Till Xi ”är en första punkt: När du pratar om $ \ sigma $ -algebror, du frågar om mätbara uppsättningar, så tyvärr måste varje svar fokusera på måttteori. Jag kommer dock försöka bygga upp det försiktigt.

En teori om sannolikhet att tillåta alla delmängder av oräkneliga uppsättningar kommer att bryta matematiken

Tänk på detta exempel. Antag att du har en enhetsfyrkant i $ \ mathbb {R} ^ 2 $ , och du är intresserad av sannolikheten att slumpmässigt välja en punkt som är medlem i en specifik uppsättning i enhetsfyrkant . Under många omständigheter kan detta lätt besvaras baserat på en jämförelse av områdena i de olika uppsättningarna. Vi kan till exempel rita några cirklar, mäta deras ytor och sedan ta sannolikheten som den bråkdel av kvadraten som faller i cirkeln. Mycket enkelt.

Men tänk om området för intresseuppsättningen inte är väldefinierat?

Om området inte är väldefinierat kan vi resonera till två olika men helt giltiga (i viss mening) slutsatser om vad området är. Så vi kunde ha $ P (A) = 1 $ å ena sidan och $ P (A) = 0 $ å andra sidan, vilket innebär $ 0 = 1 $ . Detta bryter hela matematiken utom reparation. Du kan nu bevisa $ 5 < 0 $ och ett antal andra förödande saker. Det här är helt klart inte användbart.

$ \ boldsymbol {\ sigma} $ -algebras är korrigeringsfilen som fixar matematik

Vad är en $ \ sigma $ -algebra, exakt? Det är faktiskt inte så skrämmande. Det är bara en definition av vilka uppsättningar som kan betraktas som händelser. Element som inte finns i $ \ mathscr {F} $ har helt enkelt inget definierat sannolikhetsmått. I grund och botten är $ \ sigma $ -algebras är ” patch ” som låter oss undvika lite matologiska patologiska beteenden, nämligen icke-mätbara uppsättningar.

De tre kraven i ett $ \ sigma $ -fält kan betraktas som konsekvenser av vad vi skulle vilja göra med sannolikhet: Ett $ \ sigma $ -fält är en uppsättning som har tre egenskaper:

1. Stängning under räknas fackföreningar.
2. Stängning under räknbara korsningar.
3. Stängning under komplement.

De räknbara fackföreningarna och komponenterna som kan räknas som korsningar är direkta konsekvenser av icke- mätbar uppsättningsproblem. Stängning under komplement är en konsekvens av Kolmogorov-axiomen: om $ P (A) = 2/3 $ , $ P (A ^ c) $ borde vara $ 1/3 $ . Men utan (3) kan det hända att $ P (A ^ c) $ är odefinierad. Det skulle vara konstigt. Stängning under komplement och Kolmogorov-axiomerna låter oss säga saker som $ P (A \ cup A ^ c) = P (A) + 1-P (A) = 1 $ .

Slutligen överväger vi händelser i förhållande till $ \ Omega $ , så vi kräver vidare att $ \ Omega \ in \ mathscr {F} $

Goda nyheter: $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -algebror är bara absolut nödvändiga för oräkneliga uppsättningar

Men! Det finns goda nyheter här också. Eller åtminstone ett sätt att komma till rätta med problemet. Vi behöver bara $ \ sigma $ -algebras om vi jobbar i en uppsättning med oräknelig kardinalitet. Om vi begränsar oss till räknbara uppsättningar kan vi ta $ \ mathscr {F} = 2 ^ \ Omega $ kraftuppsättningen för $ \ Omega $ och vi kommer inte att ha några av dessa problem för äknas $ \ Omega $ , $ 2 ^ \ Omega $ består endast av mätbara uppsättningar. (Detta hänvisas till i Xi” s ”andra kommentar.) Du kommer att märka att vissa läroböcker faktiskt kommer att begå en subtil slutsats här , och beaktar bara räknbara uppsättningar när vi diskuterar sannolikhetsutrymmen.

