Varför är det elektriska fältet noll där ekvipotentialytor skär varandra?

Först och främst, låt oss rensa luften med ett enkelt exempel som visar det önskade beteendet (och som i huvudsak är isomorf för de flesta icke-privata fall). i synnerhet följande påstående:

Potentialen $ V (x, y, z) = V_0 \, xy $ är en helt giltig elektrostatisk potential, och det kan mycket naturligt ses som att ha två ekvipotentiella ytor ($ yz $ -planet och $ xz $ -planet) som skär varandra längs en linje.

Det exemplet kan skaka den vanliga intuitionen att ekvipotentialytor, som fältlinjer, aldrig korsar, men det kontrollerar perfekt – och det överensstämmer med din professors påstående att det elektriska fältet, $$ \ mathbf E = – \ nabla V = -V_0 (y \, \ hat {\ mathbf x} + x \, \ hat {\ mathbf y}), $$ van ishes vid skärningspunkten $ x = y = 0 $.

(För de som vill förlänga kuvertet lite längre: detta generaliseras naturligtvis till skärningspunkten mellan valfritt antal $ n $ av ekvipotentialytor längs en genom att helt enkelt ändra till $ n $ -polärpotentialen $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ höger] \ mathclose {} $.)

Så, vad händer, eller hur tillhandahåller vi riktigt matematiskt kött till påståendet?

Tja, låt oss börja med att definiera ekvipotentialytor: en yta $ S: (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ till \ mathbb R ^ 3 $ är en ekvipotential av den elektrostatiska potentialen $ V : \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R $ iff $ V (S (u, v)) = V_0 $ är konstant för alla $ (u, v) \ i D $. Dessutom vet vi att när som helst $ \ mathbf r = S (u, v) $ på ytan, det elektriska fältet $ \ mathbf E = – \ nabla V $ har en noll inre produkt med vilken vektor som helst som ligger inom tangentplanet $ TS_ \ mathbf r $ till yta vid $ \ mathbf r $, som en följd av att kurvor $ \ gamma: (a, b) \ till D $ och differentierar konstantitetsrelationen $ V (S (\ gamma (t))) \ ekviv V_0 $ med hänsyn till till parametern $ t $, vilket ger $$ – \ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ för alla vektorer $ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $. Eftersom detta plan är tvådimensionellt och rymden är tredimensionellt drar vi slutsatsen att det finns en unik normal riktning $ \ hat {\ mathbf n} $ mot ytan och att $ \ mathbf E $ behöver vara parallell med det normala (eller möjligen noll), men kärnresultatet är att $ \ mathbf E $ ”s-komponenten längs vilken riktning som helst inuti tangentplanet måste försvinna.

OK, så låt oss nu ta upp ante och överväga två olika ytor $ S_i : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, som korsar någon gång $ \ mathbf r_0 $, och låt oss också bestämma att båda ytorna är ekvipotentialer på $ V $.

Strax utanför fladdermusen kan vi dra slutsatsen att potentialen vid alla punkter på båda ytorna måste vara lika med samma konstant, eftersom $ V = V (\ mathbf r) $ är en (envärderad ) -funktion. Om det är lika med $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ för $ \ mathbf r_0 \ i S_1 $, måste det vara lika med $ V_1 $ i hela $ S_1 $ – men $ \ mathbf r_0 $ är också i $ S_2 $, så $ V $ måste också motsvara $ V_1 $ i hela $ S_2 $. Detta är förmodligen vad din professor pratade om i påståendet att du rapporterar som

Han hävdade också att två ekvipotentialytor inte kan korsas eftersom det skulle ge två olika potentialer vid samma tidpunkt,

men som sannolikt skulle vara mycket närmare

två ekvipotentialytor med en annan potential kan inte korsas eftersom det skulle ge två olika potentialer vid samma punkt.

Det är den lätta biten.Låt oss nu säga något icke-trivialt: hur är det med det elektriska fältet vid korsningen?

Låt oss börja med det enkla fallet först och anta att ekvipotentialerna har en korrekt dimension – en korsning längs en kurva, vilket innebär att tangentplanen vid de två ytorna skär varandra vid en punkt och längs korsningen, och var och en av dem kommer att ha en separat, linjärt oberoende riktning som inte tillhör den andra plan.

Detta låter oss sedan ta in verktygen vi utvecklade tidigare: vi vet att $ \ mathbf E $ måste ha försvinnande inre produkt med vilken vektor som helst som ligger inuti antingen tangentplanet, förutom att vi nu har tre linjärt oberoende vektorer $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $ och $ \ mathbf e_3 $ att försvinna mot, en längs korsningen och en annan oberoende vektor längs varje plan. Det enda sättet att någon vektor $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $ kan tillfredsställa $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ för linjärt oberoende $ \ mathbf e_i, $ är för $ \ mathbf v = 0 $ . Det är här som din professors påstående kommer ifrån.

