Som alla matematiker vill berätta, 1 + 1 = 2 följer triviellt från definitioner och är inte en sats. Din fråga är inte meningsfull.

Det är som om du förklarade:

Jag definierar 1 flytande zounce till exakt 30 milliliter.

Men vad händer om det visar sig att jag är fel?

Det är din definition. Det kan inte vara fel eftersom flytande zounces, före din definition existerade helt enkelt inte.

Kommentarer

• Kan man läsa deras fråga, mer välgörande, som " vad händer om vi upptäcker att 1 + 1 = 2 inte följer från Peano ' s postulat? " den behåller vilken filosofisk kant den har?
• Jag skulle bestrida att varje matematiker kommer att säga att 1 + 1 = 2 är en definition. Jag ser din poäng uppenbarligen men i allmänhet kommer 2 att vara S (S (0) ) snarare än 1 + 1. Så ' är ett argument som ska göras att S (S (0)) = S (0) + S (0) det ' ett trivialt argument direkt från definitionen av +, men en som så småningom blir det lite knepigt på grund av hela den oändliga induktionen du behöver när du vill att detta ska fungera i allmänhet.
• @DRF Jag intar att OP kanske inte är bekant med Peano-aritmetik, därav överförenkling. Men jag förstår att man måste definiera + efter att ha definierat 0 och S (.) – men som ni säger är det då ett trivialt steg till 1: = S (0) och 2: = S (1). Även om jag ställer mig bakom den övergripande idén att dessa alla är axiomatiska eller definierande påståenden som bara kan motbevisas om du väljer en annan definition av +, vilket inte alls skulle vara en motbevisning. Det skulle bara vara en annan definition.
• @Schiphol Jag don ' t betyder att vara alltför avvisande av frågan, men jag ser inte att den har någon filosofisk kant, eller till och med nödvändigtvis att Peano behöver föras in i den. Frågan verkar bara baseras på ett missförstånd, som om en disproof av 1 + 1 = 2 kan ha någon märkbar form, eller att vi alla skulle kollapsa i ett svart hål om en skulle ske.Det skulle vara en helt annan sak om den formulerades som den mer konsekventa men ekvivalenta ' varför kan vi säkert anta 0 ≠ 1 och vilka är de starkaste argumenten mot det motsatta? '
• @EricDuminil, Merriam-Webster definierar bokstavligen " två " " är en mer än en i nummer ", vilket är exakt S(S(0)). Så i det här fallet har vi verkligen en definition.

mest grundläggande ekvation

Ditt antagande är bristfälligt. 1 + 1 = 2 är inte ett axiom för matematik, utan (som Sputnik påpekar) en konsekvens av Peano-axiomer som tillämpas på bas 10 representationer av tal.

Man kan enkelt ändra från decimal (bas 10) till unary (bas 1) och säg:

1 + 1 = 11.

Eller ändra till binärt (bas 2, vad din dator faktiskt använder) och säg:

1 + 1 = 10.

Och för det skull kan jag gå in på romerska siffror :

I + I = II.

Så det finns representationer där 1 + 1 är inte 2 (och till och med system där du inte har glyf 1), men universum har inte imploderat ändå på grund av det.

Tänk nu om din fråga var mer lik e …

Vad händer om Peano-axiomen strider mot observationer från den naturliga världen?

I så fall skulle mitt svar vara dubbelt:

• Matematik baserad på Peano-axiomerna skulle fortfarande vara användbar
• Matematiker skulle komma med en annan uppsättning axiomer som passar den naturliga världen, tillsammans med matematik baserad på de nya axiomerna

För att förstå detta, ta till exempel Newtonian fysik : de är ett stort regelsätt för matematik byggt ovanpå vissa axiomer som passar fint observationerna från den naturliga världen.

Men då märkte Einstein att några av axiomerna inte riktigt passade (i synnerhet när saker går med ljusets hastighet) och kom fram till relativistisk fysik , vilket i stort sett ogiltigförklarar all nytonsk fysik.

Även vi vet newtons fysik har fel (eftersom de bygger på en modell som är för enkel), de är ett verktyg som är giltigt för många problem.