Dessutom, i geometriska problem i $ \ mathbb {R} ^ n $ , det ” är helt tillräckligt för att bara överväga $ \ sigma $ -algebror som består av uppsättningar för vilka $ \ mathcal {L} ^ n $ -mått definieras. För att grunda detta något mer bestämt, $ \ mathcal {L} ^ n $ för $ n = 1,2 , 3 $ motsvarar de vanliga begreppen längd, area och volym.Så vad jag säger i det föregående exemplet är att uppsättningen måste ha ett väldefinierat område för att den ska ha en geometrisk sannolikhet. Och anledningen är detta: om vi erkänner icke-mätbara uppsättningar kan vi hamna i situationer där vi kan tilldela sannolikhet 1 till någon händelse baserat på något bevis, och sannolikhet 0 till samma händelse händelse baserat på något annat bevis.

Men inte låt anslutningen till oräkneliga set förvirra dig! En vanlig missuppfattning att $ \ sigma $ -algebror är räknbara uppsättningar. Faktum är att de kan räknas eller räknas. Tänk på den här bilden: som tidigare har vi en enhetsruta. Definiera $$ \ mathscr {F} = \ text {Alla delmängder av enhetsfyrkant med definierat $ \ mathcal {L} ^ 2 $ mått}. $$ Du kan rita en fyrkantig $ B $ med sidolängd $ s $ för alla $ s \ in (0,1) $ , och med ett hörn vid $ (0,0) $ . Det bör vara tydligt att denna kvadrat är en delmängd av enhetens kvadrat. Dessutom har alla dessa rutor definierat område, så dessa rutor är delar av $ \ mathscr {F} $ . Men det bör också vara tydligt att det finns otaligt många kvadrater $ B $ : antalet sådana rutor är otalbart och varje kvadrat har definierat Lebesgue-mått.

Så som en praktisk fråga är det bara tillräckligt att göra den observationen för att göra den iakttagelse att du bara anser att Lebesgue-mätbara uppsättningar kommer framåt mot intresseproblemet.

Men vänta, vad ”sa icke-mätbar uppsättning?

Jag är rädd att jag bara kan kasta lite ljus på detta själv. Men Banach-Tarski paradox (ibland ” sol och ärta ” paradox) kan hjälpa oss lite:

Med tanke på en solid boll i ett tredimensionellt utrymme finns det en nedbrytning av bollen till ett begränsat antal separata delmängder, som sedan kan sättas ihop på ett annat sätt för att ge två identiska kopior av originalbollen. I själva verket innebär återmonteringsprocessen bara att flytta bitarna runt och rotera dem utan att ändra deras form. Emellertid är själva bitarna inte ” fasta ämnen ” i vanlig mening, utan oändliga spridningar av punkter. Rekonstruktionen kan fungera med så få som fem bitar.

En starkare form av satsen innebär att med tanke på två ” rimliga ” fasta föremål (som en liten boll och en enorm boll), antingen kan den ena återmonteras i den andra. Detta anges ofta informellt som ” en ärta kan huggas upp och återmonteras i solen ” och kallas ” ärta och solparadoxen ”. 1

Så om du arbetar med sannolikheter i $ \ mathbb {R} ^ 3 $ och du använder den geometriska sannolikheten mått (volymförhållandet), vill du räkna ut sannolikheten för någon händelse. Men du kommer att kämpa för att definiera denna sannolikhet exakt, för att du kan ordna om uppsättningarna i ditt utrymme för att ändra volymer! Om sannolikheten beror på volymen och du kan ändra volymen på uppsättningen så att den är solens storlek eller en ärta, då kommer sannolikheten också att ändras. Så ingen händelse kommer att ha en enda sannolikhet tillskriven den. Ännu värre, du kan ordna om $ S \ i \ Omega $ sådant att volymen av $ S $ har $ V (S) > V (\ Omega) $ , vilket innebär att det geometriska sannolikhetsmåttet rapporterar en sannolikhet $ P (S) > 1 $ , i uppenbart brott mot Kolmogorov-axiomerna som kräver att sannolikheten har mått 1.

