Var används Atiyah-Singer indexsats i fysik?

Rörelseekvationerna, eller ekvationerna av momentoner, eller solitoner, eller Einsteins ekvationer, eller nästan alla ekvationer i fysiken, är differentialekvationer. I många fall är vi intresserade av lösningsutrymmet i en differentiell ekvation. Om vi skriver den totala (möjligen icke-linjära) differentiella ekvationen av intresse som $ L (u) = 0, $ kan vi linjärisera nära en lösning $ u_0, $ dvs skriva $ u = u_0 + v $ och expandera $ L (u_0 + v) = 0 + L ’ | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $ för att konstruera en linjär ekvation $ D (v) = 0 $ i deplacementet $ v. $

En linjär differentialekvation är som en matrisekvation. Minns att en $ n \ gånger m $ matris $ M $ är en karta från $ R ^ n $ till $ R ^ m $ och $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ oberoende av den specifika matrisen (eller linjär transformation, mer generellt). Detta nummer kallas ”index”. I oändliga dimensioner är dessa siffror inte i allmänhet ändliga, men ofta (särskilt för elliptiska differenti ekvationer) är de och beror bara på viss ”global” information om de utrymmen de verkar på.

Indexteoremet berättar vad indexet för en linjär differentialoperatör ($ D, $ ovan) är. Du kan använda den för att beräkna dimensionen för lösningsutrymmet till ekvationen $ L (u) = 0. $ (När lösningsutrymmet är en mångfald [en annan berättelse] är dimensionen dimensionen av tangentutrymmet, som ekvationen $ D (v) = 0 $ beskriver.) Det säger inte dig vad det verkliga utrymmet för lösningar är. Den ”en svåra, olinjära frågan.

Kommentarer

• Jag antar att det ’ är ett trevligt matematiskt svar för fysiker som inte ’ inte redan vet uttalandet om indexsatsen. Men jag kan inte se något faktiskt fysiskt exempel. Vilket är synd, jag är säker på att Eric måste kunna många av dem .Jag vet att människor använder det i strängteori hela tiden. Men jag vet inte ’ för att ge ett eget svar.
• Indexsatsen är mycket allmänt och gäller alla de exempel jag citerade (instantons, solitons, Einstein ’ s ekvationer). Till exempel modulutrymmet för $ SU (2) $ instantons på de fyra -sfär $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ med konstant beteende vid oändlighet) med ögonblicksnummer $ k $ är lika med $ 8k – 3 $ av indexsatsen.
• Jo, du sa ” nästan alla ekvationer i fysik ” som strider direkt mot min vardag observation 🙂 Det jag hoppades på var några konkreta exempel som de Steve gav. Eller något liknande ditt instanton-exempel (jag tror att du menade $ S ^ 3 $ dock?). Jag skulle gärna se fler av dessa, särskilt kopplade till någon fysisk tolkning. Tack på förhand 🙂
• Det är det är sant att nästan alla fysiska ekvationer är en differentiell ekvation! Men inte alla leder till indexproblem. (Jag menade S ^ 4. Instantoner är tidsberoende fältkonfigurationer.) Ett exempel från strängteori, vars Feynman-diagram är tvådimensionella QFT-amplituder. Den 2d-fältteorin beskriver kartor från en yta till en rymdtid, och ögonblicken i den teorin är holomorfa kartor. Dimensionen på utrymmet för sådana kartor finns med en indexformel. För en CY är denna dimension noll, vilket innebär att du kan räkna lösningar (detta är relaterat till topologisk strängteori).
• +1 på det fina svaret och omnämnande av ögonblick. Men finns det faktiskt en tillämpning på Einsteins ’ ekvation? AFAIK indexsatsen kan tillämpas på linjära elliptiska operatörer …