Samma sak med Peano-baserade aritmetik: även om de inte passar någon observation i den naturliga världen, skulle de fortfarande vara bra verktyg. Och som en följd av olämnigheten kan en annan uppsättning matematik härledas från det.

Kommentarer

• Symbolen " 1 " skulle normalt definieras som den multiplikativa identiteten och " 2 " skulle normalt definieras som summan av den multiplikativa identiteten med sig själv. Att 1 + 1 = 2 inte skulle vara ' t vara en " axiom " snarare antydas direkt av dessa definitioner. Om man skulle definiera symboler annorlunda, kanske ekvationen med dessa symboler inte håller, men att lägga till den multiplikativa identiteten till sig själv skulle fortfarande ge summan av den multiplikativa identiteten och sig själv, oavsett vilka symboler som behövdes för att skriva det faktum.
• Tack för att du tog upp newtonsk fysik mot relativistisk fysik, för att ta reda på 1c + 1c != 2c är exakt vad som hände. Matematiken var rätt, men vår modell för att lägga till hastigheter var fel vid höga hastigheter , så vi fixade modellen för att matcha observationer . Det måste ta hänsyn till Lorentz-faktorn vid höga hastigheter. Liknande problem med klassisk vs kvantmekanik.
• Du ser inte ' t ser många arabiska matematiker hävdar att de därför har motbevisat 1 + 1 = eftersom de använder olika siffror 2. Så det är ' synd att den första delen av detta svar är fel, eftersom den andra delen är väldigt bra.
• @SteveJessop Åtminstone delvis på grund av 1 , 2, etc. är arabiska siffror. Men din övergripande poäng är giltig. (dvs. ' är synd att den första delen av din kommentar är fel, eftersom den andra delen är väldigt bra.)
• En gräl. Newtons fysik är inte " fel. " Den fungerar perfekt i det sammanhang där den upptäcktes.Jag har aldrig behövt använda allmän relativitet i något av mina 30 års fysikrelaterade arbete. Newtons mekanik har skurit mig bra och korrekt i mitt sammanhang. Vad relativitet gör är att utöka den nytonska fysiken för att korrekt förklara fenomen som inträffar nära ljusets hastighet och utvidga räckvidden för sammanhang där vi ordentligt kan resonera om gravitation och ljus.

Om 1 + 1! = 2, då 1 – 1! = 0, vilket innebär att laddningen på protonerna i en kärna inte längre avbryter laddning på elektronerna. Sålunda får alla atomer en nettoladdning och alla makroskopiska kroppar lockas (eller avvisas) till (från) varandra med en otrolig kraft – 36 storleksordningar starkare än tyngdkraften. Detta skulle förstöra hela universumet till en subatomär massa i ganska kort ordning …

Kommentarer

• Visst, men då skulle det också inte gör det.
• Total protonisk vändning? Att korsa strömmarna är dåligt, Ray.
• Detta är faktiskt det enda svaret jag ' har läst här som presenterar en teori om " vad som skulle hända " del av frågan. Bravo, Oscar.
• " Om 1 + 1! = 2, så är 1 – 1! = 0 " Jag förstår inte '. Hur görs den slutsatsen?
• @CPHPython Det kan hända om 1 + 1 = 2 är falsk ( och om elektrisk laddning följer reglerna för + ). Men om det ' s motbevisas , betyder det bara att vi gör avskärmningar är trasiga.

Vad som skulle hända är begreppsmässigt mycket enkelt. Papperet som bevisar ”¬1 + 1 = 2” kommer att ha titeln ” Zermelo – Fraenkel Set Theory is inconsistent ” och publiceras.

Från där blir det svårare. Beroende på hur beviset fungerar bör vi sluta med en ny, svagare setning som resulterar i att konsistensen återställs. Eller något värre; Peano Axioms kan vara ogiltigt med följden av, ja, jag vet uppriktigt sagt inte. Någon operation som vi tidigare brukade ha försvinner, men den vann ”t är tillägg. Heltalsaddition kan inte motbevisas i det begränsade området (tack vetenskapen!) så att något annat på vägen till mottätet kastas ut. Kanske hanteringen av oändligheten är fel i all matematik. Kanske något annat. Jag är ledsen om det här låter som spekulation. Spekulationen är faktiskt i frågan. Det beror ganska på hur stort hål du vill stansa.