För att lösa denna paradox kan man göra en av fyra eftergifter:

1. volymen på en uppsättning kan ändras när den roteras.
2. Volymen för sammanslutningen av två ojämna uppsättningar kan skilja sig från summan av deras volymer.
3. Axiomerna i Zermelo – Fraenkel uppsättningsteori med axiom of Choice (ZFC) kan behöva ändras.
4. Vissa uppsättningar kanske märkas ” icke-mätbart ”, och man skulle behöva kontrollera om en uppsättning är ” mätbar ” innan du talar om dess volym.

Alternativ (1) hjälper inte till att definiera sannolikheter, så det är ute. Alternativ (2) bryter mot det andra Kolmogorov-axiomet, så det är ute. Alternativ (3) verkar som en hemsk idé eftersom ZFC löser så många fler problem än det skapar.Men alternativ (4) verkar attraktivt: om vi utvecklar en teori om vad som är och inte är mätbart, kommer vi att ha väldefinierade sannolikheter i detta problem! Detta leder oss tillbaka till mätteorin, och vår vän $ \ sigma $ -algebra.

Kommentarer

• Tack för ditt svar. $ \ mathcal {L} $ står för Lebesque mätbart? Jag ’ Ll +1 ditt svar på tro, men jag ’ skulle verkligen uppskatta det om du kunde få ner matematiknivån flera steg. .. 🙂
• (+1) Bra poäng! Jag skulle också tillägga att utan mått och $ \ sigma $ algebror blir konditionering och härledande av villkorliga fördelningar på oräkneliga utrymmen ganska håriga, vilket visas av Borel-Kolmogorov-paradoxen .
• @Xi ’ ett tack för vänliga ord! Det betyder verkligen mycket, kommer från dig. Jag var inte bekant med Borel-Kolmogorov-paradoxen när detta skrivs, men jag ’ kommer att läsa lite och se om jag lyckas göra ett användbart tillägg till mina resultat.
• @ Student001: Jag tror att vi delar hår här. Du har rätt i att den allmänna definitionen av ” mått ” (alla mått) ges med begreppet sigma-algebror. Min poäng är dock att det inte finns något ord eller begrepp ” sigma-algebra ” i definitionen av Lebesgue-åtgärden i min första länk. Med andra ord kan man definiera Lebesgue-mått enligt min första länk men sedan måste man visa att det är ett mått och att ’ är den hårda delen. Jag håller dock med om att vi bör stoppa den här diskussionen.
• Jag tyckte verkligen om att läsa ditt svar. Jag vet inte ’ hur jag ska tacka dig, men du ’ har klargjort saker mycket! Jag ’ har aldrig studerat verklig analys eller haft en ordentlig introduktion till matematik. Kom från en elektroteknisk bakgrund som fokuserade mycket på praktisk implementering. Du ’ har skrivit det i så enkla termer att en kille som jag kunde förstå det. Jag uppskattar verkligen ditt svar och den enkelhet du ’ har tillhandahållit. Tack också @Xi ’ an för hans fullpackade kommentarer!

Den underliggande idén (i mycket praktiska termer) är enkel. Antag att du är en statistiker som arbetar med någon undersökning. Låt oss anta att undersökningen har några frågor om ålder, men be bara respondenten att identifiera sin ålder i vissa givna intervall, som $ [0,18), [18, 25), [25,34), \ dots $. Låt oss glömma de andra frågorna. I det här frågeformuläret definieras ett ”evenemangsutrymme”, din $ (\ Omega, F) $. Sigma algebra $ F $ kodar all information som kan erhållas från frågeformuläret, så för åldersfrågan (och för närvarande ignorerar vi alla andra frågor) kommer den att innehålla intervallet $ [18,25) $ men inte andra intervall som $ [20,30) $, eftersom vi från informationen från frågeformuläret inte kan svara på fråga som: tillhör respondenternas ålder $ 20,30) $ eller inte? Mer allmänt är en uppsättning en händelse (tillhör $ F $) om och bara om vi kan bestämma om en provpunkt tillhör den uppsättningen eller inte.

