<åt sidan class = "s-notice s-notice__info js-post-notice mb16 "role =" status ">
Denna fråga har redan ett svar här :
Kommentarer
- Gör du har du några tankar om detta själv? $ \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y) $ skulle vara fel – överväga en nästan säkert konstant icke-noll $ X $
- Nej sir. Jag vet att Var (XY) = E (X ^ 2 Y ^ 2) – (E (XY)) ^ 2 och E (XY) = E (X) E (Y) som X, Y är oberoende men ingen aning om X ^ 2 och Y ^ 2 är oberoende eller inte.
- Om $ X $ och $ Y $ är oberoende är $ X ^ 2 $ och $ Y ^ 2 $ också oberoende och $ E [X ^ 2Y ^ 2] = E [X ^ 2] E [Y ^ 2] $
- Allmänt produktfall här: stats.stackexchange.com/questions/52646 / … (produkten av 2 anges i frågan)
- Tack så mycket Glen_b
Svar
Du kan följa Henrys kommentarer för att komma fram till svaret. Ett annat sätt att komma till svaret är dock att använda det faktum att om $ X $ och $ Y $ är oberoende, då är $ Y | X = Y $ och $ X | Y = X $ .
Genom itererade förväntningar och variansuttryck
\ begin {align *} \ text {Var} (XY) & = \ text {Var} [\, \ text {E} (XY | X) \,] + \ text {E} [\, \ text {Var} (XY | X) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y | X) \,] + E [\, X ^ 2 \, \ text {Var} (Y | X ) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y) \,] + E [\, X ^ 2 \ , \ text {Var} (Y) \,] \\ & = E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} ( Y) E (X ^ 2) \ ,. \ end {align *}
Kommentarer
- $ E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) $ kan vara korrekt, men det är konstigt icke-symmetriskt som $ E (Y ^ 2) \, \ text {Var} (X) + \ text {Var } (Y) E (X) ^ 2 $ skulle vara. Jag skulle ha trott $ \ text {Var} (X) E (Y) ^ 2 + \ text {Var} (Y) E (X) ^ 2 + \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y ) $ skulle vara mer naturligt medan $ \ text {Var} (X) E (Y ^ 2) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) – \ text {Var} (X) \ text {Var } (Y) $ skulle också vara sant
- @Henry Tja, med $ E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2 $ får vi $ Var (XY) = E (Y) ^ 2Var (X) + Var (Y) Var (X) + Var (Y) E (X) ^ 2 $. Den ' s symmetriska.