På den praktiska sidan vet vi redan vad som händer . 1 + 1 = 2 kommer fortfarande att vara sant för alla rimliga domäner och användningsfall, så vi fortsätter att använda det. Efter ett tag kommer felläget att förstås och noggrant (eller inte så noggrant) uteslutas som vi gör i datavetenskap för överflöd nu.

Kommentarer

• " Uppsättningsteori för Zermelo – Fraenkel är inkonsekvent " – eller en ännu bättre titel, om beviset inte krävde ' t alla ZF-axiomer.
• Pudlak teoretiserar att om en motsägelse hittades i Peano Axioms, skulle vi börja begränsa induktionsaxiomet till " små " formler, för en viss definition av små. skulle sannolikt återställa konsistensen.
• Och den här typen av händer redan redigerades en gång med Russel ' s Paradox. (Förutom att jag inte ' vet inte att Cantor ' s uppsättningsteori ofta ansågs vara en bra grund för all matematik vid den tiden som ZF [C] är nu.)

1 + 1 = 2 är en nödvändig sanning — ungefär ett uttalande som är sant i alla möjliga världar. Din fråga ber alltså om sanna kontrafaktiska villkor med omöjliga föregångare. Dessa kallas ibland motmöjligheter (t.ex. avsnitt 5.1 här ).

Den traditionella vyn brukade vara den alla dessa motmöjligheter är trivialt sanna. Enligt denna uppfattning skulle ”om en plus en inte var två, q ” vara sant för godtycklig q . På senare tid har flera filosofer hävdat att förståelse av vetenskap och vardagligt resonemang kräver en semantik för motmöjligheter som inte trivialt medför deras sanning. Se referenser till denna debatt i den senaste SEP-posten som länkas till ovan.

I vilket fall som helst kan du vara säker, en plus en är lika med två.

Kommentarer

• " i alla möjliga världar ". Detta är diskutabelt. Det kan finnas en värld som vi ' inte kan förstå och till och med föreställa oss eftersom den ' s logiska lagar (och aritmetiska om de ens finns där) är helt annorlunda.
• @ rus9384 samförståndet mellan teoretiker som arbetar med detta ämne är att logiska sanningar är nödvändiga. Om vi antar här att OP inte är intresserad av att bestrida sanningen om Peano-axiomerna, är 1 + 1 = 2, som följer av dessa axiomer, nödvändig. I den möjliga världens tolkning av nödvändighet betyder det att vara nödvändigt bara att vara sant i varje möjlig värld. Eftersom, som du säger, vi ibland behöver resonera om omöjliga situationer, fungerar vissa teorier med en uppfattning om omöjlig värld för exakt detta syfte.
• Så den världen är omöjlig, för vi kan ' inte tänka på den? Blinda människor kan ' inte se, men att ' inte är problemet. Det finns färger som andra djur uppfattar som vi inte upplever ' (såvida inte tekniken kommer att utvecklas tillräckligt mycket). Det är bara så att vår känsla av logik inte tillåter uppfattning av andra logiska system. Och vi kan inte ' vara säkra på att Peano-axiomer verkligen fungerar i vår värld. Även 1 + 1 = 2 kan ifrågasättas på kvantnivå.
• Nåväl, låt ' säger detta: möjligheten är ett användbart begrepp, eftersom inte alla brunnar -formad mening i den vägledande representerar en möjlig situation. Ta en mening som uttrycker en av de omöjliga sakerna. Hur ska vi resonera om dem? Vissa säger: genom att postulera extra världar där per omöjliga sådana saker är sanna.
• @ rus9384 Jag tror inte ' tänker inte 1+ 1 = 2 kan ifrågasättas på vilken nivå som helst. Vad du kan bestrida är att Peano-axiomerna modellerar världen väl på kvantnivå. ' t gör inte 1 + 1 = 2 inte sant med tanke på Peano-axiomen.

Beviset måste ha utförts i något formellt system, annars är det inte så mycket ett bevis som ett övertygande argument. Så, vi har ett bevis i något system av uttalandet 1 + 1! = 2.