Låt oss nu definiera slumpmässiga variabler med värden i det andra händelseområdet, $ (\ Omega ”, F”) $. Som ett exempel, ta detta för att vara den verkliga linjen med den vanliga (Borel) sigma-algebra. Sedan är en (ointressant) funktion som inte är en slumpmässig variabel $ f: $ ”respondentens ålder är ett primtal”, som kodar detta som 1 om åldern är prim, 0 annat. Nej, $ f ^ {- 1} (1) $ tillhör inte $ F $, så $ f $ är inte en slumpmässig variabel. Anledningen är enkel, vi kan inte bestämma utifrån informationen i frågeformuläret om respondentens ålder är förstklassig eller inte! Nu kan du själv göra mer intressanta exempel.

Varför kräver vi $ F $ för att vara en sigma-algebra? Låt oss säga att vi vill ställa två frågor av data, ”är respondent nummer 3 18 år eller äldre”, ”är respondent 3 en kvinna”. Låt frågorna definiera två händelser (uppsättningar i $ F $) $ A $ och $ B $, uppsättningarna av provpunkter som ger ett ”ja” -svar på den frågan. Låt oss nu ställa sambandet mellan de två frågorna ”är svar 3 en kvinna o18 år eller äldre”. Nu representeras den frågan av den inställda korsningen $ A \ cap B $. På ett liknande sätt representeras disjunktioner av den uppsatta unionen $ A \ cup B $. Nu kräver stängning för räknbara korsningar och fackföreningar att vi kan ställa räknbara konjunktioner eller disjunktioner. Och, negera en fråga representeras av den kompletterande uppsättningen. Det ger oss en sigma-algebra.

Jag såg den här typen av introduktion först i det mycket bra bok av Peter Whittle ”Sannolikhet via förväntan” (Springer).

REDIGERA

Försöker svara på whubers fråga i en kommentar: ”Jag blev lite förvånad i slutet, men när jag stötte på den här frågan:” kräver stängning för räknbara korsningar och fackföreningar låter oss fråga räknbara sammanfall eller skillnader. ”Det här verkar vara kärnan i frågan: varför skulle någon vilja konstruera en sådan oändligt komplicerad händelse?” ja, varför? Begränsa oss nu till diskret sannolikhet, låt oss säga, för bekvämlighets skull, myntkastning. Att kasta myntet ett begränsat antal gånger, alla händelser som vi kan beskriva med hjälp av myntet kan uttryckas via händelser av typen ”head on throw $ i $ ”,” svansar vid kast $ i $ och ett begränsat antal ”och” eller ”eller”. Så i den här situationen behöver vi inte $ \ sigma $ -algebras, algebror av uppsättningar räcker. Så finns det någon situation i detta sammanhang där $ \ sigma $ -algebras uppstår? I praktiken, även om vi bara kan kasta tärningarna ett begränsat antal gånger, utvecklar vi approximationer till sannolikheter via gränssatser när $ n $, antalet kast, växer utan bunden. Så titta på beviset för den centrala gränssatsen för detta fall, Laplace-de Moivre-satsen. Vi kan bevisa via approximationer med endast algebror, ingen $ \ sigma $ -algebra ska behövas. Den svaga lagen i stort antal kan bevisas via Chebyshevs ojämlikhet, och för det behöver vi bara beräkna varians för ändliga $ n $ fall. Men för starka lag stora siffror , den händelse vi bevisar har sannolikhet kan man bara uttrycka via ett oändligt antal ”och” och ”eller” ”s, så för den starka lagen för stora siffror vi behöver $ \ sigma $ -algebras.

Men behöver vi verkligen den stora lagen i stort antal? Enligt ett svar här , kanske inte.

På ett sätt pekar detta på en mycket stor konceptuell skillnad mellan den starka och den svaga lagen i stort antal: Den starka lagen är inte direkt empiriskt meningsfull, eftersom det handlar om faktisk konvergens, som aldrig kan vara empiriskt verifierad. Den svaga lagen, å andra sidan, handlar om att kvaliteten på approximationen ökar med $ n $, med numeriska gränser för begränsade $ n $, så är mer empiriskt meningsfullt.

