Varför är gravitationspotentialenerginegativ, och vad betyder det?

Om negativa energier: de ställer inga problem:

I det här sammanhanget är det bara energiskillnader som har betydelse. Negativ energi dyker upp för att när du har gjort integrationen har du ställt in en punkt där du ställer in din energi till 0. I det här fallet har du valt att $ PE_1 = 0 $ för $ r = \ infty $. Om du har ställt in $ PE_1 = 1000 $ till $ r = \ infty $ var energin positiv för vissa r .

Minustecknet är dock viktigt eftersom det säger att testpartikeln tappar potentiell energi när flyttar till $ r = 0 $, detta är sant eftersom det accelererar och orsakar en ökning av $ KE $:

låt oss beräkna $ \ Delta PE_1 $ för en partikel som rör sig i riktning av $ r = 0 $: $ r_i = 10 $ och $ r_f = 1 $:

$ \ Delta PE_1 = PE_f – PE_i = Gm (-1 – (-0.1)) = -Gm \ times0 .9 < 0 $

som förväntat: vi förlorar $ PE $ och vinner $ KE $.

Andra punkten: ja, du har rätt. Det är dock bara sant om de är punktpartiklar: har de normalt en bestämd radie, kolliderar de när $ r = r_1 + r_2 $, vilket orsakar en elastisk eller oelastisk kollision.

Tredje punkt : du har rätt med $ PE_2 = mgh $, men igen väljer du en viss referens: du antar $ PE_2 = 0 $ för $ y = 0 $, vilket enligt den tidigare notationen betyder att du ställer in $ PE_1 = 0 $ för $ r = r_ {earth} $.

Det mest jag viktig skillnad nu är att du säger att en ökning av h rör sig längre i r (om du är högre är du längre bort från jordens centrum).

Genom att göra analogin med föregående problem, föreställ dig att du vill få $ \ Delta PE_2 $. I det här fallet börjar du med $ h_i = 10 $ och du vill flytta till $ h_f = 1 $ (flyttar i riktning mot jordens centrum, som $ \ Delta PE_1 $:

$ \ Delta PE_2 = PE_ {f} – PE_ {i} = 1 mg – 10 mg = -9 mg < 0 $.

Som förväntat förlorar vi $ PE eftersom vi faller $ och att vinna $ KE $, samma resultat har $ PE_1 $

Fjärde punkten: de representerar båda samma sak. Skillnaden är att $ gh $ är den första termen i Taylor-serien av expansionen av $ PE_1 $ nära $ r = r_ {Earth} $. Som övning, försök att expandera $ PE_1 (r) $ i en taylor-serie och visa att linjär term är:

$ PE_1 = a + \ frac {Gm (r-r_ {earth})} {r_ {earth} ^ 2} $.

Dem beräknar numeriskt $ Gm / r_ {earth} ^ 2 $ (kom ihåg att $ m = m_ {earth} $). Om du inte har gjort det redan, antar jag att du kommer att bli förvånad.

Så, från vad jag förstått är din logik helt korrekt, förutom två viktiga punkter:

• energi definieras bortsett från ett konstant värde.

• i th e $ PE_1 $, ökning r betyder minskning $ 1 / r $, vilket innebär att öka $ PE_2 = -Gm / r $. I $ PE_2 $, ökar h betyder ökning $ PE_2 = mgh $.

Kommentarer

• Ah, jag förstår, tricket är att det ’ ett relativt värde – Jag tänker på energi som något absolut (även om kinetisk energi ändras beroende på din referensram) . Jag antar att vi ’ d gillar att ställa in PE = 0 när r = 0, men tyvärr, enligt ekvationen skulle det ta oändlig energi att dra partiklarna isär! Så jag antar att PE = 0 när r = ∞ är det enda andra rimliga valet. Allt är vettigt nu – tack!
• Formeln ändras också i en icke-punktmassa, så gränsen $ r \ till 0 $ är ändlig.

Jag kommer först (1) att sammanfatta skillnaderna mellan definitionerna av PE1 och PE2 och sedan kommer jag (2) att jämföra de två.

(1) Först, som detta svar på ”Varför är gravitationell energi negativ?” säger , PE1 definierar den potentiella energin hos en massa kropp m i gravitationsfältet för en massa M som den energi (arbete) som krävs för att ta den från sin nuvarande position $ r $ till oändlighet. PE1 antar att $ r = \ infty $ är $ PE = 0 $ $$ PE1 = \ frac {−GMm} {r} $$

PE2, å andra sidan, definieras som det negativa av arbete utfört av tyngdkraften för att lyfta en massa kropp m från planetens yta till en höjd h ovanför planeten.

$$ PE2 = -W = -Fdcos \ theta = mgh $$

PE2 har en annan referensram än PE1 , eftersom det antar $ PE = 0 $ vid $ r = R $, eller på jordens yta. Och mycket viktigt är att PE2 endast används när ett -objekt ligger nära ytan på en planet , när $ h < < < R $ (R är planetens radie) och g kan antas vara konstant:

$$ g = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} \ approx \ frac {GM} {R ^ 2} $$

(2) OK, nu för att jämföra de två. Även om referensramarna för PE1 och PE2 är olika bör $ | \ Delta PE | $ mellan två punkter säkert vara desamma. Låt oss säga att de två punkterna är planetens yta och höjden h ovanför planeten.