Eric och andra har gett gott svar på varför man förväntar sig att indexsatsen ska uppstå i olika fysiska system. En av de tidigaste och viktigaste applikationerna är ”t Hoofts” upplösning av $ U (1) $ problemet. Detta hänvisar till avsaknaden av en nionde pseudo-Goldstone-boson (som pioner och kaoner) i QCD som man naivt kan förvänta sig från att kiral symmetri bryter. Det finns två delar i upplösningen. Den första är det faktum att den kirala $ U (1) $ är avvikande. Den andra är insikten att det finns konfigurationer av ändlig handling (ögonblick) som bidrar till korrelationsfunktioner som involverar divergensen mellan den axiella strömmen $ U (1) $. Analysen bygger starkt på indexsatsen för Dirac-operatören kopplad till $ SU (3) $ gauge-fältet för QCD. För en mer fullständig förklaring se S. Colemans ”Erice-föreläsningar” Användningen av ögonblick.”Det finns också viktiga applikationer till S-dualiteten $ N = 4 $ SYM som involverar indexsatsen för Dirac-operatören på monopolmodulutrymmen.

Kommentarer

• Jeff, håll dig på linjen! Jag tror att Physics Stack Exchange kan vara till hjälp för fysikgemenskapen om den används så vitt och så klokt som Math Overflow – t.ex. från människor som du!
• Tack Eric. Jag samlar det här har just startats om. Jag hoppas att det fungerar. Det har några sätt att gå innan det är MO-kvalitet.
• Faktiskt. Jag tror att det ’ s är nu en webbplats under utveckling (Theoretical Physics Stack Exchange) som syftar till att vara mer som Math Overflow, men den här har fördelen att den finns kvar.

Låt mig först förklara vad index ifrågasätter Om matematiken blir för full av jargong, låt mig veta det i kommentarerna.

I fysik är vi ofta intresserade av spektrum av olika operatörer på några grenrör vi bryr oss om. Exempelvis: Dirac-operatören på 3 + 1 rymdtid. I synnerhet finns den lågenergi långa avståndsfysiken i nollägena (marktillstånd).

Vad ”indexet” nu mäter för Dirac-operatören $ D $ och ett givet mångfald $ M $ är skillnaden mellan antalet vänsterhänt nollägen och antalet högerhänt nollägen. Mer tekniskt:

$$ ind \, D = dim \, ker \, D – dim \, ker \, D ^ {+} $$

där $ D $ är operatören i fråga, $ ker \, D $ är kärnan i $ D $ – den uppsättning stater som förintas av $ D $; och $ ker \, D ^ {+} $ är kärnan i dess anslutning. Sedan, som du kan se, $ ind \, D $ räknar skillnaden mellan dimensionerna för dessa två utrymmen. Detta tal beror bara på topologin på $ M $.

Kort sagt, ASI-teorem relaterar topologin för ett samlingsrör $ M $ till nollägen eller marktillstånden hos en differentiell operatör $ D $ som verkar på $ M $. Detta är uppenbarligen information som är relevant för fysiker.

Kanske någon annan kan utarbeta mer om de fysiska aspekterna.

Den bästa referensen för detta och andra matematiska fysikämnen är enligt min mening Nakahara .

I fallet med en Dirac-operatör, indexet är den (signerade) överdimensionen av vakuumlägen för en kiralitet w / r / t den andra: dvs antalet avvikande ”spöke” anger i en kiral fältteori.

Avvikelser uppstår när den klassiska / kvantsymmetriska korrespondensen bryts ner under renormalisering (en global anomali kan vara ansvarig för kvarkmassa i QCD; lösa den lokala kirala anomalin i SM-konton för kvarkar och leptoner; lösa det i supersträngteori fixar mätaren grupp [till antingen SO (32) eller E8 x E8], och upplösningen av en konform anomali fixerar rymdtidens dimension och fermioninnehållet). När man försöker förvandla strängteori till faktisk fysik frågar man

• Kan det förklara tre generationer av kirala fermioner?
• Kan det förklara experimentella resultat vid protonförfall?
• Kan det förklara elektronmassans litenhet?
• Kan det förklara [saker om den kosmologiska konstanten]?

och AST hjälper till att svara på dessa frågor.