Så all praktisk användning av diskret sannolikheten kunde klara sig utan $ \ sigma $ -algebras. För det kontinuerliga fallet är jag inte så säker.

Kommentarer

• Jag tror inte ’ att detta svar visar varför $ \ sigma $ -fält är nödvändig. Bekvämligheten med att kunna svara på $ P (A) \ i [20,30) $ är inte ’ t som krävs av matematik. Något skrämmande kan man säga att matematik inte ’ bryr sig om vad ’ är lämpligt för statistiker. Vi vet faktiskt att $ P (A) \ i [20,30] \ le P (A) \ i [18,34) $, vilket är väldefinierat, så det ’ är inte ens klart att detta exempel illustrerar vad du vill ha det.
• Vi behöver ’ t behöver ” $ \ sigma $ ” del av ” $ \ sigma $ -algebra ” för något av detta svar, Kjetil. Faktum är att för grundläggande modellering och resonemang om sannolikhet verkar det som om en fungerande statistiker kunde klara sig bra med fasta algebror som endast är stängda under begränsade , inte räknbara, fackföreningar. Den svåra delen av Antonis ’ fråga handlar om varför vi behöver stängas under otaliga oändliga fackföreningar: detta är den punkt då ämnet blir måttteori istället för elementärt kombinatorik. (Jag ser att Aksakal också gjorde det i ett nyligen borttaget svar.)
• @whuber: du har naturligtvis rätt, men i mitt svar försöker jag ge en viss motivering till varför algebror (eller $ \ sigma $ -algebras) kan förmedla information. Det är ett sätt att förstå varför den alghebraiska strukturen är sannolik och inte något annat. Naturligtvis finns det dessutom de tekniska skäl som förklaras i svaret från user777. Och naturligtvis, om vi kunde göra sannolikhet på ett enklare sätt skulle alla vara glada …
• Jag tycker att ditt argument är sundt. Jag blev lite överraskad i slutet, men när jag stötte på denna påstående: ” som kräver stängning för räknbara korsningar och fackföreningar låter oss be räknbara sammanfogningar eller avvikelser. ” Detta verkar vara kärnan i frågan: varför skulle någon vilja konstruera en så oändligt komplicerad händelse? Ett bra svar på det skulle göra resten av ditt inlägg mer övertygande.
• Om praktiska användningsområden: sannolikhets- och måttteorin som används i finansens matematik (inklusive stokastiska differentialekvationer, Ito-integraler, filtrering av algebror, etc.) ser ut som om det skulle vara omöjligt utan sigma-algebraer. (Jag kan ’ t rösta om ändringarna eftersom jag redan röstade på ditt svar!)

Varför behöver probabilister $ \ boldsymbol { \ sigma} $ -algebra?

Axiomerna för $ \ sigma $ -algebror är ganska naturligt motiverade av sannolikhet. Du vill kunna mäta alla Venn-diagramregioner, t.ex. $ A \ cup B $ , $ (A \ cup B) \ cap C $ . För att citera från detta minnesvärda svar :

Det första axiomet är att $ \ oslash, X \ in \ sigma $ . Nåväl vet du ALLTID sannolikheten för att inget händer ( $ 0 $ ) eller att något händer ( $ 1 $ ).

Det andra axiomet är stängt under komplement. Låt mig ge ett dumt exempel. Återigen, överväga ett myntflip med $ X = \ {H, T \} $ . Låtsas att jag säger dig att $ \ sigma $ algebra för denna flip är $ \ {\ oslash, X, \ {H \} \} $ . Det vill säga, jag vet sannolikheten för att INGENTING händer, att NÅGOT händer och att det är huvuden men jag vet INTE sannolikheten för svansar. Du skulle med rätta kunna kalla mig en idiot. För om du vet sannolikheten för en svans, du vet automatiskt sannolikheten för en svans! Om du vet sannolikheten för att något händer, vet du sannolikheten för att det INTE händer (komplementet)!