PE1 säger $ | \ Delta PE | = mgh -mg (0) = mgh $

PE2 säger $ | \ Delta PE | = \ frac {-GMm} {R + h} – \ frac {-GMm} {R} = GMm \ left ( \ frac {1} {R} – \ frac {1} {R + h} \ höger) = GMm \ vänster (\ frac {h + RR} {(R) (h + R)} \ höger) = \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} $

och eftersom $ h < < < R $, $ \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} \ approx \ frac {GMmh} {R ^ 2} = mgh $

Och alltså, PE1 och PE2 representerar båda samma energiform, men vi måste komma ihåg referensramarna och användningsvillkoren när vi använder dem.

Hoppas det hjälper !! Fred.

Det beror på att tyngdkraften är attraktiv och arbetet utförs av själva tyngdkraften. När systemet fungerar själv är tas som negativt och när arbete utförs av extern byrå med systemenergi är lika positivt.

Jag tror att det bara är en preferens.

Vi kan se gravitationspotentialen vara positiv , som representerar den energi som ”investerats” i vår position i förhållande till ett massivt objekt. Vi kan ”återfå” den energin (öka kinetisk energi) genom att gå närmare objektet, vid vilken tidpunkt vi har sänkt den mängd energi vi kan få genom att flytta ytterligare.Så potentiell energi minskar när vi närmar oss (närmar oss noll energi på noll avstånd), ökar när vi rör oss längre bort och summan av PE och KE är konstant.

Men vilket värde är konstanten? När vi är väldigt långt ifrån det massiva föremålet borde vi ha mycket mycket potentiell energi. Men även när vi ”är ganska nära det massiva föremålet, är vi” väldigt mycket långt ifrån alla andra massiva föremål i universum och borde därför ha mycket mycket stora gravitationspotentialenergier i förhållande till alla dessa föremål. Vi kan ungefär beräkna ett värde för KE + PE genom att bara beakta de mest relevanta objekten (de närmaste och / eller största), men vårt ungefärliga värde växer bara och växer och växer när vi försöker få mer exakta approximationer genom att inkludera mindre och mer -distanta objekt i vår kategori av ”relevanta” objekt. Så vår KE + PE-konstant är något omöjligt stort värde som vi aldrig riktigt kan beräkna eller uppskatta som något specifikt värde. På vissa sätt spelar det ingen roll att vi aldrig kan hävda ett värde, eftersom skillnader av energier är allt vi verkligen behöver arbeta med, och vi kan fortfarande beräkna dessa (genom att anta att vår PE i förhållande till allt annat i universum bara har förändrats försumligt när vi rör oss nära det massiva föremålet vi överväger). Men det verkar otillfredsställande.

Å andra sidan istället av att betrakta PE som en positiv kvantitet energi ”investerat” i vår position (energi som vi ”redan har” spenderat ”om vi skulle flytta oss bort från det massiva föremålet, som vi kan vinna genom att närma oss närmare), kan vi istället betrakta det som ett kvantitet energi som vi ”är skyldiga” på grund av vår position (energi vi ”har fått” gratis ”om vi närmade oss objektet från oändligheten, som vi måste” spendera ”för att fly till oändligheten igen.

Alla beräkningar av energi skillnader fungerar likväl. Men nu går vår PE i förhållande till ett objekt till noll när vi kommer väldigt långt ifrån objektet. Detta innebär att när vi kan beräkna en approximation av vår KE + PE-konstant genom att bara beakta de mest relevanta objekten, och när vi försöker få bättre approximationer genom att inkludera mindre och mer avlägsna objekt i vår beräkning blir effekterna av dessa ytterligare objekt närmare och närmare noll. Så vi kommer med ett verkligt antal som vi med rätta kan säga är värdet för vår KE + PE-konstant.

faktum att gravitationspotentialenergi som med alla potentiella energier hos attarktiska krafter är negativ baseras på det faktum att vi vill anta att när partiklarna är i oändligheten i förhållande till varandra och i vila har systemet noll total energi. Tänk om detta inte var fallet och ett system med två partiklar vid oändlig separation vid vila skulle tas för att ha en nettoenergi, då skulle det uppstå en viss förvirring om energi associerad med vilmassan. Systemets totala energi skulle då inte vara $ E = Mc.c $ där $ M $ är summan av två massor. Varifrån skulle då denna extra energi komma?

Det är fel att betrakta gravitationspotentialen som negativ – tho vanligt.

Det stora misstaget är att tilldela PE vid oändlighet = 0. Detta är helt klart fel – P.E. är tydligt 0 vid 0 separering och stor vid stora separationer. P.E. av föremål långt ifrån varandra måste vara summeringen av P.E. för det första ordet 100 ”av separering plus P.E. för det andra 100” av separation plus — P.E. för varje 100 ”tills hela separationen redovisades. (Jag kommer att uttrycka detta som en integral efter att jag har borstat min räkning.) Nämligen PE INCEESES när separationen ökar – börjar vid 0 utan någon separation.

Många gör ett stort misstag när de anser att gravitationell potentiell energi är negativ!

Kommentarer

• Med fältet från en punktkälla som lyder det omvända -kvadratisk lag, kraften är proportionell mot $ r ^ {- 2} $ och potentialen (och den potentiella energin) är därför proportionell mot $ r ^ {- 1} $. Den linjära $ P = mgh $ är bara en approximation för små avståndsändringar.
• @ HDE226868 Menade du att kommentera ett annat svar?
• @diracula Nej – jag borde ha gjort mig tydligare. Jag visade matematiskt varför potentialen energi försvinner i oändlighet snarare än att växa till oändlighet; eftersom $ r \ till \ infty $, $ r ^ {- 1} $ går till $ 0 $.