En una página de Wikipedia en alemán , se realiza el siguiente cálculo de la temperatura en la superficie del Sol:
$ \ sigma = 5.67 * 10 ^ {- 8} \ frac {W} {m ^ 2K ^ 4 } $ (Constante de Stefan-Boltzmann)
$ S = 1367 \ frac {W} {m ^ 2} $ (constante solar)
$ D = 1.496 * 10 ^ {11 } m $ (distancia promedio Tierra-Sol)
$ R = 6.963 * 10 ^ 8 m $ (radio del Sol)
$ T = (\ frac {P} { \ sigma A}) ^ \ frac {1} {4} = (\ frac {S4 \ pi D ^ 2} {\ sigma 4 \ pi R ^ 2}) ^ \ frac {1} {4} = (\ frac {SD ^ 2} {\ sigma R ^ 2}) ^ \ frac {1} {4} = 5775.8 \ K $
(Wikipedia da 5777K porque el radio se redondeó a $ 6.96 * 10 ^ 8m $ )
Este cálculo es perfectamente claro.
Pero en Gerthsen Kneser Vogel hay un ejercicio donde Sherlock Holmes estimó la temperatura del sol solo conociendo la raíz de la fracción de D y R . Digamos, estimó esta fracción en 225, por lo que la raíz cuadrada es aproximadamente 15, ¿cómo ¿Llega a 6000 K? El valor $ (\ frac {S} {\ sigma}) ^ \ frac {1} {4} $ tiene aproximadamente el valor 400. No puede ser la temperatura promedio aproximada en la tierra, que es aproximadamente 300K. ¿Qué me pierdo?
Respuesta
Se da la relación de temperatura entre un planeta y una estrella basada en un balance de energía radiativa por la siguiente ecuación ( de Wikipedia ):
$ T_p = temperatura \ del \ planeta $
$ T_s = temperatura \ de \ la \ estrella $
$ R_s = radio \ de \ la \ estrella $
$ \ alpha = albedo \ del \ planeta $
$ \ epsilon = emisividad \ media \ del \ planeta $
$ D = distancia \ entre \ estrella \ y \ planeta $
Por lo tanto, si Sherlock sabe $ \ sqrt {\ frac {R_s} {D}} = 0.06818 $ y puede estimar la temperatura de la Tierra $ T_p $ así como $ \ alpha $ y $ \ epsilon $, entonces puede calcular la temperatura en la superficie de el sol, que es la variable desconocida $ T_s $.
Tanto $ \ alpha $ como $ \ epsilon $ tienen valores verdaderos entre cero y uno. Digamos que Sherlock asumió $ \ alpha = 0.5 $ y $ \ epsilon = 1 $ (cuerpo negro perfecto). Estimación de la temperatura de la Tierra h $ T_p $ sea 270 K y agregando todos los números que tenemos:
Lo cual es muy cerca de la temperatura media real de la superficie del sol, 5870 K . Caso cerrado!
Comentarios
- $ 6653K $ es " muy cerca de " a $ 5870K $?
- @Peter, considerando el rango de temperaturas que existen en el universo (~ 0 K hasta decenas de millones de K e incluso más), 15 El% de precisión está cerca.
- @Joshua Lo sentimos, la aproximación puede ser lo suficientemente buena como una suposición aproximada, pero no es " close ".
- @Peter, ¿qué tan cerca está? Entiendo que ' es una distinción arbitraria. Mi cierre no es el tuyo en este caso. Mi punto es que Sherlock sepa solo un número y luego adivine $ \ alpha $ y $ \ epsilon $ y obtenga una respuesta que esté dentro de ~ 15%, eso es bastante bueno.
- El El libro dice que la estimación fue de 6000 K, solo una cifra significativa, por lo que podría imaginar fácilmente que la estimación es buena para + o – 1000 K. Si Sherlock asume $ \ alpha = 0.3 $ en su lugar ( más cerca del valor real ), entonces la temperatura estimada del sol es 6123 K, que se redondea a 6000 K.
Respuesta
Una estimación aproximada de la temperatura de un cuerpo en el sistema solar es $$ T = \ frac {280K} {\ sqrt {D_ {AU}}} $$ si calculamos la fracción AU desde el «borde» del Sol hasta su centro, R sobre D = $ 4.65×10 ^ -3 $, y sustituya esto en la fórmula, la temperatura del Sol sería de aproximadamente 4100K. No muy cerca de su 5776 K , pero utiliza la raíz cuadrada de la fracción RD.
La fórmula refleja las temperaturas efectivas. Sin embargo, las temperaturas máximas, las llamadas temperaturas $ \ sqrt {2} $ veces las temperaturas efectivas, lo que produciría alrededor de 5800K. ¡Sherlock inteligente!
Comentarios
- Si entiendo bien el artículo, el 5777K se llama temperatura efectiva.
- Peter, la temperatura efectiva es básicamente la temperatura promedio de un cuerpo en órbita alrededor del Sol. Las temperaturas subsolares ocurren en el cenit del ' para un cuerpo.
- Quiero que sepa que mi respuesta fue un intento de responder a la pregunta de cómo Sherlock podría haber determinado la temperatura ' s del Sol usando sus factores I y D. De ninguna manera es un uso válido de la fórmula que publiqué. Fue simplemente un truco usando una fórmula válida. Pero respondió a tu pregunta.
- Michael, las unidades en tu ecuación no ' parecen verificar.
- pentano, muy cierto . La fórmula es simplemente una aproximación útil para estimar las temperaturas corporales del sistema solar.Ignora factores como el albedo, la energía interna y los efectos atmosféricos, lo que explica su simplicidad.