Det sista axiomet är stängt under räknbara fackföreningar. Låt mig ge dig ett annat dumt exempel. Tänk på rullningen av en form, eller $ X = \ {1,2,3,4,5,6 \} $ . Vad händer om jag vore att berätta att $ \ sigma $ algebra för detta är $ \ {\ oslash, X, \ {1 \}, \ {2 \} \} $ . Det vill säga jag vet sannolikheten för att rulla en $ 1 $ eller rulla en $ 2 $ , men jag vet inte sannolikheten för att rulla en $ 1 $ eller en $ 2 $ . Återigen skulle du med rätta kunna kalla mig en idiot (jag hoppas att anledningen är tydlig). Vad som händer när uppsättningarna inte är oskiljaktiga, och vad som händer med oräkneliga fackföreningar är lite rörigare men jag hoppas att du kan försöka tänka på några exempel. Varför behöver du räkna i stället för bara ändlig $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -additivity dock?

Tja, det är inte en helt ren- klippa fall, men det finns några fasta skäl till varför .

Varför behöver sannolikheter åtgärder?

Vid denna tidpunkt , du har redan alla axiomer för ett mått. Från $ \ sigma $ -additivity, non-negativity, null tom uppsättning, och domänen för $ \ sigma $ -algebra. Du kan lika gärna kräva att $ P $ är ett mått. Måttteori är redan motiverad .

Folk tar in Vitalis uppsättning och Banach-Tarski för att förklara varför du behöver måttteori, men jag tror att det är vilseledande . Vitalis uppsättning försvinner bara för (icke-triviala) åtgärder som är översättningsinvaranta, vilket sannolikhetsutrymmen inte kräver. Och Banach-Tarski kräver rotation-invarians. Analys människor bryr sig om dem, men sannolikheter inte .

dêtre av måttteori i sannolikhetsteori är att förena behandlingen av diskreta och kontinuerliga husbilar, och dessutom möjliggöra blandade husbilar och husbilar som helt enkelt inte är någon av dem.

Kommentarer

• Jag tror att det här svaret kan vara ett bra komplement till den här tråden om du omarbetar det lite. Som det står är det ’ svårt att följa eftersom stora delar av det beror på länkar till andra kommentarstrådar. Jag tror att om du lägger upp det som en botten-till-topp-förklaring av hur mått, ändlig $ \ sigma $ -tillgänglighet och $ \ sigma $ -algebra passar ihop som nödvändiga funktioner i sannolikhetsutrymmen, skulle det vara mycket starkare. Du ’ är väldigt nära, eftersom du ’ redan har delat upp svaret i olika segment, men jag tror att segmenten behöver mer motivering och resonemang att få fullt stöd.

Jag har alltid förstått hela historien så här:

Vi börjar med ett mellanslag, till exempel den verkliga raden $ \ mathbb {R} $ . Vi vill använda vårt mått på delmängder av detta utrymme , till exempel genom att tillämpa Lebesgue-måttet, som mäter längd. Ett exempel skulle vara att mäta längden på delmängden $ [0, 0.5] \ cup [0.75, 1] $ . För detta exempel är svaret helt enkelt $ 0,5 + 0,25 = 0.75 $ , som vi kan få ganska enkelt. Vi börjar undra om vi kan tillämpa Lebesgue-måttet på alla delmängder av den verkliga linjen.

Tyvärr fungerar det inte. Det finns dessa patologiska uppsättningar som helt enkelt bryter ner matematik Om du tillämpar Lebesgue-måttet på dessa uppsättningar får du inkonsekventa resultat. Ett exempel på en av dessa patologiska uppsättningar, även känd som icke-mätbara uppsättningar eftersom de bokstavligen inte kan mätas, är Vitali-uppsättningarna.

