språk) kan uttrycka samma proposition. [se typer och tokens ]

Schackspelet, som ofta har observerats, ger en utmärkt parallell med matematik (eller för den delen, med själva språket). Till siffrorna motsvarar schackpjäserna och aritmetikens funktioner, spelets rörelser.

Här hittar vi äntligen svaret på problemet med siffrornas natur. Först ser vi att för att förstå betydelsen av siffror måste vi titta på ”spelet” som siffrorna spelar, det vill säga till aritmetik. Siffrorna, en, två, tre och så vidare, är karaktärer i aritmetikspelet, bitarna som spelar dessa karaktärer är siffrorna och vad som gör ett tecken till siffran för ett visst nummer är den del som det spelar, eller som vi kan säga i en form av ord som är mer lämpade för sammanhanget, vad som utgör ett tecken tecknet på ett visst nummer är tecknet omvandlingsregler. Följaktligen följer att föremålet för oue-studien är INTE NUMMER SJÄLV MEN TRANSFORMATIONSREGLERNA FÖR NUMMER TECKEN .

Interseting, men diskutabelt …

Mer än 60 år tidigare kritiserade Frege alredy denna uppfattning; se Gottlob Frege, Basic Laws of Arithmetic (1893), ny engelsk översättning av Philip Ebert & Marcus Rossberg, Oxford UPP 2013, sida xiii:

[det finns en] utbredd tendens att endast acceptera det som kan kännas som. […] Nu är föremålen för aritmetik, siffrorna, omärkliga; hur man kan komma överens med detta? Väldigt enkelt! Förklara nummertecken som siffror. […] Ibland verkar det som om nummertecknen betraktas som schackpjäser och de så kallade definitionerna som spelregler. I så fall betecknar tecknet ingenting, utan är snarare själva saken. En liten detalj förbises naturligtvis i allt detta; nämligen att en tanke uttrycks med hjälp av ”3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2”, medan en konfiguration av schackstycken säger ingenting.

Kommentarer

• Jag minns spänningen jag kände första gången jag läste Goodstein ’ s introduktion. Han ’ är ingen Frege, men det ’ är jättebra att få ett tydligt uttalande om en vy, så att om man inte håller med kan man säg exakt med vad.

För att klargöra Finas definition av ” antal saker ”, vilket är helt annorlunda från ” modern ” set-teoretisk inställning, jag tror att det kan vara bra att hänvisa till den filosofiska traditionen från XIX-talets brittiska emprism.

I synnerhet filosofen John Stuart Mill ägnade en del av sitt arbete A System of Logic, Ratiocinative and Inductive (1843) till diskussionen om grunden för aritmetik.

Här är några avsnitt, som – jag hoppas – klargör Fines definition:

Tre småsten i två separata paket, och tre småsten i ett paket, gör inte samma intryck på våra sinnen, – och påståendet att samma stenar genom en förändring av plats och arrangemang kan göras för att producera antingen den ena sensationen eller den andra, men en mycket bekant förslag, är inte identiskt. […]

De grundläggande sanningarna för den vetenskapen [vetenskapen om siffror] vilar alla på bevisen på mening, – de bevisas genom att visa för våra ögon och våra fingrar att vilket antal objekt som helst, tio bollar, till exempel genom separering och omläggning kan uppvisa alla våra olika siffror för våra sinnen, vars summa är lika med tio. ( CW VII, 256-57)

Således, när vi säger att kuben 12 är 1782, vad vi bekräftar är detta: att om vi har ett tillräckligt antal småsten eller andra föremål, sätter vi dem ihop till th en viss typ av paket eller aggregat som kallas tolv; och sätta ihop dessa själva i liknande samlingar, – och slutligen utgör de tolv av dessa största paket: det så bildade aggregatet kommer att vara sådant som vi kallar 1728; nämligen det som (för att ta det mest bekanta av dess bildningssätt) kan göras genom att gå med i paketet som kallas tusen småsten, paketet kallas sju hundra stenar, paketet kallas tjugo småsten och paketet kallas åtta stenar. ( CW VII: 611-12)

Mill ”s naturalistisk inställning till grunden för aritmetik baseras på ” grundläggande ” processer för sammanfogning och separering som ger upphov till och sönderdelar ” aggregerar ” av fysiska objekt.

Empiristernas syn på Mill kritiserades skarpt av Gottlob Frege i sin grundläggande Die Grundlagen der Arithmetik ( The Foundations of Arithmetic ) (1884).

För en redogörelse för Mills matematikfilosofi, se Philip Kitcher, Mill, matematik och naturalisttraditionen , till John Skorupski (redaktör), Cambridge Companion to Mill (1998), sidan 57-on.

Kommentarer

• Sir, tack för detta ännu ett mycket användbart svar . Det tar tid för mig att läsa så många relaterade texter (jag tittar för närvarande på böckerna som du och andra nämnde tidigare). Finns det en definitiv bok helt ägnad åt aritmetikens historia ? En bok som kan förklara saker som startar från historien och sedan slutligen förklara hur modern aritmetik blev etablerad. En bok som skulle förklara alla relaterade saker, dvs vem, hur, när, varför av aritmetik. Om en månad kommer jag att ställa två mycket filosofiska (och tekniska) frågor om aritmetik, ska jag pinga dig.
• Om historien om ” modern ” aritmetikfilosofi , från Kant på (men JSMill diskuteras inte) kan du se Michael Potter, Orsak ’ s närmaste släkting: Aritmetikfilosofier från Kant till Carnap (2002).

I boken skiljer sig ”antal saker” effektivt från deras representation. Antag att du har gäster som du vill bjuda in till en fest. Hur många gäster-saker som du bjuder in?

