Tänk på följande enkla Atwood-maskin med en idealisk remskiva och en ideal sträng
Enligt min lärobok är spänningen på klämman som håller maskinen mot väggen lika med $ 2T $. Jag förstår inte varför det är. Spänningen i $ T $ i strängen är lika stor som $ m_1g + m_1a = m_2g – m_2a $, förutsatt att $ m_1 $ accelererar uppåt.
, massacceleration i en atwood-maskin ges av
$$ a = \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} $$
Ersätter detta i får vi spänningen lika med
$$ T = m_1g + m_1 \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} = m_1g \ left (1 + \ frac {m_2 – m_1} {m_2 + m_1} \ right) = \ frac {2m_2m_1g} {m_1 + m_2} $$
Så enligt min lärobok ska spänningen på remskiva vara:
$$ 2T = \ frac {4m_1m_2g} {m_1 + m_2} $$
Men är inte alla dessa krafter interna krafter? Om vi betraktar hela atwood-maskinen som systemet (exklusive klämman) är de enda krafterna som verkar på den tyngdkraften, $ (m_1 + m_2) g $ och spänningen i klämman, $ T_c $. Eftersom systemet är i vila
$$ T_c = (m_1 + m_2) g $$
Har jag rätt, eller är det något fel i mitt argument?
Kommentarer
- Du hittade $ T $, och textboken har samma ekvation multiplicerad med faktorn 2. Det finns inget problem här.
- Tips: Systemet är inte i vila.
- Nick ' svaret är komplett men jag gillade din fråga eftersom den visar ansträngningen att förstå PRINCIP under beräkningar. Så det är ' enligt min mening viktigt att förstå varför systemet inte är ' t i vila.
- Sant, varje beräkning borde inte bara kolla in matematiskt, utan den fysiska tolkningen är också en mycket väldigt viktig del! Så när det gäller frågan sa jag ' bra jobb och fortsätt det goda arbetet!
- Om det hjälper kan du visa att mitten av fmassan av de två massorna $ m_ {1} $ och $ m_ {2} $ accelererar nedåt, och även om det ser ut som att stödet håller hjulet stadigt, låter det faktiskt hjulet / masssystemet accelerera nedåt på grund av detta.
Svar
Ditt resultat gäller när de två massorna är desamma, i så fall $ a = 0 $ och du skulle ha det:
$ T = m_1 g = m_2 g $.
Eller:
$ 2T = 2m_1 g = 2m_2g = (m_1 + m_2) g $.
Om massorna inte är desamma accelererar båda massorna, vilket i sin tur applicerar ger en lägre kraft på remskivsystemet (och på klämman).
Detta kan enkelt kontrolleras med din formel för spänningen!
$ T = \ frac {2m_1m_2g} {m_1 + m_2}, $
Om jag skulle definiera den totala massan som: $ M = m_1 + m_2 $, då kunde jag uttrycka $ T $ som:
$ T = \ frac {2m_1 (M-m_1) g} {M} = \ frac {2g} {M} (m_1 (M-m_1)). $
Du kan kontrollera om du planerar $ T $ som en funktion av $ m_1 $, att den når ett maximum i $ m_1 = M / 2 $, vilket betyder att spänningen blir maximal om de två massorna är lika, blir spänningen:
$ T = \ frac {Mg} {2} = \ frac {(m_1 + m_2) g} {2} $,
eller som du tänkte:
$ 2T = (m_1 + m_2) g $
För fullständighetens plot av spänningen i funktion av massan $ m_1 $ i termer av dimensionlösa kvantiteter.
På denna plot kan du lätt se att om $ m_1 = 0 \ Rightarrow m_2 = M $ eller $ m_1 = M \ Rightarrow m_2 = 0 $, att det inte finns någon spänning eftersom en av de två massorna skulle vara fri faller. I de mellanliggande fallen skulle det finnas spänning eftersom det finns ett ”” drag ”” på båda sidor av strängen, ju mer massorna $ m_1 $ och $ m_2 $ är lika med varandra, desto mindre rörelse finns och desto mer drag finns strängen.
Kommentarer
- Om mitt argument var felaktigt kan det bara betyda att systemet inte är i vila. Men hur kan du säga att systemet inte är i vila?
- I ovanstående fall har vi en friktionsfri remskiva med en masslös sträng. Det enda sättet som systemet kan vila på är när de två massorna är lika (i din beräkning är ' det enda fallet när accelerationen är lika med noll). När detta är fallet drar båda massorna med lika kraft i båda ändarna av strängen. Observera att detta inte ' t nödvändigtvis innebär att systemet är i vila, det kan också röra sig med konstant hastighet!
- @Gerard Om du skulle lägga till massa till sting och / eller friktion till pully, då kan det finnas andra situationer där systemet är / blir i vila.
- Det ' är inte sant att den förblir på samma plats.Dess masscentrum accelererar för även om m_1 går uppåt och m_2 nedåt är massorna olika så att de har en annan " vikt " i den globala rörelsen. Så om m_2 > m_1 och m_2 accelererar nedåt, så går massacentret nedåt.
- @Gerard: Höger, lägg märke till det för ditt ändamål (dvs. total kraft som verkar på systemet) vila eller rörelse är inte det du ' du verkligen letar efter. Jag ' har varit slarvig med att bara berätta: " systemet är inte i vila " . Vad ' är viktigt är totalacceleration och i detta fall ' skiljer sig från 0. En rörelse med konstant hastighet behöver ingen kraft som verkar på systemet. Jag ' slutar här eftersom vi ' missbrukar lite utrymme för kommentarer.
Svar
Systemet är inte i vila. Om du anser att massorna och remskivan är ett system kan du förstå systemets beteende genom dess masscentrum. Om inte massorna är lika, är inte systemets masscentrum i vila.
Det kan vara bra att tänka på det på detta sätt – Inuti systemgränsen rör sig massan $ m_1 $ ner genom ett avstånd medan massan $ m_2 $ rör sig upp på samma avstånd. Så masscentrum har flyttat ner (eller upp beroende på om $ m_1 > m_2 $).
Så, spänningen skulle ges av ekvationen:
$$ (m_1 + m_2) a_ {cm} = (m_1 + m_2) g – T_c $$
Du kan vidare räkna ut det
$ a_ {cm} = a (m_2-m_1) / (m_1 + m_2) $, där a är värdet på accelerationen av massan $ m_1 $ som du nämnde.
Anslut den till ekvationen och du kommer att finna att:
$ T_c = \ frac {4m_1m_2} {m_1 + m_2} {g} $
Kommentarer
- Så här kommer jag att försöka lära ut detta problem. Tack.
- Någon chans att du eller @Nick skulle kunna kommentera lösningen i form 4g * mu? Jag vet att det kan vara utanför räckvidden av problemet, men när jag ser sådana anslutningar försöker jag förstå dem.
Svar
Där är verkligen en brist i ditt argument. Kort sagt, spänningen på remskivans lås krävs bara för att avbryta den totala tyngdkraften på systemet när allt är i jämvikt ibrium och det finns ingen acceleration. Men om massorna är obalanserade kommer den ena att falla och den andra kommer att stiga, och det är inte klart att detta kommer att hålla den totala kraften på samma värde som det balanserade fallet.
Faktum är att du kan kontrollera att när de två massorna är lika då sammanfaller svaren: rätt spänning på remskyddet är $$ T_ \ text {lås} = 2T = \ frac {4m ^ 2} {m + m} g = 2 mg = (m + m) g. $$