För att undvika dessa galna uppsättningar definierar vi måttet så att det bara fungerar för en mindre grupp underuppsättningar, kallade mätbara uppsättningar. Det här är uppsättningarna som beter sig konsekvent när vi tillämpar åtgärder på dem. För att tillåta oss att utföra operationer med dessa uppsättningar, till exempel genom att kombinera dem med fackföreningar eller ta deras komplement, kräver vi att dessa mätbara uppsättningar bildar en sigma-algebra inbördes. Genom att bilda en sigma-algebra har vi bildat en slags säker tillflyktsort för våra åtgärder för att verka inom, samtidigt som vi tillåter oss att göra rimliga manipulationer för att få vad vi vill, som att ta fackföreningar och komplement. Det är därför vi behöver en sigma-algebra, så att vi kan rita ut en region för åtgärden att arbeta inom, samtidigt som man undviker icke-mätbara uppsättningar. Lägg märke till att om det inte vore för dessa patologiska underuppsättningar kan jag enkelt definiera måttet som ska fungera inom kraftuppsättningen för det topologiska utrymmet. Effektuppsättningen innehåller dock alla möjliga icke-mätbara uppsättningar, och det är därför vi har för att välja ut de mätbara och få dem att bilda en sigma-algebra inbördes.

Som du kan se, eftersom sigma-algebror används för att undvika icke-mätbara uppsättningar, är uppsättningar som är ändliga i storlek inte ” t behöver faktiskt en sigma-algebra. Låt oss säga att du har att göra med ett provutrymme $ \ Omega = \ {1, 2, 3 \} $ (detta kan vara alla möjliga resultat av ett slumpmässigt tal som genereras av en dator). Du kan se att det är ganska omöjligt att komma med icke-mätbara uppsättningar med ett sådant provutrymme. Måttet (i det här fallet ett sannolikhetsmått) är väldefinierat för vilken delmängd av $ \ Omega $ du kan tänka dig. Men vi gör behöver definiera sigma-algebraer för större provutrymmen, såsom den verkliga linjen, så att vi kan undvika patologiska delmängder som bryter ner våra åtgärder. För att uppnå konsekvens i det teoretiska ramverket för sannolikhet kräver vi att ändliga samplingsutrymmen också bildar sigma-algebraer, där endast sannolikhetsmåttet definieras. Sigma-algebror i ändliga provutrymmen är en tekniskhet, medan sigma-algebror i större provutrymmen som den verkliga linjen är en nödvändighet .

En vanlig sigma-algebra som vi använder för den verkliga linjen är Borel sigma-algebra. Den bildas av alla möjliga öppna uppsättningar och tar sedan komplementen och fackföreningarna tills de tre villkoren för en sigma-algebra uppnås. Säg om du konstruerar Borel sigma-algebra för $ \ mathbb {R} [0, 1] $ , gör du det genom att lista alla möjliga öppna uppsättningar, t.ex. som $ (0,5, 0,7), (0,03, 0,05), (0,2, 0,7), … $ och så vidare, och som ni kan föreställa er det oändligt många möjligheter du kan lista, och sedan tar du komplementen och fackföreningarna tills en sigma-algebra genereras. Som du kan föreställa dig att den här sigma-algebra är en BEAST. Den är otänkbart enorm. Men det fina med det är att det utesluter alla galna patologiska uppsättningar som bröt ner matematiken. Dessa galna uppsättningar finns inte i Borel sigma-algebra. Dessutom är denna uppsättning tillräckligt omfattande för att inkludera nästan varje delmängd som vi behöver. Det är svårt att tänka på en delmängd som inte finns i Borels sigma-algebra.

Och så är det berättelsen om varför vi behöver sigma-algebror och Borel sigma-algebror är ett vanligt sätt att genomföra denna idé.

Kommentarer

• ’ +1 ’ mycket läsbar. Men du verkar motsäga svaret av @Yatharth Agarwal som säger ” Folk tar in Vitalis uppsättning och Banach-Tarski för att förklara varför du behöver måttteori, men jag tycker att det är vilseledande. Vitalis uppsättning försvinner bara för (icke-triviala) åtgärder som är översättningsinvaranta, vilket sannolikhetsutrymmen inte kräver. Och Banach-Tarski kräver rotation-invarians. Analys människor bryr sig om dem, men sannolikheter faktiskt inte. ”. Kanske har du några tankar om det?
• +1 (speciellt för ” safe haven ” metafor!) . @Stop Med tanke på att svaret du hänvisar till har lite faktiskt innehåll – det ger endast några åsikter – det ’ är inte värt mycket övervägande eller debatt, IMHO.