Slutligen, låt oss ta itu med det lite mer patologiska fall du nämner i slutet av din fråga:

Varför kan det inte bara finnas två olika ekvipotentialytor med samma potential som […] berör?

Det här är inte en dålig fråga, och svaret är i huvudsak att detta kan hända, men omständigheterna under vilka det händer är så patologiska att vi mestadels är redo att kasta ut barnet med När vi säger ”två ytor korsar” menar vi normalt att de har en dimension-en skärningspunkt längs en kurva. Om vi vill låta ytorna röra vid, eller har något liknande patologiskt beteende, kommer vi uttryckligen att notera att . (Matematiker är lite mer försiktiga med sitt språk, men då gör fysiker mer intressanta saker och du kan inte slösa bort tid med att fiska med mindre detaljer.)

Hur som helst, om du vill ha en potential med två ekvipotentialer som beröring vid en enda punkt, det renaste exemplet jag kan tänka mig är $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$ där potentialen $ V (\ mathbf r) = 0 $ är två cirkulära paraboloider som rör vid sin topp. Denna är inte en lösning av Laplace-ekvationen, vilket innebär att det inte är en rimlig potential i fritt utrymme, men du kan bara ställa in laddningstätheten $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $, så får du en rimlig fördelning. Om du vill spara pengar på det är det bättre att välja $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$ för vilken laddningstätheten $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $ är extremt rimligt, och som byter ut en av paraboloiderna för $ z = 0 $ -planet.

Nu, för båda dessa exempel, du ha en ganska hög ordning polynom som din potential, och det elektriska fältet försvinner vid potentialutjämningens skärningspunkt. Om du vill ha något med att röra ekvipotentialer och ett nollfritt elektriskt fält där, är det närmaste som jag kommer fram till på ett rent sätt att kombinera de två exemplen ovan och ge tre ekvipotentialer (de två paraboloiderna och $ xy $ -planet) möte vid en punkt, $$ V (x, y, z) = \ vänster (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ höger) z, $$ med $ V (0,0, z ) = z ^ 3 $ beroende längs $ z $ axeln, och sedan räkna ut det genom att ta en kubrot och ge $$ V (x, y, z) = \ vänster [\ vänster (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ höger) z \ höger] ^ {1/3}, $$ som har samma berörande potential som ovan men nu har det ett konstant elektriskt fält $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ på alla poäng $ (0,0, z) $ med $ z \ neq 0 $. Tyvärr kan du emellertid ”t verkligen dra slutsatsen att det elektriska fältet där är noll, eftersom gränserna till $ \ mathbf r \ to0 $ längs $ z $ axeln och längs $ xy $ planet don ”t pendlar – och faktiskt, $ \ nabla V $ skiljer sig överallt på $ xy $ -planet.

Jag ritar här det ekvivalenta landskapet när det skärs längs $ xz $ -planet för att ge en idé av den typ av patologisk struktur som du kommer att pressas till genom att överväga denna typ av fall:

^{Källa: Importera [” http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m ”] [” http://i.stack.imgur.com/0snLs.png ”]}

Den skarpa klippan vetter mot ekvipotentialerna i 3D-vyn på $ V (x, 0, z) $ är tydliga markörer för det faktum att det elektriska fältet är oändligt överallt vid $ V = 0 $ ekvipotentialer, med det ensamma undantaget för ursprunget när det närmar sig från $ z $ -axeln. / p>

Hur som helst, det är den typ av pris du behöver betala för att ha De ekvipotentialer som rör utan att det kräver ett nollfält vid beröringspunkten för att hålla allt snyggt och smidigt. I allmänhet kastar du bara dessa fall genom dekret genom att kräva en regelbunden korsning.

Elektriskt fält definieras som (negativ) gradient för elektrostatisk potential.Det kan därför inte finnas något elektriskt fält längs linjen / ytan som definieras av en ekvipotential.

Det betyder att det enda elektriska fältet som tillåts vid en punkt på en ekvipotential måste vara vinkelrätt mot ekvipotential yta, annars skulle den ha en komponent som inte är noll längs ytan.

Om det finns två olika korsande ekvipotentialer är det enda giltiga elektriska fältet noll, eftersom alla fält som inte är noll har ett icke -nollkomponent längs minst en av ekvipotentialerna.

Ett undantag verkar vara där ekvipotentialytorna är parallella vid deras korsning.