Om du bjuder in 5 vänner, kommer vi att kalla dem John, Fred, Mary, Jill och Barney. Det finns 5 gästvän- saker som du bjuder in till festen.

Men nu, vad händer om partiet är en maskeradboll, och de är alla i förklädnad. John är klädd som ett spöke, Fred som ett troll, Mary som en häxa, Jill som en pumpa och Barney som en dinosaurie. Bara för att de nu är spöken, troll, häxa, pumpa och dinosaurie ändrar inte antalet gästvän-saker som du har bjudit in till festen. Deras egenskaper har förändrats – de ser inte längre ut som dina vänner, de ser ut som deras förklädnader.

Vad händer om de 5 kommer klädda alla som oskiljbara spöken. Betyder det att vi säger att bara ett spöke har kommit till ditt parti? ort, ankomsttid, höjd, vikt, arkfärg osv.

Vad händer om de hade exakt samma kostym och du såg aldrig mer än en i taget – så att det inte fanns några definierande egenskaper som skilde en vän från en annan. Du kanske inte är säker på hur många gäst-vän-saker du hade på din fest. DENNA omvandling har förstört distinkt som skilde dem före detta, så det är inte en giltig omvandling för att räkna upp antalet saker.

Idén med ”antal saker” med avseende på dina inbjudningar är specifikt gruppens egendom så att alla ändringar (aktiverar, omnumrerar, omordnar men INTE dupliceras, eliminerar eller räknar delmängder) som bevarar distinkt hos elementen behåller den egenskapen. Det handlar inte om huruvida värdet på den fastigheten är 1, 5 eller en miljon miljarder, bara att ”antalet saker” är ett begränsat värde som håller fastigheten.

Med hänsyn till för vanlig engelska är antalet saker bara … antalet intressanta saker. Det blir inte enklare än så, och eftersom det är ett så enkelt koncept är det väldigt svårt att skriva en exakt definition som inte orsakar problem i möjliga vardagliga uttryck.

Denna fråga (och många av svaren för den delen) förbiser syftet med matematisk teori, som är att behandla axiom som något givet. Vi antar att vi har en uppfattning om (till exempel) distinkt, och undersöker sedan konsekvenserna av att ha denna uppfattning.

Med andra ord är det omöjligt att ställa frågan ”Hur många element finns i uppsättningen $ \ { A, A, B \} $? ”Utan att först ge axiomer ungefär $ A $ och $ B $. Enligt matematisk standardsyntax bör vi egentligen bara ställa denna fråga efter märkning till $ \ {A, A”, B \} $ för att undvika förvirring, men det här är en fråga om kommunikation och praktik, inte dogm och verkligen inte någon form av sanning om uppsättningar.

Matematik, enligt Roberto Ungers ord, är en ”visionär utforskningav ett simulacrum av världen ”. Om du inte håller med någon annans vision är det helt okej. Men om du tror att du har problem med matematiken i sig, är chansen att du genererar dina egna motsägelser genom att missbruka språk. Om du är tydlig med vilka egenskaper din uppfattning om distinktion ska ha, gäller uppsättningsteori , det är bara en fråga om hur. Det föreskriver inte en särskild form av distinkt, utan utforskar gemensamheten mellan alla former av distinkt.

Det verkar att svaret på din fråga är mycket sammanflätat med vad ”en sak” är. Du kanske är medveten om att som en abstrakt fråga det kan vara, har den ställdes upprepade gånger i fysikgemenskapen i samband med kvantfältsteori och grunden för kvantmekanik (se till exempel Paul Teller och Chris Isham). En av slutsatserna är att begreppet en sak som en essens som egenskaper ”vidhäftar” ska förkastas. Detta är vad Teller beskriver som problemet med ”märkt tensorprodukt Hilbert rymdformalism”, eftersom det är oförenligt med det fysiska beteende som faktiskt observeras. Så om du vill ha en universell definition av ”antal saker” kan du inte undvika dessa överväganden om vad en sak är och vad som är urskiljbar från en fysisk synvinkel (om du inte vill ha en definition som gäller ett universum som är inte vår egen).

Bara för att ge dig ett exempel, låt oss säga att du har en foton i din högra hand och en i din vänstra. Du kan urskilja dem genom att hänvisa till vilken hand de är i. Så ”antalet sätt att lägga dem i fickan” är 2 (först den i din vänstra hand, sedan den i din högra hand eller tvärtom) . Men en gång i fickan blir de fysiskt oskiljbara och ”antalet sätt att ta ut dem” är 1 (ut kommer den ena, sedan den andra).

Kommentarer

• I fotonerna i ett fickexempel du ger verkar det för mig att ’ är två fotoner. Deras identitet (vänster / höger) går förlorad (en, vem som vet vilken, är den första, den andra andra). Det finns ’ fortfarande två av dem, även om du ’ har förlorat lite information. Data som går förlorade är att ” finns i vänster / höger hand ” egenskap, vilket inte är ’ en egenskap hos fotoner i allmänhet. Du verkar säga att alla egenskaper är dispenserbara på ett liknande sätt, men jag kan ’ inte räkna ut om du säger att detta är ett oöverstigligt problem för en ” universell definition av ’ antal saker ’ ”. Eller räknas saker oavsett?
• Åh ja, det finns alltid två fotoner runt. Jag ’ jag talar om konsekvensen av att förlora identitet på vår förmåga att räkna, och detta är en följd av naturen till ’ en sak ’ som en foton. Det motsatta beteendet händer för fermioner, som alltid måste urskiljas och detta hindrar dig från att klämma för många på samma plats (vilket är Pauli-uteslutningsprincipen).Så att räkna saker genom att (som i exemplet) räkna hur du kan ordna om dem fungerar inte ’ t alltid. Jag vet inte ’ om detta är ett oöverstigligt problem, men en definition som är universell kan inte ignorera den.