Jag gjorde den här frågan för att beräkna det elektriska fältet vid en viss punkt i en sfär (längd $ r $ bort från centrum), där laddningstätheten ges av en ekvation. När jag kollade lösningen på den här frågan sa den att beräkna elementär laddning $ dQ $ för sfärens elementvolym $ dV $ med hjälp av laddningstäthetsekvationen. Det står att volymen mellan två koncentriska skal inom sfären, på avstånd $ r $ och $ r + dr $ är
$$ dV = \ frac {4 \ pi (r + dr) ^ 3} {3} – \ frac {4 \ pi (r) ^ 3} {3} = \ frac {4 \ pi (3r ^ 2dr + 3rdr ^ 2 + dr ^ 3))} {3}. $$
Nu, varför är detta lika med $ 4 \ pi r ^ 2dr $?
Kommentarer
- Den heuristiken som används i denna beräkning är att , eftersom $ dr $ är väldigt liten, kvadrerar eller kuberar det det mycket mindre. Därför är termerna $ 3rdr ^ 2 $ och $ dr ^ 3 $ försumbara och kan bara tappas.
- Detta har absolut ingenting att göra med fysik! Fråga på en matematik q & en webbplats. Egentligen gav @sourisse dig rätt svar.
- Jag tycker att det här är ganska relevant för fysiken, det är en approximation / metod / verktyg som används mycket i fysik, t.ex. elektrostatik, gravitation, solid state etc etc etc
- BTW du kan också tänka på $ 4 \ pi r ^ 2 dr $ som volymen på ett sfäriskt skal med radie $ r $ och tjocklek $ dr $ – bara yta område multiplicerat med tjocklek
- @FraSchelle Jag tror att om du frågade detta på matematik.stackexchange, skulle du riktas hit …
Svar
Sourisses kommentar svarar på din fråga, men bara för ordens skull kommer jag att utöka det här som ett Wiki-svar. Observera att detta är en fysikers svar – alla matematiker som är närvarande skulle vara klokt att avvärja blicken nu.
Kom ihåg att när vi säger att volymelementet är:
$$ dV = 4 \ pi r ^ 2 dr \ tag {1} $$
Vi pratar om gränsen där $ dr \ rightarrow 0 $. Om $ dr $ är extremt liten är $ dr ^ 2 $ är extremt extremt liten och $ dr ^ 3 $ är extremt extremt liten. Så i gränsen för $ dr \ rightarrow 0 $ kan vi helt enkelt ignorera de högre krafterna och din fulla ekvation blir till ekvation (1).
Kommentarer
- Sir det här är samma sak som vi lärde oss, men finns det något sätt att använda termerna $ (dr) ^ 2 $ eller något högre kraft i beräkning eller integration? Tack så mycket!
Svar
$ v = \ dfrac {4} { 3} \ pi r ^ 3 $
Differentierar med avseende på $ r $
$ \ dfrac {dv} {dr} = 4 \ pi r ^ 2 $
$ dv = 4 \ pi r ^ 2 dr $
Kommentarer
- rätt på! det här är typen av elem entary " trick " alltför ofta glömt. Synd att du ' inte kan få $ \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $ faktor från $ 4 \ pi $ på detta sätt.