Filosofer i ämnet logik och matematiker, skulle titta noga på detaljerna i detta bevis. Eftersom alla formella system som någon är intresserad av visar motsatsen till detta uttalande, bevisar också att detta uttalande visar att oavsett vilket system som användes är inkonsekvent. Så att systemet inte längre kunde användas för seriöst arbete. Därför skulle logiker ha lärt sig något extremt viktigt om det specifika logiska systemet, och de skulle vilja veta vilka andra system samma teknik kommer att visa sig vara inkonsekvent.

Universum kunde inte ”kastas i kaos” om man inte tror på någon form av (vågar jag sa y it: magisk?) effekt genom vilken stjärnornas rörelse i Andromedagalaxen påverkas avsevärt av vilka markeringar du gör på ett papper på jorden. En solipsist kan, antar jag, tro att universum upprätthålls enbart av deras personliga tro på logisk konsistens, och därmed att universum skulle förändras fundamentalt genom att läsa detta bevis. De flesta människor har tillräcklig tro på existensen av en yttre verklighet, för att inte tro att universum har något intresse för vad bevis människor gör eller inte producerar.

Jag förväntar mig att filosofer inte är intresserade av logik och formellt bevis. system skulle för det mesta ignorera resultatet, åtminstone tills logikerna förklarade för dem exakt under vilka förhållanden de (icke-logikerna) faktiskt använder samma felaktiga system som bevisar 1 + 1! = 2, och därför vilket resonemang det är de behöver att sluta använda.

Naturligtvis beror det också i viss mån på vad du menar med att motbevisa att 1 + 1 = 2. Man kan tänka sig ett ”fysiskt bevis” snarare än ett formellt logiskt. Om du menar att någon har bevisat att de kan placera en apelsin i en tom skål och sedan placera en annan apelsin i samma skål, och inga andra apelsiner har lagts till eller tagits bort och att skålen nu innehåller något annat apelsiner än 2, du kan säga att de ”har bevisat 1 + 1! = 2. Men allas förväntningar är att det faktiskt är någon form av tidigare okänd fysisk process med apelsiner involverad. Så medan du har upptäckt något som verkligen förändrar våra uppfattningar om verklighetens natur, så är det inte på grund av att den ”mest grundläggande ekvationen” är logiskt fel, det beror på apelsiner (eller fysiska föremål) i allmänhet) uppenbarligen inte följer aritmetik längre, och därför är ekvationen inte längre tillämplig på dem. Naturligtvis skulle detta vara extremt oroväckande, eftersom människor hela tiden litar på att kunna räkna saker, och så kan det mänskliga samhället väl kasta i kaos.

Kanske är relevant för diskussionen Inkonsekvent matematik :

det är studiet av vanliga matematiska objekt, som uppsättningar, siffror och funktioner, där vissa [ betoning tillagda ] motsägelser är tillåtna.

Och se diskussionen om Aritmetik :

En inkonsekvent aritmetik kan betraktas som ett alternativ eller en variant på standardteorin, som en icke-euklidisk geometri.

Aritmetikens standardaxiom är Peanos, och deras konsekvenser – aritmetikens standardteori kallas PA . Standardmodellen för aritmetik är N = {0, 1, 2, …} , zero och dess efterträdare.

De konsekventa icke-standardiserade modellerna är alla ex spänningar i standardmodellen, modeller som innehåller extra objekt. Inkonsekventa aritmetikmodeller är den naturliga dubbla, där standardmodellen i sig är en förlängning av en mer grundläggande struktur, vilket också gör alla rätta meningar sanna.

Inkonsekvent aritmetik undersöktes först av Robert Meyer 1970 ”s. Där tog han den parakonsistenta logiken R och lade till axiomer som styr efterträdare, addition, multiplikation och induktion, vilket gav systemet R #.

1975 bevisade Meyer att hans aritemiska är icke-trivial, eftersom R # har modeller. Framför allt har R # finita modeller med en tvåelementdomän {0, 1} , med efterträdarfunktionen rör sig i en mycket snäv cirkel över elementen.

Sådana modeller gör alla R # satser sanna, men behåll ekvationer som 0 = 1 bara falskt.

Så vad? Kanske kan vi överleva till en (begränsad?) mängd inkonsekvens .

