hur kan jag beräkna variansen av p som härrör från en binomial fördelning? Låt oss säga att jag vänder n mynt och får k-huvuden. Jag kan uppskatta p som k / n, men hur kan jag beräkna variansen i den uppskattningen?
Jag är intresserad av detta så att jag kan kontroll för avvikelse i mina uppskattningsförhållanden när jag jämför poäng med olika antal försök. Jag är mer säker på uppskattningen av p när n är större, så jag skulle vilja kunna modellera hur tillförlitlig uppskattningen är.
Tack på förhand!
exempel:
- 40/100. MLE för p skulle vara 0,4, men vad är variansen i p?
- 4/10. MLE skulle fortfarande vara 0,4, men uppskattningen är mindre tillförlitlig, så det borde finnas mer varians i p.
Svar
Om $ X $ är $ \ text {Binomial} (n, p) $ då MLE på $ p $ är $ \ hat {p} = X / n $.
En binomialvariabel kan betraktas som summan av $ n $ Bernoulli slumpmässiga variabler. $ X = \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i $ där $ Y_i \ sim \ text {Bernoulli} (p) $.
så att vi kan beräkna variansen för MLE $ \ hat {p} $ som
$$ \ begin {align *} \ text {Var} [\ hat {p} ] & = \ text {Var} \ vänster [\ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i \ höger] \\ & = \ dfrac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n Var [Y_i] \\ & = \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ np (1-p) \\ & = \ dfrac {p (1-p)} {n} \ end {align *} $$
Så att du kan se att MLE-variansen blir mindre för stora $ n $, och den är också mindre för $ p $ nära 0 eller 1. När det gäller $ p $ maximeras det när $ p = 0,5 $.
För vissa konfidensintervall kan du kolla in Binomial konfidensintervall
Kommentarer
- Jag tror att länken liknar det jag ' letar efter, men jag vill ha ett värde som motsvarar variansen av p. Hur kan jag få det från konfidensintervallet?
- Jag redigerade mitt ursprungliga svar för att närmare svara på din fråga.
- Hur hanterar du att variansformeln kräver p men du har bara en uppskattning av p?
- Du kan överväga att använda en variansstabiliserande transform som $ arcsin (\ sqrt {\ hat {p}}) $ och då får du veta att variansen för den transformerade variabeln är $ \ tfrac {1} {4n} $