Kommentarer

• Jag ’ har försökt, och hittills misslyckats, att producera en potential med ekvipotentialer som berör vid en enda punkt med parallella normaler och som ändå producerar en icke-noll elektrisk fält där. Kan du se igenom den?
• @ Rob skrapa det, jag hittade ett exempel – men det ’ är inte precis den enklaste funktionen jag ’ har någonsin sett. Jag misstänker att man kan visa att vidröra ekvipotentialer med ett icke-noll elektriskt fält kräver den typen av patologiskt beteende, men jag ser inte ’ hur du ’ d bevisar att (eller, faktiskt, varför du ’ bryr dig tillräckligt för att spendera mycket tid på att försöka göra det).

Två ekvipotentialytor kan inte korsas. Riktningen för det elektriska fältet vid vilken punkt som helst på en ekvipotentialyta är vinkelrätt mot yta vid den punkten. Om två ekvivalenta ytor skulle korsas, skulle det elektriska fältet vid skärningspunkterna vara vinkelrätt mot både den första ytan och den andra ytan vid dessa punkter … med andra ord, om två ekvipotentialytor kunde korsas, du skulle ha det elektriska fältet som pekar i två riktningar vid varje skärningspunkt … en pekar vinkelrätt mot den första ytan, den andra pekar vinkelrätt mot den andra ytan. Detta är omöjligt.

Kommentarer

• Om inte fältet är noll vid skärningspunkten?
• Den potentiella $ V ( x, y, z) = V_0 xy $ är en helt giltig elektrostatisk potential, och det kan mycket naturligt ses som att ha två ekvipotentialytor ($ yz $ -planet och $ xz $ -planet) som skär varandra längs en linje. li>
• Mycket intressant … Jag ’ måste dra ut Griffith ’ s bok över helgen och göra lite granskning … Haven ’ t studerade elektrostatik sedan jag tog examen i maj.

För om de skulle korsas är riktningen för det elektriska fältet tvetydigt så det är inte möjligt.

Kommentarer

• Otvetydig ? Varför är det ett problem?
• Ja, det är tvetydigt inte entydigt som ditt svar säger.

Han hävdade också att två ekvipotentiella ytor inte kan korsas eftersom det skulle ge två olika potentialer samtidigt punkt.

Tänk på det elektriska fältet och potentiella ytor på en elektrisk dipol

Bildkredit

Ingen av de ekvipotentiella ytorna skär varandra. Ytornas densitet är också störst längs linjen mellan och genom de två laddningarna.

Tänk nu på dessa ekvipotentialytor i gränsen för en idealisk elektrisk dipol.

Bildkredit

För konstant dipolmoment måste laddningen (plus / minus) öka när separationsavståndet minskar, tätheten hos de ekvipotentiella ytorna längs linjen genom ytan måste avvika i gränsen; det verkar som alla de ekvipotentiella ytorna måste korsas på platsen för den ideala dipolen och det elektriska fältet är singular där.

Kommentarer

• Jag förstår din poäng, eftersom sfärerna inte är potentialutjämnande är det inte uppenbart att det finns oändligt många potentialutjämningar som passerar genom kontaktpunkten … Jag vet inte ….
• @ValterMoretti, OK, så två icke-ledande sfärer, var och en med fast, enhetlig laddningstäthet av motsatt tecken och identiska radier och symmetriskt placerade ovanför och under xy-planet längs z-axeln men inte vidrör planet. Detta luktar som en metod för bildtypproblem och i så fall är x-y-planet nollpotentialytan?Då omger de positiva (negativa) ekvipotentialytorna den positivt (negativt) laddade sfären och när sfärerna närmar sig pressas de ytorna ’ ’ tillsammans längs linjen genom mitten av sfärerna som äntligen rör ihop?
• Nåväl, nu tror jag att ekvipotentialytor som skiljer sig från separeringsplanet går in i (icke-ledande) sfärer och mitt exempel gör inte arbete: när sfärer berörs ihop finns det bara en potentialutjämning genom kontaktpunkten. Så mitt exempel fungerar inte.
• @ValterMoretti, jag undrade bara om potentialen kunde komma in i sfärerna och jag började titta igenom Jackson när din kommentar kom in.
• Ja den ekvipotentialytor måste komma in i sfärerna: ta vilken punkt som helst inuti vänster sfär, där försvinner det elektriska fältet på grund av själva sfären. Det elektriska fältet inuti det vänstra sfärfältet beror därför helt på höger sfär och det är detsamma som det för en punktladdning centrerad utanför den vänstra sfären. Det är uppenbart att de ekvipotentiella ytorna kommer in i vänster sfärer på detta sätt. Jag tänkte här på ytligt laddade sfärer! Om laddningen är i volym? Jag vet inte