Men tänk på detta du h-experiment, baserat på ett intuitivt exempel härledt från Graham Priest analys av den allmänna strukturen för modeller av inkonsekvent aritmetik:

föreställ dig standardmodellen för aritmetik, upp till ett inkonsekvent element

n = n + 1 .

Denna n misstänks vara en mycket , mycket stort antal [ betoning lagt till ], " utan fysisk verklighet eller psykologisk betydelse. " Beroende på din smak är det det största siffran eller det minst inkonsekventa antalet. Vi föreställer oss vidare att för j, k > n har vi j = k .

Om i den klassiska modellen j ≠ k , så är det också sant; därför har vi en inkonsekvens, j = k och j ≠ k . Alla fakta sanna för siffror som är större än n är sanna för n också, för efter n är alla siffror identiska med n .

Inga fakta från den enhetliga modellen går förlorade.

Men tänk nu på att n är väldigt mycket stort men inte " utan psykologisk betydelse " och föreställ dig att ditt bankkonto lägger till ett belopp på n USD (eller GBP eller vad som helst).

Från det ögonblicket växer inte bankkontot längre, utan någon " störning " i de vanliga aritmetiska lagarna.

Får vi betrakta det som ett fall av " universum kastas i kaos " ?

Gödel sats säger ungefär att något tillräckligt användbart matematiskt system är antingen ofullständigt eller motsägelsefullt, det vill säga antingen det finns påståenden som inte kan bevisas eller motbevisas, eller så finns det uttalanden som kan bevisas både sanna och falska.

Det finns många uttalanden om att vi inte har kunnat bevisa sant eller falskt (men det kan bero på att vi inte var kloka nog), och ingen motsägelse har bevisats (men det kan också bero på att vi var inte smart nog), så det är inte tänkbart att ”1 + 1 1 2” kunde bevisas. 1 + 1 = 2 skulle då vara sant och falskt.

Vad skulle hända?Mycket svordomar bland matematiker skulle hända. Många diskussioner skulle pågå om hur vi kan ignorera detta faktum och vara kvar med användbar matematik. Universum skulle inte förändras.

Med tanke på frågan: ”1 + 1 = 2” kan inte och kommer aldrig att motbevisas (vilket betyder att beviset, som inte är mycket mer än enkel tillämpning av axiomer, är bevisat för att vara felaktig. Vad som är fjärr möjligt är att det kan finnas bevis på att det är sant, att det kan finnas ett bevis på att det är sant.

Matematik och / eller vetenskap skulle förbättras.

Matematiker söker och använder mönster för att formulera nya gissningar; de löser gissningens sanning eller falskhet genom matematiska bevis ( från wikipedia ). Vi kan hävda att 1 + 1 = 2 härrör från definitionen inte från bevis som gör frågan tappad eller dålig. Men din fråga är fortfarande giltig i vidare bemärkelse. Ett matematiskt bevis kan vara fel. Det har redan hänt. Denna mathoverflow-fråga är full av historiska bevis och föreställningar som inte är korrekta. När ett sådant fel upptäcks finns inget sak universumsprängning händer. Vi slutar bara ha fel och har rätt, vi har förbättrat vår kunskap om matematik.

Så, låt oss säga att vi arbetar med axiom som inte inkluderar 1 + 1 = 2. Och att vi når 1 + 1 = 2 genom matematiskt resonemang och ger ett matematiskt bevis för det. Och låt oss säga, för argumentets skull upptäcker vi senare att ett sådant bevis är fel, faktiskt 1 + 1 = 3. Nej, det skulle inte kasta universum i kaos. Universum var vad det var innan människor kom till begreppet 1 + 1 = 2 (eller så antar jag, jag var inte riktigt där för att observera det men vi har många goda bevis som hjälper oss att veta hur det var). Och varje gång ett matematiskt bevis har visat sig vara felaktigt har universum inte kastas i kaos. Vad som förändrade var vår förståelse för matematik. Det är rimligt att anta att det skulle vara detsamma för 1 + 1 = 3.

