Följande är en intervjufråga från Mark Joshi et al. Quant jobbintervju.
Fråga: Varför är Brownian motion användbar i ekonomi?
Jag kommer från en ren matematisk doktorandbakgrund (funktionell analys, särskilt Banach Space Theory). Jag skulle vilja ge mig ut i kvantfinansieringsindustrin efter min doktorsexamen.
Således har jag ingen aning om hur jag ska svara på frågan ovan, eftersom det verkar som om de flesta stokastiska kalkylböcker skulle handla om att tala om Brownian-rörelse men aldrig ge motiv.
Kommentarer
- Hej: En anledning är att det ' är en martingale och vissa är okej med att se loggpriser som en martingale. Därför kan BW vara en rimlig process att använda för modellering av ändringar i loggpriser. Faktum är att hela svarta scholes-ramverket bygger på det antagandet.
- standardbruniansk rörelse eller geometrisk brunrörelse?
- Jag antar att kan svara på båda?
- Den främsta användbarheten av BM och Ito Calculus i motsats till saker som diskreta slumpmässiga promenader är möjligheten för en derivatportfölj i ett sådant universum att säkras kontinuerligt.
Svar
Brownsk rörelse är helt enkelt gränsen för en skalad (diskret tid) slumpmässig gång och därmed en naturlig kandidat att använda. Det är mycket intuitivt och utan tvekan en av de enklaste och bäst förståda tidskontinuerliga stokastiska processerna. Glöm inte att du erhåller många fler stokastiska processer som funktioner för en (tidsförändrad) bruniansk rörelse. I många böcker om stokastisk beräkning definierar du först Ito-integralen med avseende på en Brownsk rörelse innan du utvidgar den till allmän antar att loggavkastning följer en bruniansk rörelse (med drift), kan du enkelt härleda lösningar i sluten form för optionspriser. Brownsk rörelse är dessutom Markovian och en martingale som representerar viktiga egenskaper i finans.
Brownian motion introducerades först av Bachelier 1900. Samuelson använde sedan exponentialen av en Brownian motion (geometrisk Brownian motion) för att undvika negativitet för en aktiekursmodell. Baserat på detta arbete hittade Black och Scholes sin berömda formel 1973.
Kommentarer
- Det här ser ut som svaret de vill att du ska ge i en intervju. Ett varningsord eftersom du har en ren matematisk bakgrund. Alla dessa modeller antar att olika kvantiteter ar e Gaussisk normalt distribuerad. Verkliga data är inte. Huruvida modellerna fortfarande är användbara eller inte är exakt frågan de borde vilja anställa en ren matematisk doktorsexamen för.
- Men varför är en slumpmässig promenad en naturlig kandidat för modellering av tillgångar? Svaret är en ekonomisk fråga snarare än en matematisk fråga (om avkastningen skulle kunna vara " förutsagt ", skulle handel ske så att avkastningen skulle inte längre vara " förutsägbar ")
Svar
Fysiska objekt rör sig enligt enkla smidiga kurvor som kan representeras av lågordenspolynom: en rak linje, en parabel, en ellips etc.
Priserna på de finansiella marknaderna på ett helt annat sätt, vilket kan ses genom att titta på valfri graf över aktiekurser, räntor etc. i en tidning: det finns konstanta, oregelbundna fluktuationer, ibland i en riktning, ibland i den andra, ibland små och ibland stora, som ger kurvan ett grovt, slumpmässigt utseende. Brownian Motion är en lämplig modell för denna typ av kurva.