Det finns en sak som skulle kastas i kaos. Matematiker Nu när vi vet att 1 + 1 = 2 är falskt är varje bevis som beror på det bristfälligt. Felaktigt, inte exakt fel. Uttalanden som validerats av bevis som beror på 1 + 1 = 2 kan fortfarande vara sanna, men de gamla bevisen skulle inte tjäna till att fastställa den sanningen. Massor av material skulle behöva revideras och skrivas om, mycket diskussion skulle följa. Men vi skulle komma klokare ut i kaos.

Vad sägs om vetenskapliga teorier som är beroende av 1 + 1 = 2 ?. Som det som beskrivs i ett annat svar på den här frågan. Nej, detta skulle inte krossa hela universum i en subatomär massa i ganska kort ordning. Universum var vad det var innan vi upptäckte 1 + 1 = 3 och skulle fortsätta att vara så (jag antar att det har hänt för andra motbevisade bevis). Eftersom vi skulle ha upptäckt att de gamla vetenskapliga teorierna inte förklarar universum bättre skulle bättre modeller utvecklas.

Om sådana elementära saker kastas i tvivel, så så fort är det mycket mindre elementära saker, såsom resonemangsstegen som behövs för att bevisa att en och en inte lägger till två. Det skulle alltså vara rimligt att betvivla något sådant bevis. I själva verket skulle jag ignorera beviset – tillsammans med ett dussin eller så otroliga påståenden jag stöter på varje dag – som (tror jag) skulle göra för de flesta andra.

Som ett resultat skulle jag förvänta mig att beviset skulle har lika stor inverkan på världen som en ny demonstration av euklidisk vinkeldelning (som har lämnats in många gånger tidigare). Det vill säga att det tillfälligt skulle uppta de relativt få människor som valde att titta på det.

Kort svar: Ja. Om du kunde bevisa att ett sådant elementärt och till synes uppenbart uttalande är falskt, skulle det ifrågasätta en hel del av vad vi tror att vi vet om matematik, och förmodligen många andra saker om universum.

Så vad? Om du inte har några bevis för att detta uttalande är falskt, är det ”meningslöst hypotetiskt. Jag har faktiskt haft många konversationer där någon presenterade mig för hypotetiska om ett komplext ämne, som” Vad händer om det bevisades att denna politiska politik som du stöder fungerar inte ?, eller ”Vad händer om Gud befallde dig att göra något ont?”, etc. Och mitt svar är generellt att säga, ”Jag tror inte att den hypotetiska situation du beskriver sannolikt kommer att hända. Vad händer om någon visade att 1 + 1 = 2 är falskt? ” definitionen av ”2” är ”1 + 1”. Det är åtminstone vad jag lärde mig i nummerteori. Med tanke på komplexiteten i modern matematik finns det förmodligen andra definitioner inom andra grenar. Men du kan inte bevisa att en definition är falsk. Det är sant genom … definition.

Ingenting skulle hända med verkligheten – det skulle förbli som det är. Men vi skulle då kräva en förändring i vår räkningsteori, som skulle återkomma genom andra matematiska teorier som bygger på räkning. Eftersom denna ekvitation av aritmetik i själva verket är en definition av två (se t.ex. aritmetikens uppbyggnad i matematiska axiomsystem), skulle ett bevis på att denna ekvation är fel innebära att vi inte giltigt kan lägga till en och en ( eller mer exakt, vilket axiomsystem som tillåter oss att lägga till ett och ett är logiskt inkonsekvent). Det skulle kräva att vi formulerade alternativa axiomsystem i matematik som undviker inkonsekvensen. Verkligheten fortsätter att klämma ihop precis som normalt medan vi försökte ta reda på det.

Du kan inte motbevisa ett axiom och Peanos axiomer anger att 1 + 1 = 2.

Kontextbyte, i boolesk logik + betyder något annat och 1 + 1 = 1.

Kommentarer

• Jag ' är ganska säker på att ' s cirkulär logik. du sa i huvudsak att det ' är ett axiom eftersom det ' är i en lista med axiom.
• @ Ruadhan2300 Peano-axiomerna är logikens vanliga axiom. Du kan anse det som dogmatiskt, men det är lika trivialt som " Varje nummer har en efterträdare. "
• Inte förnekar att Peano-axiomerna definitivt är en mycket trovärdig källa, men " det ' är sant eftersom det ' s sanna " är fortfarande ett konstigt argument att göra.